Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Ôn tập chương 3 Giới hạn Hàm số liên tục Cánh Diều

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Nhận biết
    Tính giới hạn

    Tính giới hạn \lim\frac{n + 2}{n^{2} + n + 1}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim \frac{{n + 2}}{{{n^2} + n + 1}}= \lim \dfrac{{n\left( {1 + \dfrac{2}{n}} ight)}}{{{n^2}\left( {1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{{{n^2}}}} ight)}}

    = \lim\left( \dfrac{1}{n}.\dfrac{1 +\dfrac{2}{n}}{1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^{2}}} ight) = 0

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tính giới hạn

    \lim\left( 2^{n} + 3^{n} ight) bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim\left( 2^{n} + 3^{n} ight) = \lim\left\{ 3^{n}.\left\lbrack \left( \frac{2}{3} ight)^{n} + 1 ightbrack ight\} = + \infty

  • Câu 3: Thông hiểu
    Xác định giới hạn dãy số

    Tính giới hạn \lim\frac{5^{n + 1} - 4^{n} + 1}{2.5^{n} -6^{n}}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim\dfrac{5^{n + 1} - 4^{n} + 1}{2.5^{n}- 6^{n}} = \lim\dfrac{\dfrac{5^{n + 1} - 4^{n} + 1}{6^{n}}}{\dfrac{2.5^{n}- 6^{n}}{6^{n}}}

    = \lim\dfrac{5.\left( \dfrac{5}{6}ight)^{n} - \left( \dfrac{2}{3} ight)^{n} + \left( \dfrac{1}{6}ight)^{n}}{2.\left( \dfrac{5}{6} ight)^{n} - 1} = 0

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Tính giá trị biểu thức \lim\left\lbrack n\left( \sqrt{n^{2} + 1} - \sqrt{n^{2} - 3} ight) ightbrack

    Hướng dẫn:

    \lim\left\lbrack n\left( \sqrt{n^{2} + 1} - \sqrt{n^{2} - 3} ight) ightbrack

    = \lim\frac{n\left( \sqrt{n^{2} + 1} - \sqrt{n^{2} - 3} ight)\left( \sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} - 3} ight)}{\sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} - 3}}

    = \lim\frac{4n}{\sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} - 3}}

    = \lim\dfrac{4}{\sqrt{1 +\dfrac{1}{n^{2}}} + \sqrt{1 - \dfrac{3}{n^{2}}}}

    = \frac{4}{1 + 1} = 2

  • Câu 5: Vận dụng
    Tìm các giá trị nguyên của tham số m

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc (0;20) sao cho \lim\sqrt{3 + \frac{mn^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\lim\dfrac{mn^{2} - 1}{3 + n^{2}} = \lim\dfrac{m -\dfrac{1}{n^{2}}}{\dfrac{3}{n^{2}} + 1} = m \\\lim\dfrac{1}{2^{n}} = \lim\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n} = 0 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \lim\sqrt{3 + \frac{mn^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} = \sqrt{3 + m}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} m \in (0;20);m\mathbb{\in Z} \\ \sqrt{m + 3}\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m \in \left\{ 1;6;13 ight\}

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tìm tập nghiệm của phương trình

    Biết \lim_{xightarrow \frac{1}{2}}\dfrac{\sqrt{1 + ax^{2}} - bx - 2}{4x^{3} - 3x +1} = c với a,b,c\in\mathbb{R}. Tập nghiệm của phương trình ax^{4} + bx^{2} + c = 0 trên \mathbb{R} có số phần tử là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{\sqrt{1 + ax^{2}} - bx - 2}{4x^{3} - 3x + 1}

    = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{1 + ax^{2} - (bx + 2)^{2}}{\left( 4x^{3} - 3x + 1 ight)\left( \sqrt{1 + ax^{2}} + bx + 2 ight)}

    = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{\left( a - b^{2} ight)x^{2} - 4bx - 3}{(2x - 1)^{2}(x + 1)\left( \sqrt{1 + ax^{2}} + bx + 2 ight)}

    Theo đề I tồn tại hữu hạn nên phương trình \left( a - b^{2} ight)x^{2} - 4bx - 3 = 0phải có nghiệm kép x = \frac{1}{2}. Tức là:

    \left\{ \begin{matrix}\Delta' = 0 \\\dfrac{2b}{a - b^{2}} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}4b^{2} + 3\left( a - b^{2} ight) = 0 \\4b = a - b^{2} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b^{2} + 3b = 0 \\ a = b^{2} + 4b \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 \\ b = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ ;(a,b eq 0)

    Khi a = - 3;b = - 3 thì

    I = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{- 12x^{2} + 12x - 3}{(2x - 1)^{2}(x + 1)\left( \sqrt{1 + ax^{2}} + bx + 2 ight)}

    I = \lim_{x ightarrow \frac{1}{2}}\frac{- 3}{(x + 1)\left( \sqrt{1 - 3x^{2}} - 3x + 2 ight)}

    I = \dfrac{- 3}{\dfrac{3}{2}.\left(\sqrt{1 - \dfrac{3}{4}} - \dfrac{3}{2} + 2 ight)} = - 2

    Do đó a = - 3;b = - 3;c = - 2 nên phương trình - 3x^{4} - 3x^{2} - 2 = 0 vô nghiệm.

  • Câu 7: Nhận biết
    Tính giới hạn hàm số

    Tính \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + x - 2}{x - 1}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + x - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}(x + 2) = 3

  • Câu 8: Nhận biết
    Tìm giới hạn hàm số

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}. Tính \lim_{x ightarrow - \infty}f(x).

    Hướng dẫn:

    Hàm số đã cho xác định trên ( - \infty;1) và (1; + \infty)

    Giả sử \left( x_{n} ight) là một dãy số bất kì, thỏa mãn x_{n} < 1;x_{n} ightarrow - \infty

    Ta có: \lim f\left( x_{n} ight) =\lim\dfrac{2x_{n} + 3}{x_{n} - 1} = \lim\dfrac{2 + \dfrac{3}{x_{n}}}{1 -\dfrac{1}{x_{n}}} = 2

    Vậy \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{2x + 3}{x - 1} = 2

  • Câu 9: Thông hiểu
    Xác định giới hạn hàm số

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x^{5} + 1}{x^{3} + 1}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x^{5} + 1}{x^{3} + 1} = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{(x + 1)\left( x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1 ight)}{(x + 1)\left( x^{2} - x + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1}{x^{2} - x + 1} = \frac{5}{3}

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tính giá trị giới hạn

    Giá trị của giới hạn \lim_{x ightarrow 0}\frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{2\sqrt{1 + x} - 2}{x} + \frac{2 - \sqrt[3]{8 - x}}{x} ight)

    = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{2}{\sqrt{x + 1} + 1} + \frac{1}{4 + 2\sqrt[3]{8 - x + \sqrt[3]{(8 - x)^{2}}}} ight)

    = 1 + \frac{1}{12} = \frac{13}{12}

  • Câu 11: Thông hiểu
    Tính giá trị giới hạn hàm số

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\left( x^{2} - x - 2 ight)^{20}}{\left( x^{3} - 12x + 16 ight)^{10}}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2}\dfrac{\left( x^{2}- x - 2 ight)^{20}}{\left( x^{3} - 12x + 16 ight)^{10}}

    = \lim_{x ightarrow 2}\dfrac{(x +1)^{20}.(x - 2)^{20}}{(x - 2)^{20}.(x + 4)^{10}}

    = \lim_{x ightarrow 2}\dfrac{(x +1)^{20}}{(x + 4)^{10}} = \frac{3^{20}}{6^{10}} = \left( \frac{3}{2}ight)^{10}

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Hàm số nào không liên tục

    Hàm số nào sau đây không liên tục trên \mathbb{R}?

    Hướng dẫn:

    Hàm số y = \frac{3x}{x + 2} không xác định tại x = - 2 nên không liên tục tại x = - 2.

    Do đó không liên tục trên \mathbb{R}.

  • Câu 13: Thông hiểu
    Chọn phương trình thỏa mãn điều kiện

    Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng (0; 1)?

    Hướng dẫn:

    Xét hàm số f(x) = 3x^{2017} - 8x + 4 liên tục trên \mathbb{R}.

    \left\{ \begin{matrix} f(0) = 4 \\ f(1) = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f(1) = - 4 < 0

    => Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1).

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tìm tất cả các giá trị của tham số m

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x}\ khi\ x eq 0 \\m^{2} - 2m + 2\ khi\ x eq 0 \\\end{matrix} ight.. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại x = 0?

    Hướng dẫn:

    Ta có: f(0) = m^{2} - 2m + 2

    \lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2x}{x\left( \sqrt{2x + 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2}{\sqrt{2x + 1} + 1} = 1

    Hàm số liên tục tại x = 0

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 0}f(x) = f(0)

    \Leftrightarrow m^{2} - 2m + 1 = 0 \Rightarrow m = 1

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số y = 2x^{3} + ax^{2} + bx + c;(a,b,c \in R) thỏa mãn 9a + 3b + c < −54 và a − b + c > 2. Gọi S là số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Hàm số đã cho xác định trên \mathbb{R}.

    Ta có: a − b + c > 2 ⇔ a − b + c − 2 > 0 mà f(−1) = −2 + a − b + c nên f(−1) > 0.

    Mặt khác 9a + 3b + c < −54 ⇔ 9a + 3b + c + 54 < 0 mà f(3) = 54 + 9a + 3b + c nên f(3) < 0.

    Ta lại có \lim_{x ightarrow - \infty}y = - \infty nên tồn tại số m < −1 sao cho f(m) < 0 và \lim_{x ightarrow + \infty}y = + \infty nên tồn tại số k > 0 sao cho f(3) > 0.

    Vậy f(m) . f(−1) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (m; −1).

    Và f(−1) . f(3) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (−1; 3).

    Vàf(3) . f(k) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (3; k).

    Từ đó suy ra đồ thị hàm số có 3 điểm chung với trục hoành.

0/15
15 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (53%):
    2/3
  • Vận dụng (7%):
    2/3
  • Vận dụng cao (20%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 6 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CD

Đăng nhập