Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Luyện tập Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Nhận biết
    Chọn mệnh đề sai

    Cho hàm số y = f(x)có đạo hàm tại x0 là f'(x). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Gợi ý:

    Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a;b) và x_{0} \in (a;b). Giới hạn (nếu có) của tỉ số \frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x -x_{0}} khi x dần đến x0 gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0, kí hiệu là: f'\left( x_{0} ight)ta có: f'\left( x_{0} ight) = \lim_{x ightarrowx_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x - x_{0}}

    Hướng dẫn:

    Từ định nghĩa ta rút ra kết luận:

    Đáp án sai là: f'\left( x_{0} ight)= \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f\left( x + x_{0} ight) - f\left(x_{0} ight)}{x - x_{0}}

    Đáp ánf'\left( x_{0} ight) =\lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x -x_{0}} đúng theo định nghĩa

    Đáp án f'\left( x_{0} ight) =\lim_{\Delta x ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + \Delta x ight) -f\left( x_{0} ight)}{\Delta x} đúng vì

    Đặt x = x_{0} + h => \left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = h \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow h ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.

    Đáp án f'\left( x_{0} ight) =\lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + h ight) - f\left( x_{0}ight)}{h} đúng vì

    Đặt x = x_{0} + \Delta x=> \left\{ \begin{matrix}x - x_{0} = \Delta x \\x ightarrow x_{0} \Rightarrow \Delta x ightarrow 0 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 2: Nhận biết
    Viết phương trình tiếp tuyến

    Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x^{3} tại điểm (-1; -1)

    Gợi ý:

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M_{0}\left( x_{0};f\left( x_{0} ight)ight)là:

    y - y_{0} = f'\left( x_{0}ight)\left( x - x_{0} ight)

    Hướng dẫn:

    Ta tính được k = y'( - 1) =3

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - 1 \\y_{0} = - 1 \\k = 3 \\\end{matrix} ight.

    Suy ra phương trình tiếp tuyến

    y + 1 = 3(x + 1)

    \Rightarrow y = 3x + 2

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tính đạo hàm của hàm số

    Tính đạo hàm của hàm số y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 2}}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} y = x - \dfrac{3}{{x - 2}} \hfill \\ \Rightarrow y' = \left( x ight)' - \left( {\dfrac{3}{{x - 2}}} ight)\prime \hfill \\ = 1 - 3.\dfrac{{ - \left( {x - 2} ight)'}}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} \hfill \\ = 1 + \dfrac{3}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính tỉ số

    Tính tỉ số \frac{\Delta y}{\Deltax}của hàm số y = 3x +1 theo x và \Delta x

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \Delta y = f(x + \Delta x) -f(x)

    \Delta y = \left\lbrack 3(x + \Delta x)+ 1 ightbrack - (3x + 1)

    \Delta y = 3\Delta x

    \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} =3

  • Câu 5: Vận dụng
    Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ \ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{5}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{f(x) -f(1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x -1} + \dfrac{5}{4}}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{4\sqrt{3x+ 1} - 3x - 5}{4(x - 1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left(4\sqrt{3x + 1} - 3x - 5 ight)\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{16(3x + 1)- \left( 9x^{2} + 30x + 25 ight)}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} +3x + 5 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 9x^{2} +18x - 9}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 9(x -1)^{2}}{4(x - 1)^{2}\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{-9}{4\left( 4\sqrt{3x + 1} + 3x + 5 ight)} = \frac{-9}{64}

  • Câu 6: Nhận biết
    Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm

    Cho f là hàm số liên tục tại x_{0}. Đạo hàm của f tại x_{0} là: 

    Hướng dẫn:

    Đạo hàm của f tại x_{0} là \underset{h \to 0}{lim}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} (nếu tồn tại giới hạn)

  • Câu 7: Nhận biết
    Tính vận tốc của chất điểm

    Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = t^{2}, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2 giây.

    Hướng dẫn:

    Ta tính được s'(t) = 2t

    Vận tốc của chất điểm v(t) = s'(t) =2t

    => v(2) = 2.2 = 4(m/s)

  • Câu 8: Thông hiểu
    Tính số gia của hàm số

    Tính số gia của hàm số y = x^{3} + x^{2}+ 1 tại điểm x0 ứng với số gia \Delta x = 1

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \Delta y = f\left( x_{0} + \Delta xight) - f\left( x_{0} ight)

    \Rightarrow \Delta y = f\left( x_{0} + 1ight) - f\left( x_{0} ight)

    \Rightarrow \Delta y = \left\lbrack\left( x_{0} + 1 ight)^{3} + \left( x_{0} + 1 ight)^{2} + 1ightbrack - \left( {x_{0}}^{3} + {x_{0}}^{2} + 1ight)

    \Rightarrow \Delta y = 3{x_{0}}^{2} +5x_{0} + 2

  • Câu 9: Thông hiểu
    Chọn khẳng định đúng

    Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = 8t + 3t^{2}, trong đó t > 0, t tính bằng giây và v(t) tính bằng mét/giây. Tìm gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 mét/giây.

    Hướng dẫn:

    Ta có: a(t) = v'(t) = 8 +6t

    Ta có:

    v(t) = 11

    \Rightarrow 11 = 8t +3t^{2}

    \Rightarrow t = 1(tm)

    Gia tốc của chất điểm là:

    a(1) = v'(1) = 8 + 6.1 = 14\left(m/s^{2} ight)

    Vậy gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 m/s là 14m/s^{2}

  • Câu 10: Vận dụng
    Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm xác định

    Cho hàm số y = x^{2018} - 1009x^{2} +2019x. Giá trị của \lim_{\Delta xightarrow 0}\frac{f(\Delta x + 1) - f(1)}{\Delta x} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    f'(x) = 2018.x^{2017} - 2.1009x +2019

    \Rightarrow \lim_{\Delta x ightarrow0}\frac{f(\Delta x + 1) - f(1)}{\Delta x} = f'(1)

    = 2018.1 - 2.2019.1 + 2019 =2019

    Vậy \lim_{\Delta x ightarrow0}\frac{f(\Delta x + 1) - f(1)}{\Delta x} = 2019

  • Câu 11: Nhận biết
    Khoảng cách viên đạn với mặt đất tại thời điểm t

    Một viên đạn được bắn lên cao theo phương trình s(t) = 196 - 4,9t^{2} trong đó t > 0, t tính bằng giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên cao và s(t) là khoảng cách của viên đạn so với mặt đất được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?

    Hướng dẫn:

    Vận tốc của viên đạn v(t) = s_{0}(t) =196 - 9,8t

    Ta có:

    \begin{matrix}v(t) = 0 \hfill \\\Leftrightarrow 196 - 9,8t = 0 \hfill \\\Leftrightarrow t = 20 \hfill\\\end{matrix}

    Khi đó viên đạn cách mặt đất một khoảng là:

    h = s(20) = 196.20 - 4,9.20^{2} =1960m

    Vậy tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất 1960m.

  • Câu 12: Thông hiểu
    Chọn khẳng định sai

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}x^{2} - 1\ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\- x^{2}\ \ \ \ \ \ khi\ x < 0 \\\end{matrix} ight.. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\left( x^{2}- 1 ight) = - 1 \\\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( -x^{2} ight) = 0 \\\end{matrix} ight.

    Vì \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) eq\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)nên hàm số không liên tục tại x = 0

    Do đó hàm số không có đạo hàm tại x = 0

    Vậy khẳng định sai là “Hàm số có đạo hàm tại x = 0”

  • Câu 13: Nhận biết
    Định nghĩa đạo hàm

    Cho f là hàm số liên tục tại x0. Đạo hàm của f tại x0 là:

    Hướng dẫn:

    Đạo hàm của f tại x0 là: \lim_{h ightarrow 0}\frac{f\left(x_{0} + h ight) - f(x)}{h} (nếu tồn tại giới hạn).

  • Câu 14: Vận dụng
    Tính gia tốc tức thời của chuyển động

    Một chất điểm chuyển động thẳng quãng đường được xác định bởi phương trình s(t) = t^{3} - 3t^{2} - 5 trong đó quãng đường s tính bằng mét (m), thời gian t tính bằng giây (s). Khi đó gia tốc tức thời của chuyển động tại giây thứ 10 là bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Ta có: a(t) = \left\lbrack v(t)ightbrack' = \left\lbrack s(t) ightbrack'' = 6t -6

    Vậy gia tốc tức thời của chuyển động tại giây thứ 10 là a(10) = 54m/s^{2}

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Số giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} + 6x^{2} + 9x+ 3 có đồ thị (C). Tồn tại hai tiếp tuyến phân biệt của (C) có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA = 2017.OB. Hỏi có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán?

    Hướng dẫn:

    Đồ thị (C) có hai tiếp tuyến phân biệt có cùng hệ số góc k.

    => Hệ phương trình (I):\left\{\begin{matrix}y = x^{3} + 6x^{2} + 9x + 3\ \ (1) \\k = 3x^{2} + 12x + 9\ \ \ (2) \\\end{matrix} ight.có hai nghiệm phân biệt

    \begin{matrix}\Rightarrow \Delta'_{(2)} = 6^{2} - 3(9 - k) = 9 + 3k > 0 \\\Rightarrow k > - 3 \\\end{matrix}

    Từ hệ \left\{ \begin{matrix}y = \left( \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} ight)\left( 3x^{2} + 12x + 9ight) - 2x - 3 \\k = 3x^{2} + 12x + 9 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow y = \left( \frac{k}{3} - 2ight)x + \frac{2}{3}k - 3(*)

    Như vậy (*) là phương trình của đường thẳng đi qua tiếp điểm của hai tiếp tuyến cần tìm.

    Khi đó A\left( \frac{- 2k + 9}{k - 6};0ight),B\left( 0;\frac{2k - 9}{3} ight);(k eq 6)

    Theo bài ra ta có:

    OA = 2017.OB

    \Leftrightarrow \left| \frac{2k - 9}{k -6} ight| = 2017.\left| \frac{- 2k + 9}{3} ight|

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}k = \dfrac{9}{2} \\k = 6057 \\k = - 6045(ktm) \\\end{matrix} ight.

    Vậy có hai giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán.

0/15
15 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (40%):
    2/3
  • Thông hiểu (33%):
    2/3
  • Vận dụng (20%):
    2/3
  • Vận dụng cao (7%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 2 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CD

Đăng nhập