Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm Cánh Diều

A. Mẫu số liệu ghép nhóm

1. Bảng tần số ghép nhóm

  • Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm.
  • Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng \lbrack a;b), trong đó a là đầu mút trái, b là đầu mút phải.
  • Độ dài nhóm là b - a.
  • Tần số của nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu thuộc vào nhóm đó. Tần số của nhóm 1, nhóm 2, … nhóm m kí kiệu lần lượt là n_{1},n_{2},...,n_{m}.

Bảng tần số ghép nhóm được lập như bảng dưới đây. Trong đó mẫu số liệu gồm n số liệu được chia thành m nhóm tương ứng với m nửa khoảng \left\lbrack a_{1};a_{2} \right),\left\lbrack a_{2};a_{3} \right)...,\left\lbrack a_{m};a_{m + 1} \right), ở đó \left\{ \begin{matrix} a_{1} < a_{2} < ... < a_{m} \\ n = n_{1} + n_{2} + ... + n_{m} \\ \end{matrix} \right..

Nhóm

Tần số
\left\lbrack a_{1};a_{2} \right) n_{1}
\left\lbrack a_{2};a_{3} \right) n_{2}

…

…
\left\lbrack a_{m};a_{m + 1} \right) n_{m}

 

 n
Câu trắc nghiệm mã số: 44479,44477

2. Ghép nhóm mẫu số liệu. Tần số tích lũy

Để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm thành mẫu số liệu ghép nhóm ta thực hiện như sau:

  • Chia miền giá trị của mẫu số liệu thành một số nhóm theo tiêu chí cho trước.
  • Đếm số giá trị của mẫu số liệu thuộc mỗi nhóm (tần số) và lập bảng tần số ghép nhóm.

Chú ý: Khi ghép nhóm số liệu, ta thường phân chia các nhóm có độ dài bằng nhau và đầu mút của các nhóm có thể không phải là giá trị của mẫu số liệu. Nhóm cuối cùng có thể là \left\lbrack a_{m};a_{m + 1} \right\rbrack.

Tần số tích lũy của một nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu có giá trị nhỏ hơn giá trị đầu mút phải của nhóm đó. Tần số tích lũy của nhóm 1, nhóm 2, …, nhóm m kí hiệu lần lượt là cf_{1};cf_{2};...;cf_{m}.

Ta có bảng sau:

Nhóm

Tần số

Tần số tích lũy
\left\lbrack a_{1};a_{2} \right) n_{1} cf_{1} = n_{1}
\left\lbrack a_{2};a_{3} \right) n_{2} cf_{2} = n_{1} + n_{2}

…

…

…
\left\lbrack a_{m};a_{m + 1} \right) n_{m} cf_{m} = n_{1} + n_{2} + ... + n_{m}

 

 n

 

Ví dụ: Người ta kiểm tra chiều cao của các cây thân gỗ trong rừng (đơn vị: mét), kết quả được ghi trong bảng sau:

7,3

7,8

7,5

6,6

8,5

8,3

8,3

7,5

8,4

8,6

7,4

8,2

8,0

8,1

8,7

8,2

8,8

8,1

7,7

7,8

8,5

7,0

7,9

6,9

9,4

9,0

8,0

8,7

8,9

7,6

8,0

8,2

7,9

7,7

7,2

Chuyển mẫu số liệu trên thành mẫu số liệu ghép nhóm và tính tần số tích lũy của từng nhóm. Biết mẫu số liệu được chia thành 6 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài như nhau.

Hướng dẫn giải

Khoảng biến thiên: 9,4 - 6,6 = 2,8

Ta chia thành các nhóm sau: \lbrack 6,5;7),\lbrack 7;7,5),\lbrack7,5;8),\lbrack 8;8,5),\lbrack 8,5;9),\lbrack 9;9,5)

Đếm số giá trị của mỗi nhóm ta có bảng ghép nhóm như sau:

Chiều cao (m)

Tần số (số cây)

Tần số tích lũy

[6,5; 7)

2

2

[7; 7,5)

4

6

[7,5; 8)

9

15

[8; 8,5)

11

26

[8,5; 9)

7

33

[9; 9,5)

2

35

 

N = 35

 
Câu trắc nghiệm mã số: 44523

B. Số trung bình cộng (số trung bình)

1. Định nghĩa số trung bình

Cho bảng số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm

Giá trị đại điện

Tần số
\left\lbrack a_{1};a_{2} \right) x_{1} = \frac{a_{1} + a_{2}}{2} n_{1}
\left\lbrack a_{2};a_{3} \right) x_{2} = \frac{a_{2} + a_{3}}{2} n_{2}

…

…

…
\left\lbrack a_{m};a_{m + 1} \right) x_{m} = \frac{a_{m} + a_{m + 1}}{2} n_{m}

 

 

 n = n_{1} + n_{2} + ... + n_{m}
  • Giá trị đại diện của một nhóm bằng trung bình cộng hai đầu mút của nhóm đó.
  • Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \overline{x} , được tính theo công thức:

\overline{x} = \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + ... + n_{m}x_{m}}{n}

Ví dụ: Tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm

Tần số

[6,5; 7)

2

[7; 7,5)

4

[7,5; 8)

9

[8; 8,5)

11

[8,5; 9)

7

[9; 9,5)

2

 

N = 35

Hướng dẫn giải

Ta có:

Nhóm

Giá trị đại diện

Tần số

[6,5; 7)

6,75

2

[7; 7,5)

7,25

4

[7,5; 8)

7,75

9

[8; 8,5)

8,25

11

[8,5; 9)

8,75

7

[9; 9,5)

9,25

2

 

 

N = 35

Số trung bình là:

\overline{x} = \frac{6,75.2 + 7,25.4 + 7,75.9 + 8,25.11 + 8,75.7 + 9,25.2}{35} \approx 8,14

Câu trắc nghiệm mã số: 44481,44514

2. Ý nghĩa của số trung bình

  • Số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu đó, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu khi các số liệu trong mẫu ít sai lệch so với số trung bình cộng.
  • Số trung bình cộng của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với số trung bình cộng của mẫu số liệu không ghép nhóm ban đầu và có thể làm đại diện cho vị trí trung tâm của mẫu số liệu.

C. Trung vị

1. Định nghĩa trung vị

Giả sử nhóm k là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \frac{n}{2} , tức là cf_{k - 1} < \frac{n}{2} nhưng cf_{k} \geq \frac{n}{2} . Ta gọi r,d,n_{k} lần lượt là đầu mút trái, độ dài và tần số của nhóm k ; cf_{k - 1} là tần số tích lũy của nhóm k - 1 .

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu M_{e} , được tính bởi công thức:

M_{e} = r + \left( \dfrac{\dfrac{n}{2} -cf_{k - 1}}{n_{k}} \right).d

Ví dụ: Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm

Tần số

[6,5; 7)

2

[7; 7,5)

4

[7,5; 8)

9

[8; 8,5)

11

[8,5; 9)

7

[9; 9,5)

2

 

N = 35

Hướng dẫn giải

Ta có:

Chiều cao (m)

Tần số (số cây)

Tần số tích lũy

[6,5; 7)

2

2

[7; 7,5)

4

6

[7,5; 8)

9

15

[8; 8,5)

11

26

[8,5; 9)

7

33

[9; 9,5)

2

35

 

N = 35

 

Lại có: \frac{N}{2} = \frac{35}{2} = 17,5

=> Nhóm chứa trung vị là [8; 8,5)

Khi đó: \left\{ \begin{matrix}r = 8;\dfrac{N}{2} = 17,5;cf_{k - 1} = 15 \\n_{k} = 11,d = 8,5 - 8 = 0,5 \\\end{matrix} \right.

Trung vị là:

M_{e} = 8 + \left( \frac{17,5 - 15}{11} \right).0,5 = \frac{357}{44}

Câu trắc nghiệm mã số: 44522,44516

2. Ý nghĩa của trung vị

- Trung vị của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với trung vị của mẫu số liệu không ghép nhóm ban đầu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu đã cho.

D. Tứ phân vị

1. Định nghĩa tứ phân vị

Tứ phân vị thứ hai Q_{2} bằng trung vị M_{e}.

Giả sử nhóm p là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \frac{n}{4} , tức là cf_{p - 1} < \frac{n}{4} nhưng cf_{p} \geq \frac{n}{4} . Ta gọi s,h,n_{p} lần lượt là đầu mút trái, độ dài và tần số của nhóm p ; cf_{p - 1} là tần số tích lũy của nhóm p - 1 .

Tứ phân vị thứ nhất Q_{1} của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bởi công thức:

Q_{1} = s + \left( \dfrac{\dfrac{n}{4} -cf_{p - 1}}{n_{p}} \right).h

Giả sử nhóm q là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \frac{3n}{4} , tức là cf_{q - 1} < \frac{3n}{4} nhưng cf_{q} \geq \frac{3n}{4} . Ta gọi t,l,n_{q} lần lượt là đầu mút trái, độ dài và tần số của nhóm p ; cf_{q - 1} là tần số tích lũy của nhóm q - 1 .

Tứ phân vị thứ ba Q_{3} của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bởi công thức:

Q_{3} = t + \left( \dfrac{\dfrac{3n}{4} -cf_{q - 1}}{n_{q}} \right).l

Ví dụ: Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm

Tần số

[6,5; 7)

2

[7; 7,5)

4

[7,5; 8)

9

[8; 8,5)

11

[8,5; 9)

7

[9; 9,5)

2

 

N = 35

Tính các giá trị Q_{1},Q_{3} ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

Chiều cao (m)

Tần số (số cây)

Tần số tích lũy

[6,5; 7)

2

2

[7; 7,5)

4

6

[7,5; 8)

9

15

[8; 8,5)

11

26

[8,5; 9)

7

33

[9; 9,5)

2

35

 

N = 35

 

Ta có: \frac{N}{4} = \frac{35}{4} = 8,75

=> Nhóm chứa Q_{1} là [7,5; 8)

Khi đó: \left\{ \begin{matrix}s = 7,5;\dfrac{N}{4} = 8,75;cf_{p - 1} = 6 \\n_{k} = 9,d = 8 - 7,5 = 0,5 \\\end{matrix} \right.

\Rightarrow Q_{1} = 7,5 + \left( \frac{8,75 - 6}{9} \right).0,5 = \frac{551}{72}

Ta có: \frac{3N}{4} = \frac{3.35}{4} = 26,25

=> Nhóm chứa Q_{3} là [8,5; 9)

Khi đó: \left\{ \begin{matrix}t = 8,5;\dfrac{3N}{4} = 26,25;cf_{q - 1} = 26 \\n_{q} = 7,l = 9 - 8,5 = 0,5 \\\end{matrix} \right.

\Rightarrow Q_{3} = 8,5 + \left( \frac{26,25 - 26}{7} \right).0,5 = \frac{477}{56}

Câu trắc nghiệm mã số: 44511,44517,44521,44520

2. Ý nghĩa của tứ phân vị

  • Bằng cách ghép nhóm mẫu số liệu và tính toán tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta nhận được ba giá trị mới cũng có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu đã cho.
  • Bộ ba giá trị Q_{1};Q_{2};Q_{3} trong tứ phân vị của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với bộ ba giá trị trong tứ phân vị của mẫu số liệu không ghép nhóm ban đầu.

E. Mốt

1. Định nghĩa mốt

Giả sử nhóm i là có tần số lớn nhất. Ta gọi u;g;n_{i} lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm i ; n_{n - 1};n_{i + 1} lần lượt là tần số của nhóm i - 1 và i + 1

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm M_{0} của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bởi công thức:

M_{0} = u + \left( \frac{n_{i} - n_{i - 1}}{2n_{i} - n_{i - 1} - n_{i + 1}} \right).g

Ví dụ: Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm

Tần số

[6,5; 7)

2

[7; 7,5)

4

[7,5; 8)

9

[8; 8,5)

11

[8,5; 9)

7

[9; 9,5)

2

 

N = 35

Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho?

Hướng dẫn giải

Nhóm chứa mốt là: [8; 8,5)

Suy ra \left\{ \begin{matrix}n_{i - 1} = 9;n_{i} = 11;n_{i + 1} = 7 \\u = 8;g = 0,5 \\\end{matrix} \right.

Khi đó mốt của mẫu số liệu là:

M_{0} = 8,5 + \left( \frac{11 - 9}{2.11 - 9 - 7} \right).0,5 = \frac{26}{3}

2. Ý nghĩa của mốt

  • Mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm đặc trưng cho số lần lặp đi lặp lại nhiều nhất tại một giá trị của mẫu số liệu đó. Vì thế có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau.
  • Bằng cách ghép nhóm mẫu số liệu và tính toán mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta nhận được giá trị mới cũng có thể dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu đã cho.
  • Mốt của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm ban đầu. Một mẫu số liệu ghép nhóm có thể có nhiều mốt.
Câu trắc nghiệm mã số: 44515,44502
  • 10 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CD