Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Hai mặt phẳng vuông góc Cánh Diều

I. Định nghĩa

Hai mặt phẳng cắt nhau tạo nên bốn góc nhị diện. Nếu một trong các góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì hai mặt phẳng đã cho gọi là vuông góc với nhau.

Giả sử hai mặt phẳng (M),(N) vuông góc với nhau. Kí hiệu là (M)\bot(N) hay (N)\bot(M).

Minh họa

Hai mặt phẳng vuông góc Cánh Diều

II. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Định lí 1

Nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng mà đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

Minh họa

Hai mặt phẳng vuông góc Cánh Diều

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có AC = BC;AD = BD. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng (CDM)\bot(ABC) và (CDM)\bot(ABD).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng vuông góc Cánh Diều

Vì MA = MB nên \left\{ \begin{matrix} AB\bot CM \\ AB\bot DM \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow AB\bot(CDM)

Hai mặt phẳng (ABC);(ABD) đều chứa đường thẳng AB nên (CDM)\bot(ABC) và (CDM)\bot(ABD).

III. Tính chất

Định lí 2

Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Minh họa

Hai mặt phẳng vuông góc Cánh Diều

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Các tam giác SAC,SBD cân. Chứng minh rằng:

a) SO\bot(ABCD)

b) (SAC)\bot(SBC)

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng vuông góc Cánh Diều

a) Ta có: Tam giác SAC;SBD cân tại S nên SO\bot AC,SO\bot BD

\Rightarrow SO\bot(ABCD)

b) Ta có: SO\bot(ABCD) \Rightarrow AC\bot SO và AC\bot BD (vì ABCD là hình thoi)

\Rightarrow AC\bot(SBD)

\Rightarrow (SAC)\bot(SBD)

Định lí 3

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

Minh họa

Hai mặt phẳng vuông góc Cánh Diều

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Hai mặt phẳng (SAD);(SAB) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A trên các cạnh SB,SD. Chứng minh rằng (SAC)\bot(AHK).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng vuông góc Cánh Diều

Ta có: \left\{ \begin{matrix} (SAB)\bot(ABCD) \\ (SAD)\bot(ABCD) \\ (SAB) \cap (SAD) = SA \\ \end{matrix} \right.

\Rightarrow SA\bot(ABCD) \Rightarrow BC\bot SA

Mà BC\bot AB \Rightarrow BC\bot(SAB) \Rightarrow (SBC)\bot(SAB)

Lại có: (SBC) \cap (SAB) = SB và AH\bot SB \Rightarrow AH\bot(SBC) \Rightarrow AH\bot SC(*)

Chứng minh tương tự ta có: (SCD)\bot(SAD)

Lại có: (SCD) \cap (SAD) = SD và AK\bot SD \Rightarrow AK\bot(SCD) \Rightarrow AK\bot SC(**)

Từ (*) và (**) suy ra SC\bot(AHK) \Rightarrow (SAC)\bot(AHK)

Câu trắc nghiệm mã số: 9971,9968
  • 5 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CD