Hai đường thẳng vuông góc Cánh Diều

I. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng $a'$ và $b'$ cùng đi qua một điểm $O$ và lần lượt song song (hoặc trùng) với $a$ và $b$ .

Kí hiệu $(a,b)$ hoặc $\widehat{(a,b)}$ .

Nhận xét:

Góc giữa hai đường thẳng $a,b$ không phụ thuộc vào vị trí điểm $O$ .
Góc giữa hai đường thẳng $a,b$ bằng góc giữa hai đường thẳng $b,a$ tức là: $\widehat{(a,b)} = \widehat{(b,a)}$ .
Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá $90^{0}$ .
Nếu $a//b$ thì $\widehat{(a,c)} = \widehat{(b,c)}$ với mọi đường thẳng $c$ trong không gian.

Ví dụ: Cho tứ diện đều $ABCD$ , $M$ trung điểm của các cạnh $BC$ . Xác định góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $DM$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hai đường thẳng vuông góc Cánh Diều

Gọi độ dài cạnh của tứ diện đều là $2a$

Gọi $N$ là trung điểm cạnh $AC$ , $H$ là trung điểm của $MN$ , ta có:

$MN//AB \Rightarrow (AB,DM) = (MN,DM)$

Vì $\left\{ \begin{matrix} DM = DN = a\sqrt{3} \\ MN = a \\ \end{matrix} \right.$ nên tam giác $DMN$ cân tại $D$ .

$\Rightarrow MH = \frac{a}{2};DH\bot MN$

$\cos\widehat{DMN} = \frac{MH}{MD} = \frac{\sqrt{3}}{6} \Rightarrow \widehat{DMN} \approx 73,2^{0}$

Vậy $(AB,DM) = (MN,DM) = \widehat{DMN} \approx 73,2^{0}$ .

Câu trắc nghiệm mã số: 8849

II. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^{0}$ .

Nhận xét: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.

Ví dụ: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$ và các cạnh bên đều bằng $a$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD,SD$ . Chứng minh rằng $MN\bot SC$ .