Đề thi giữa kì 1 Toán 11 sách Cánh Diều

Câu 1: Nhận biết

Xác định nghiệm của phương trình

Phương trình $\sin x + 1 = 0$ có nghiệm là:

A.
$x = k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
B.
$x = - \frac{\pi}{2} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
C.
$x = \frac{3\pi}{2} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
D.
$x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Hướng dẫn:

Ta có:

$\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Câu 2: Thông hiểu

Tìm giao điểm đường thẳng với mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Trên các cạnh $CD;CB;SA$ lần lượt lấy các điểm $M,N,K$ làm trung điểm. Biết rằng $SO \cap (MNK) = E$ . Khi đó điểm E là giao điểm của hai đường thẳng:

A.
$KN;SO$
B.
$MN;SO$
C.
$KM;SO$
D.
$KH;SO$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: $E = SO \cap KH$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} E \in KH \subset (KMN) \\ E \in SO \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow SO \cap (MNK) = E$

Câu 3: Thông hiểu

Tìm kết quả đúng

Biết rằng $\frac{\sin\dfrac{\pi}{9} +\sin\dfrac{5\pi}{9}}{\cos\dfrac{\pi}{9} + \cos\dfrac{5\pi}{9}} = \tan\left(\dfrac{m\pi}{n} ight)$ với $m,n\in\mathbb{ N}$ và $\frac{m}{n}$ tối giản. Khi đó kết quả nào sau đây đúng?

A.
$n - m = 4$
B.
$n - m = 2$
C.
$n - m = 1$
D.
$n - m = 5$

Hướng dẫn:

Ta có:

$\frac{\sin\dfrac{\pi}{9} +\sin\dfrac{5\pi}{9}}{\cos\dfrac{\pi}{9} + \cos\dfrac{5\pi}{9}} =\frac{2\sin\dfrac{\pi}{3}\cos\left( - \dfrac{2\pi}{9}ight)}{2\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\left( - \dfrac{2\pi}{9} ight)} =\tan\left( \dfrac{\pi}{3} ight)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 1 \\ n = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow n - m = 2$

Câu 4: Nhận biết

Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có số hạng đầu và công sai lần lượt là $- 2;3$ . Số hạng thứ $10$ bằng:

A.
$u_{10} = 31$
B.
$u_{10} = 22$
C.
$u_{10} = 28$
D.
$u_{10} = 25$

Hướng dẫn:

Ta có: $u_{1} = - 2;d = 3$

$\Rightarrow u_{10} = u_{1} + 9d = 25$

Câu 5: Nhận biết

Tìm khẳng định sai

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A.
Nếu dãy số $\left( u_{n} ight)$ là một cấp số cộng thì $u_{n + 1} = \frac{u_{1} + u_{n + 2}}{2};\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ .
B.
Nếu dãy số $\left( u_{n} ight)$ là một cấp số nhân thì ${u^{2}}_{n + 1} = u_{1}.u_{n + 2};(\forall n \geq 2)$ .
C.
Số hạng tổng quát của CSN $\left( u_{n} ight)$ là $u_{n} = u_{1}.q^{n - 1};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ với công bội $q$ và số hạng đầu $u_{1}$ .
D.
Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ là $u_{n} = u_{1} + nd$ với công sai $d$ và số hạng đầu $u_{1}$ .

Hướng dẫn:

Khẳng định sai là: “Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ là $u_{n} = u_{1} + nd$ với công sai $d$ và số hạng đầu $u_{1}$ .”

Câu 6: Nhận biết

Tìm cấp số nhân

Dãy số nào là cấp số nhân?

A.
$u_{n} = 7 - 3n$
B.
$u_{n} = \frac{7}{3n}$
C.
$u_{n} = 7.2^{n + 1}$
D.
$u_{n} = 7 - 3^{n}$

Hướng dẫn:

Theo bài ra ta có:

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{7 - 3^{n + 1}}{7 - 3^{n}} = \frac{3\left( 7 - 3^{n} ight) - 14}{7 - 3^{n}} = 3 - \frac{14}{7 - 3^{n}}$ (loại)

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} =\dfrac{\dfrac{7}{3n + 3}}{\dfrac{7}{3n}} = 1 - \frac{1}{n +1}$ (loại)

$\dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7.2^{n +2}}{7.2^{n + 1}} = 2$ (thỏa mãn)

$\dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7 - 3(n +1)}{7 - 3n} = 1 - \frac{3}{7 - 3n}$ (loại)

Câu 7: Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên?

Hàm số $y = \frac{{2\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x - \cos 2x + 3}}$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 3
B. 4
C. 2
D. 1

Gợi ý:

Phương trình đã cho dạng phân thức, ta cần tìm điều kiện để phân thức có nghĩa, tức là tìm điều kiện của biểu thức dưới mẫu khác 0. Sau đó áp dụng giải PT bậc nhất đối với sin (x) và cos (x).

Hướng dẫn:

Ta có $y = \frac{{2\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x - \cos 2x + 3}}$

$\Leftrightarrow \left( {y - 2} ight)\sin 2x - \left( {y + 1} ight)\cos 2x = - 3y$

Điều kiện để phương trình có nghiệm

$\Leftrightarrow {\left( {y - 2} ight)^2} + {\left( {y + 1} ight)^2} \geqslant {\left( { - 3y} ight)^2} \Leftrightarrow 7{y^2} + 2y - 5 \leqslant 0$

$\Leftrightarrow - 1 \leqslant y \leqslant \frac{5}{7}\xrightarrow{{y \in \mathbb{Z}}}y \in \left\{ { - 1;0} ight\}$ nên có 2 giá trị nguyên.

Câu 8: Nhận biết

Tìm khẳng định đúng

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
Qua ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng.
B.
Qua hai điểm phân biệt xác định duy nhất một mặt phẳng.
C.
Qua bốn điểm phân biệt bất kì chỉ xác định được duy nhất một mặt phẳng.
D.
Qua ba điểm phân biệt bất kì xác định duy nhất một mặt phẳng.

Hướng dẫn:

Đáp án: “Qua hai điểm phân biệt xác định duy nhất một mặt phẳng” sai vì có vô số mặt phẳng đi qua hai điểm đã cho.

Đáp án: “Qua ba điểm phân biệt bất kì xác định duy nhất một mặt phẳng” sai vì có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt thẳng hàng.

Đáp án: “Qua bốn điểm phân biệt bất kì chỉ xác định được duy nhất một mặt phẳng” sai vì trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm không đồng phẳng thì không có mặt phẳng nào đi qua 4 điểm đó.

Vậy khẳng định đúng là: “Qua ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặ

Câu 9: Thông hiểu

Chọn kết luận đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Lấy điểm $M \in SA$ , mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và song song với $SB,AC$ . Giao điểm của mặt phẳng $(\alpha)$ với các cạnh $AB,BC,SC,SD,BD$ lần lượt tại $N,E,F,I,J$ . Kết luận nào sau đây đúng?

A.
$EF//(ASD)$
B.
$MN//(SCD)$
C.
$JI//(SAB)$
D.
$NF//(SAD)$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} IJ = (\alpha) \cap (SBD) \\ (\alpha)//SB \subset (SBD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (\alpha) \cap (SBD) = IJ//SB$

Mà $SB \subset (SAB) \Rightarrow IJ//(SAB)$

Câu 10: Nhận biết

Chọn đáp án đúng

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.
Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
B.
Không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng a và b thì ta nói a và b chéo nhau.
C.
Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
D.
Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Hướng dẫn:

Đáp án: “Không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng a và b thì ta nói a và b chéo nhau” đúng vì theo định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau.

Đáp án: “Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau” sai vì hai đường thẳng đó chưa chắc đã phân biệt.

Đáp án: “Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau” sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.

Đáp án: “Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng không có điểm chung” sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.

Câu 11: Thông hiểu

Chọn đáp án đúng

Cho tam giác $ABC$ có các góc $\widehat{A};\widehat{B};\widehat{C}$ bất kì. Biểu thức $T = \sin\widehat{A} + \sqrt{3}\cos\widehat{A}$ không thể nhận giá trị nào sau đây?

A.
$- \frac{1}{\sqrt{2}}$
B.
$\sqrt{3}$
C.
$2\sqrt{3}$
D.
$1$

Hướng dẫn:

Ta có:

$T = \sin\widehat{A} + \sqrt{3}\cos\widehat{A}$

$= 2\left( \sin\widehat{A}.\frac{1}{2} + \cos\widehat{A}.\frac{\sqrt{3}}{2} ight)$

$= 2\left( \sin\widehat{A}\cos\frac{\pi}{3} + \cos\widehat{A}.sin\frac{\pi}{3} ight)$

$= 2sin\left( \widehat{A} + \frac{\pi}{3} ight)$

Với tam giác ABC bất kì ta luôn có:

$0 < \widehat{A} < \pi \Rightarrow \frac{\pi}{3} < \widehat{A} + \frac{\pi}{3} < \frac{4\pi}{3}$

$\Rightarrow - \sqrt{3} < T \leq 2$

Vậy biểu thức $T = \sin\widehat{A} + \sqrt{3}\cos\widehat{A}$ không thể nhận giá trị $2\sqrt{3}$ .

Câu 12: Thông hiểu

Chọn kết luận đúng

Cho tứ diện $ABCD$ có $I,J$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC$ và $ABD$ . Chọn kết luận đúng?

A.
$IJ//AB$
B.
$IJ;CD$ chéo nhau
C.
$IJ//CD$
D.
$IJ;AB$ cắt nhau

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và BC

Suy ra MN là đường trung bình tam giác BCD => MN // CD (*)

Do I, J là trọng tâm tam giác ABC và ABD suy ra $\frac{AI}{AM} = \frac{AJ}{AN} = \frac{2}{3} \Rightarrow JI//MN(**)$

Từ (*) và (**) suy ra TH

1

Câu 13: Thông hiểu

Chọn kết quả đúng

Một bánh xe đạp trong 5 giây quay được 2 vòng. Hỏi bánh xe quay được 1 góc bao nhiêu độ trong 2 giây?

A.
$300^{0}$
B.
$120^{0}$
C.
$288^{0}$
D.
$108^{0}$

Hướng dẫn:

Trong 1 giây bánh xe quay được $\frac{2}{5}$ vòng

Suy ra trong 2 giây bánh xe quay được $\frac{4}{5}$ vòng

Vậy góc bánh xe quay được là: $\frac{4}{5}.360^{0} = 288^{0}$

Câu 14: Thông hiểu

Tìm mệnh đề đúng

Biết rằng $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
$\cos\left( 2\alpha + \frac{7\pi}{2} ight) > 0$
B.
$\cot\left( 2\alpha + \frac{7\pi}{2} ight) > 0$
C.
$\tan\left( 2\alpha + \frac{7\pi}{2} ight) < 0$
D.
$\sin\left( 2\alpha + \frac{7\pi}{2} ight) < 0$

Hướng dẫn:

Ta có:

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4} \Rightarrow \pi < 2\alpha < \frac{3\pi}{2}$

$\Rightarrow \frac{9\pi}{2} < 2\alpha + \frac{7\pi}{2} < 5\pi$

Xét trên đường tròn lượng giác ta thấy $2\alpha + \frac{7\pi}{2}$ thuộc góc phần tư thứ II nên ta có:

$\sin\left( 2\alpha + \frac{7\pi}{2} ight) > 0$

$\cos\left( 2\alpha + \frac{7\pi}{2} ight) < 0$

$\tan\left( 2\alpha + \frac{7\pi}{2} ight) < 0$

$\cot\left( 2\alpha + \frac{7\pi}{2} ight) < 0$

Câu 15: Thông hiểu

Tìm các điểm biểu diễn nghiệm phương trình

Trên đường tròn lượng giác có bao nhiêu vị trí biểu diện nghiệm của phương trình $\tan3x= \tan x$ ?

A.
$3$
B.
$1$
C.
$0$
D.
$4$

Hướng dẫn:

Điều kiện xác định:

$\left\{ \begin{matrix}\cos3x eq 0 \\\cos x eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3} \\x eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Ta có:

$\tan3x = \tan x$

$\Leftrightarrow 3x = x + k\pi$

$\Leftrightarrow x = \frac{k\pi}{2};\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Kết hợp với điều kiện xác định suy ra phương trình có nghiệm $x = k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ nghĩa là có 2 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

Câu 16: Vận dụng

Tính diện tích thiết diện

Cho tứ diện $ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $x$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(CDG)$ và tứ diện $ABCD$ ?

A.
$\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}$
B.
$\frac{x^{2}\sqrt{3}}{2}$
C.
$\frac{x^{2}\sqrt{2}}{4}$
D.
$\frac{x^{2}\sqrt{2}}{6}$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa:

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC$

$\Rightarrow AN \cap MC = G$

Ta có: $(CDG) \cap AB = M$

Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng $(CDG)$ và tứ diện $ABCD$

Tam giác ABD đều cạnh bằng $x$ có $M$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow MD = \frac{x\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ABC đều cạnh bằng $x$ có $M$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow MC = \frac{x\sqrt{3}}{2}$

Gọi H là trung điểm của CD $\Rightarrow MH\bot CD$

$\Rightarrow S_{MCD} = \frac{1}{2}MH.CD$

Ta có: $MH = \sqrt{MC^{2} - HC^{2}}$

$\Leftrightarrow MH = \sqrt{MC^{2} - \frac{CD^{2}}{2}}$

$\Leftrightarrow MH = \frac{x\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow S_{MCD} = \frac{1}{2}.\frac{x\sqrt{2}}{2}.x = \frac{x^{2}\sqrt{2}}{4}$

Câu 17: Thông hiểu

Tìm số hạng cuối cùng của dãy

Cho cấp số nhân có 6 số hạng với cộng bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Số hạng cuối cùng của cấp số nhân có giá trị là:

A.
$32$
B.
$104$
C.
$48$
D.
$96$

Hướng dẫn:

Ta có: $S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)}{1 - q}$ mà $n = 6;q = 2;S_{n} = 189$

$\Rightarrow 189 = \frac{u_{1}\left( 1 - 2^{6} ight)}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 3$

$\Rightarrow u_{6} = u_{1}.q^{6} = 96$

Câu 18: Thông hiểu

Tìm số hạng thứ k

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ có số hạng tổng quát $u_{n} = \frac{n + 3}{2n^{2} - 1}$ . Biết rằng $u_{k} = \frac{7}{31}$ . Khi đó $u_{k}$ là số hạng thứ mấy trong dãy số?

A.
Thứ sáu
B.
Thứ tư
C.
Thứ bảy
D.
Thứ năm

Hướng dẫn:

Ta có:

$u_{k} = \frac{7}{31} \Rightarrow \frac{k + 3}{2k^{2} - 1} = \frac{7}{31}$

$\Leftrightarrow 14k^{2} - 7 = 31k + 93$

$\Leftrightarrow 14k^{2} - 31k - 100 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}k = 4(tm) \\k = - \dfrac{25}{14}(ktm) \\\end{matrix} ight.$

Vậy $u_{k}$ là số hạng thứ tư trong dãy số.

Câu 19: Vận dụng

Chọn đáp án đúng

Cho tập hợp $M = \left\{ 2^{1};2^{2};2^{3};...;2^{2020} ight\}$ . Số tập hợp con của tập hợp $M$ gồm ba phần tử có thể sắp xếp thành một cấp số nhân tăng là:

A.
$1044044$
B.
$1019090$
C.
$2086068$
D.
$2020202$

Hướng dẫn:

Gọi ba phần tử thỏa mãn yêu cầu bài toán là $2^{a} < 2^{b} < 2^{c}$ với $a,b,c \in \left\{ 1;2;...;2020 ight\}$

$2^{a};2^{b};2^{c}$ lập thành một cấp số nhân

Suy ra $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng

$\Rightarrow a + b = 2c$

Thấy rằng a và c phải cùng tính chẵn lẻ.

Khi đó số tập con thỏa mãn yêu cầu bài toán là $C_{1010}^{2} + C_{1010}^{2} = 1019090$

Câu 20: Nhận biết

Viết 5 số hạng đầu của dãy số

Hãy liệt kê năm số hạng đầu của dãy số $\left( u_{n} ight)$ có số hạng tổng quát $u_{n} = 3^{n} + n - 2;\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ ?

A.
$2;9;28;83;246$
B.
$2;9;28;83;264$
C.
$2;6;28;82;246$
D.
$2;6;10;14;18$

Hướng dẫn:

Ta có:

$u_{1} = 3^{1} + 1 - 2 = 2$

$u_{2} = 3^{2} + 2 - 2 = 9$

$u_{3} = 3^{3} + 3 - 2 = 28$

$u_{4} = 3^{4} + 4 - 2 = 83$

$u_{5} = 3^{5} + 5 - 2 = 246$

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là $2;9;28;83;246$

Câu 21: Thông hiểu

Tìm khẳng định đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $SC$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $AI$ và song song với $BD$ cắt các cạnh $SB,SD$ lần lượt tại $M,N$ . Tìm khẳng định đúng dưới dây?

A.
$\frac{SN}{SD} = \frac{1}{2}$
B.
$\frac{MB}{SB} = \frac{1}{3}$
C.
$\frac{SM}{SB} = \frac{3}{4}$
D.
$\frac{SM}{SB} = \frac{SN}{SD} = \frac{1}{3}$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: $E$ là giao điểm của AI và SO, kẻ đường thẳng qua E song song với BD và cắt SB, SD lần lượt tại M và N. Khi đó: $(\alpha) \equiv (AMIN)$

Dễ thấy E là trọng tâm tam giác SAC nên $\frac{OS}{OE} = \frac{1}{3}$

$MN//BD \Rightarrow \frac{MB}{SB} = \frac{OE}{SO} = \frac{1}{3}$

Câu 22: Thông hiểu

Tìm số hạng thứ 10 của dãy số

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có công bội âm. Biết $u_{3} = 12;u_{7} = 192$ . Khi đó $u_{10} = ?$

A.
$1536$
B.
$- 1536$
C.
$3072$
D.
$- 3072$

Hướng dẫn:

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{3} = 12 \\ u_{7} = 192 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}.q^{2} = 12 \\ u_{1}.q^{6} = 192 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \frac{q^{2}}{q^{6}} = \frac{12}{192} \Leftrightarrow q^{4} = 16$

$\Leftrightarrow q = - 2;(q < 0) \Rightarrow u_{1} = 3$

$\Rightarrow u_{10} = u_{1}.q^{9} = 3.( - 2)^{9} = - 1536$

Câu 23: Thông hiểu

Giải phương trình lượng giác

Tìm tập nghiệm của phương trình $\frac{2cosx + \sqrt{2}}{\sqrt{2}\sin x + 1} = 0$ ?

A.
$S = \left\{ - \frac{3\pi}{4} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
B.
$S = \left\{ \pm \frac{\pi}{4} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
C.
$S = \left\{ \frac{3\pi}{4} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
D.
$S = \left\{ \frac{\pi}{4} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Hướng dẫn:

Điều kiện: $\sqrt{2}\sin x + 1 eq 0 \Leftrightarrow \sin x eq - \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq - \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\x eq \dfrac{5\pi}{4} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Ta có:

$\frac{2\cos x + \sqrt{2}}{\sqrt{2}\sin x +1} = 0$

$\Leftrightarrow 2cosx + \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \cos x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi \\x = - \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ \left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình có nghiệm $x = \frac{3\pi}{4} + k2\pi;k\mathbb{\in Z}$

Vậy phương trình có tập nghiệm là: $S = \left\{ \frac{3\pi}{4} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Câu 24: Thông hiểu

Tìm kết luận đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $(AB > CD)$ . Lấy một điểm $M$ thuộc cạnh $CD$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ qua M song song với SA và BC. Giả sử $(\alpha) \cap (SAD) = d$ . Kết luận nào sau đây đúng?

A.
$d//BC$
B.
$d//SA$
C.
$d//SD$
D.
$d//SC$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} M \in (\alpha) \cap (ABCD) \\ (\alpha)//BC \subset (ABCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (\alpha) \cap (ABCD) = MN//BC;(N \in AB)$

Trong mặt phẳng (ABCD) kéo dài AD cắt MN tại E.

Ta lại có: $\left\{ \begin{matrix} E \in (\alpha) \cap (SAD) \\ (\alpha)//SA \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $(\alpha) \cap (SAD) = d//SA$

Câu 25: Thông hiểu

Tìm khẳng định sai

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD,M$ là trung điểm $CD,I$ là điểm ở trên đoạn thẳng $AG,BI$ cắt mặt phẳng $(ACD)$ tại $J$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.
$J$ là trung điểm của $AM$ .
B.
$DJ = (ACD) \cap (BDJ)$ .
C.
$AM = (ACD) \cap (ABG)$ .
D.
$A,J,M$ thẳng hàng.

Hướng dẫn:

Ta có $A$ là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(GAB)$ .

Do $BG \cap CD = M \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} M \in BG \subset (ABG) \Rightarrow M \in (ABG) \\ M \in CD \subset (ACD) \Rightarrow M \in (ACD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow M$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(GAB)$

$\Rightarrow (ABG) \cap (ACD) = AM$ nên $AM = (ACD) \cap (ABG)$ đúng.

$\Rightarrow J = BI \cap AM \Rightarrow A,J,M$ thẳng hàng nên $A,J,M$ thẳng hàng đúng

Ta có $\left\{ \begin{matrix} DJ \subset (ACD) \\ DJ \subset (BDJ) \\ \end{matrix} \Rightarrow DJ = (ACD) \cap (BDJ) ight.$ nên $DJ = (ACD) \cap (BDJ)$ đúng.

Điểm $I$ di động trên $AG$ nên $J$ có thể không phải là trung điểm của $AM$

Nên $J$ là trung điểm của $AM$ sai.

Câu 26: Nhận biết

Chọn kết luận đúng

Cho tứ diện $ABCD$ , $M \in BC$ sao cho $\frac{BM}{MC} = 2$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ . Kết luận nào dưới đây đúng?

A.
$GM//(ABD)$
B.
$GM//(ACD)$
C.
$GM//(ABC)$
D.
$GM//(BCD)$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của AD.

Ta có: $\frac{BM}{CB} = \frac{BG}{BP} = \frac{2}{3} \Rightarrow MG//CP$

Mà $CP \subset (ACD) \Rightarrow MG//(ACD)$

Câu 27: Thông hiểu

Tìm tập xác định của hàm số

Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}}$ ?

A.
$D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
B.
$D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - \frac{\pi}{2} + k2\pi;\frac{\pi}{2} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
C.
$D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - \frac{\pi}{2} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
D.
$D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Hướng dẫn:

Ta có: $- 1 \leq \sin x \leq 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - \sin x \geq 0 \\ 1 + \sin x \geq 0 \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số được xác định khi $1 + \sin x eq 0 \Leftrightarrow x eq - \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy tập xác định của hàm số là $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - \frac{\pi}{2} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Câu 28: Nhận biết

Tính quãng đường chuyển động

Một chất điểm chuyển động trên một đường tròn đường kính 80cm. Biết chất điểm chạy được 5 vòng. Tính quãng đường chuyển động của chất điểm?

A.
$800\pi(cm)$
B.
$80\pi(cm)$
C.
$200\pi(cm)$
D.
$400\pi(cm)$

Hướng dẫn:

Ta có: $r = 40cm \Rightarrow l = 40.2\pi.5 = 400\pi(cm)$

Câu 29: Thông hiểu

Tính số đo góc lượng giác

Biết $\sin\alpha = - \frac{4}{5};\left( 3\pi < \alpha < \frac{7\pi}{2} ight)$ . Tính $\tan\alpha$ ?

A.
$\frac{3}{4}$
B.
$- \frac{3}{5}$
C.
$- \frac{5}{3}$
D.
$\frac{4}{3}$

Hướng dẫn:

Ta có: $3\pi < \alpha < \frac{7\pi}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \cos\alpha < 0 \\ \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight.$

Lại có $\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha =1$

$\Rightarrow \cos^{2}\alpha = 1 -\sin^{2}\alpha = \frac{9}{25}$

$\Rightarrow \cos\alpha = \pm \frac{3}{5}$

Vì $\cos\alpha < 0 \Rightarrow \cos\alpha = - \frac{3}{5}$

$\Rightarrow \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{4}{3}$

Câu 30: Thông hiểu

Tìm tập nghiệm phương trình

Kết luận nào đúng về tập nghiệm của phương trình $\cos\left( \frac{\pi}{3} + \pi x ight) = \sin(\pi x)$ ?

A.
$S = \left\{ \frac{1}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
B.
$S = \left\{ \frac{\pi}{12} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
C.
$S = \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
D.
$S = \left\{ \frac{1}{12} + k|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Hướng dẫn:

Ta có:

$\cos\left( \frac{\pi}{3} + \pi x ight) = \sin(\pi x)$

$\Leftrightarrow \sin\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} - \pi x ight) = \sin(\pi x)$

$\Leftrightarrow \sin\left( \frac{\pi}{6} - \pi x ight) = \sin(\pi x)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\pi x = \dfrac{\pi}{6} - \pi x + k2\pi \\\pi x = \pi - \dfrac{\pi}{6} + \pi x + k2\pi(L) \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow x = \frac{1}{12} + k;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $\pi x = \frac{\pi}{6} - \pi x + k2\pi$ .

Câu 31: Nhận biết

Xác định thiết diện

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Lấy một điểm $M$ trên cạnh $SB;(M eq S;M eq B)$ . Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(ADM)$ với hình chóp là:

A.
Hình thang
B.
Hình tam giác
C.
Hình bình hành
D.
Hình chữ nhật

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Sử dụng định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có giao tuyến của ( ADM ) với (SBC) là MN sao cho MN // BC.

Ta có: MN // BC // AD nên thiết diện AMND là hình thang.

Câu 32: Thông hiểu

Tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳng

Cho tứ giác $ABCD$ có $O$ là giao điểm của $AC;BD$ . Lấy một điểm $S$ bất kì không thuộc $(ABCD)$ , một điểm $M$ bất kì thuộc cạnh $SC$ $(M eqS,M eq C)$ . Gọi $K$ là giao điểm của $SO$ và $AM$ . Khi đó giao điểm của $SD$ và mặt phẳng $(ABM)$ là:

A.
Giao điểm của $SD;MK$
B.
Giao điểm của $SD;AB$
C.
Giao điểm của $SD;AM$
D.
Giao điểm của $SD;BK$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và ( ABM ).

Ta có B là điểm chung thứ nhất của (SBD) và ( ABM ).

Trong mặt phẳng ( ABCD) có $O = AC \capBD$

Trong mặt phẳng (SAC) có $K = AM \capSO$

Suy ra $BK = (SBD) \cap (ABM)$

Trong mặt phẳng (SBD) gọi $N = SD \capBK$ và do $BK \subset(ABM)$

$N = SD \cap (ABM)$

Câu 33: Vận dụng cao

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

Tính giá trị lớn nhất của hàm số $y =\sqrt{1 + \frac{1}{2}cos^{2}x} + \frac{1}{2}\sqrt{5 +2sin^{2}x}$

A.
$1 + \sqrt{5}$
B.
$1 +\frac{\sqrt{5}}{2}$
C.
$\frac{\sqrt{22}}{2}$
D.
$\frac{\sqrt{11}}{2}$

Hướng dẫn:

Ta có:

$\begin{matrix}y = \sqrt{1 + \dfrac{1}{2}cos^{2}x} + \dfrac{1}{2}\sqrt{5 + 2sin^{2}x}\hfill \\= \sqrt{1 + \dfrac{1}{2}cos^{2}x} + \sqrt{\dfrac{5}{4} +\dfrac{1}{2}sin^{2}x}\hfill \\\end{matrix}$

Áp dụng bất đẳng thức $2\left( a^{2} +b^{2} ight) \geq (a + b)^{2}$

Do đó

$\begin{matrix} 2\left[ {\left( {1 + \dfrac{1}{2}{{\cos }^2}x} ight) + \left( {\dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{2}{{\sin }^2}x} ight)} ight] \geqslant {y^2} \hfill \\ {y^2} \leqslant 2\left( {\dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{2}} ight) = \dfrac{{11}}{2} \hfill \\ \Rightarrow y \leqslant \dfrac{{\sqrt {22} }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Dấu bằng xảy ra khi

$\begin{matrix} 1 + \dfrac{1}{2}{\cos ^2}x = \dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{2}{\sin ^2}x \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos 2x = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \cos 2x = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 34: Thông hiểu

Chọn kết luận đúng

Cho hàm số $y =\tan2x$ . Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau khi xét sự biến thiên của hàm số đã cho trên một chu kì tuần hoàn?

A.
Hàm số luôn đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$
B.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{4} ight)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)$ .
C.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{4} ight)$ và $\left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)$ .
D.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{4} ight)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)$ .

Hướng dẫn:

Tập xác định: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Hàm số $y = \tan2x$ tuần hoàn với chu kì $\frac{\pi}{2}$ , dựa vào các đáp án đã cho ta xét tính đơn điệu của hàm số trên $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)\backslash\left\{ \frac{\pi}{4} ight\}$

Dựa vào kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số $y = \tan x$ phần lí thuyết ta có thể suy ra với hàm số $y = tan2x$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{4} ight)$ và $\left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)$ .

Câu 35: Vận dụng

Tìm a để dãy số tăng?

Cho dãy số (u_n) biết $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1;u_{2} = 2 \\ u_{n + 2} = au_{n + 1} + (1 - a)u_{n},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.$ . Các giá trị của a để dãy số (u_n) tăng là?

A.
a > 0
B.
0 < a < 1
C.
a > 1
D.
a < 1

Hướng dẫn:

Xét hiệu u_n + 2 − u_n + 1

= au_n + 1 + (1−a)u_n − u_n + 1

= (a−1)(u_n + 1−u_n)

⇒ u₃ − u₂ = (a−1)(u₂−u₁) = (a−1);

⇒ u₄ − u₃ = (a−1)(u₃−u₂) = (a−1)²

u_n + 1 − u_n = (a−1)^n − 1 > 0

Để dãy số (u_n) tăng suy ra a − 1 > 0 ⇔ a > 1

Câu 36: Thông hiểu

Xác định giao tuyến hai mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Trên các cạnh $AB,CD$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ làm trung điểm. Xác định giao tuyến hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SMN)$ ?

A.
$MN$
B.
$SN$
C.
$SO$
D.
$SM$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}AM//NC;(AB//CD) \\AM = NC = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{DC}{2} \\\end{matrix} ight.$ suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

Do đó AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của MN, hay ba điểm M, O, N thẳng hàng.

Ta có: $S \in (SAC) \cap (SMN)(*)$

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix} O \in (SAC);AC \subset (SAC) \\ O \in (SMN);MN \subset (SMN) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow O \in (SAC) \cap (SMN)(**)$

Từ $(*)$ và $(**) \Rightarrow (SAC) \cap (SMN) = SO$

Câu 37: Thông hiểu

Tìm khẳng định sai

Cho tam giác $ABC$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.
$\cos\left( \widehat{A} + \widehat{B} ight) = \cos\widehat{C}$
B.
$\sin\frac{\widehat{A} + \widehat{C}}{2} = \cos\frac{\widehat{B}}{2}$
C.
$\cos\frac{\widehat{A} + \widehat{C}}{2} = \sin\frac{\widehat{B}}{2}$
D.
$\sin\left( \widehat{A} + \widehat{B} ight) = \sin\widehat{C}$

Hướng dẫn:

Ta có:

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = \pi \Rightarrow \widehat{A} + \widehat{B} = \pi - \widehat{C}$

Do đó $\cos\left( \widehat{A} + \widehat{B} ight) = \cos\left( \pi - \widehat{C} ight) = - \cos\widehat{C}$

Vậy khẳng định sai là: $\cos\left( \widehat{A} + \widehat{B} ight) = \cos\widehat{C}$

Câu 38: Thông hiểu

Chọn khẳng định sai

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ có số hạng tổng quát $u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{1 + n}$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.
Số hạng thứ 10 của dãy số bằng $- \frac{1}{11}$
B.
Dãy số $\left( u_{n} ight)$ là dãy số bị chặn trên
C.
Số hạng thứ 9 của dãy số bằng $\frac{1}{10}$
D.
Dãy số $\left( u_{n} ight)$ là dãy giảm

Hướng dẫn:

Ta có:

$u_{1} = - \frac{1}{2};u_{2} = \frac{1}{3};u_{3} = - \frac{1}{4}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight.$

Vậy dãy số đã cho không tăng không giảm.

Khẳng định sai là: “Dãy số $\left( u_{n} ight)$ là dãy giảm”

Câu 39: Thông hiểu

Tìm công sai d của cấp số cộng

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = - 1;S_{23} = 483$ . Tìm công sai $d$ của cấp số cộng?

A.
$d = 5$
B.
$d = - 5$
C.
$d = 2$
D.
$d = 4$

Hướng dẫn:

Gọi d là công sai của cấp số cộng khi đó ta có:

$S_{23} = 483 \Leftrightarrow \frac{23\left( 2u_{1} + 22d ight)}{2} = 483$

$\Leftrightarrow \frac{23.( - 2 + 22d)}{2} = 483$

$\Leftrightarrow d = 2$

Câu 40: Nhận biết

Khẳng định nào đúng

Chọn khẳng định đúng?

A.
Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong cùng một mặt phẳng thì không chéo nhau.
B.
Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
C.
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau.
D.
Hai đường thẳng phân biệt lần lượt chứa trong hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau.

Hướng dẫn:

Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt lần lượt chứa trong hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau” hai đường thẳng đó có thể song song với nhau do đó đáp án sai.

Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong cùng một mặt phẳng thì không chéo nhau” hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không thể chéo nhau do đó đáp án đúng.

Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau” hai đường thẳng đó có thể cắt nhau do đó đáp án sai.

Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau” hai đường thẳng đó có thể song song với nhau do đó đáp án sai.

Câu 41: Thông hiểu

Giải phương trình

Xác định nghiệm của phương trình $- \cos2x = \cos\left( x - 30^{0}ight)$ ?

A.
$\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 50^{0} + k120^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
B.
$\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 150^{0} + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
C.
$\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k360^{0} \\ x = 50^{0} + k120^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
D.
$\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k360^{0} \\ x = 150^{0} + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Hướng dẫn:

Ta có:

$- \cos2x = \cos\left( x - 30^{0}ight)$

$\Leftrightarrow \cos\left( 180^{0} - 2x ight) = \cos\left( x - 30^{0} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 30^{0} = 180^{0} - 2x + k360^{0} \\ x - 30^{0} = - 180^{0} + 2x + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 150^{0} - k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $\left\lbrack \begin{matrix} x = 70^{0} + k120^{0} \\ x = 150^{0} + k360^{0} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ .

Câu 42: Thông hiểu

Chọn đáp án đúng

Tính giá trị biểu thức $B = \cos2\alpha.\sin\alpha$ . Biết $\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ?.

A.
$B = \frac{17\sqrt{5}}{27}$
B.
$B = - \frac{\sqrt{5}}{27}$
C.
$B = \frac{\sqrt{5}}{27}$
D.
$B = - \frac{17\sqrt{5}}{27}$

Hướng dẫn:

Ta có:

$B = \cos2\alpha.\sin\alpha$

$= \left( 1 - 2\sin^{2}\alphaight).\sin\alpha$

$= \sin\alpha -2\sin^{3}\alpha$

$\Rightarrow B = \frac{\sqrt{5}}{3} - 2.\left( \frac{\sqrt{5}}{3} ight)^{3} = - \frac{\sqrt{5}}{27}$

Câu 43: Vận dụng cao

Tính diện tích đa giác tạo bởi các điểm biểu diễn nghiệm

Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình $\tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4} ight) =1$ .

A.
$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
B.
$\sqrt{2}$
C.
$\frac{3\sqrt{10}}{5}$
D.
$\sqrt{3}$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Điều kiện $\left\{ \begin{matrix}\cos x eq 0 \\\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x eq \dfrac{\pi}{4} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Ta có:

$\tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4}ight) = 1$

$\Leftrightarrow \tan x + \frac{\tan x +1}{1 - \tan x} = 1$

$\Leftrightarrow \tan x - tan^{2}x + \tanx + 1 = 1 - \tan x$

$\Leftrightarrow tan^{2}x - 3tanx =0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \tan x = 0 \hfill \\ \tan x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Với $tanx = 0$ ta được nghiệm $x=k\pi$

Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn 2 điểm có nghiệm trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn bởi điểm A và B.

Với $tanx = 3$ ta được $x = acrtan 3 + kπ$

Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn hai nghiệm biểu diễn lần lượt bởi điểm C và D.

Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

$\begin{matrix} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{AT}}{{OT}} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \widehat {ADC} = \dfrac{\alpha }{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AC}}{2}} \\ {\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AD}}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow 2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow AC.AD = \dfrac{6}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{5} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 44: Thông hiểu

Tính tổng 16 số hạng đầu dãy số

Cho một cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{4} = - 12;u_{14} = 18$ . Giá trị $S_{16}$ bằng bao nhiêu?

A.
$S_{16} = - 24$
B.
$S_{16} = - 26$
C.
$S_{16} = 26$
D.
$S_{16} = 24$

Hướng dẫn:

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{4} = - 12 \\ u_{14} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + 3d = - 12 \\ u_{1} + 13d = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 21 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

$S_{16} = \frac{\left( 2u_{1} + 15d ight).16}{2} = 24$

Câu 45: Vận dụng

Tính giá trị biểu thức Q

Cho tam giác $ABC$ có các góc $\widehat{A};\widehat{B};\widehat{C}$ thỏa mãn biểu thức $2\cos\widehat{A} +\cos\widehat{B} + \cos\widehat{C} = \frac{9}{4}$ . Biết rằng $\sin\frac{\widehat{A}}{2} = \frac{x}{y}$ với $x,y\in\mathbb{ N};yeq 0;(x;y) = 1$ . Tính giá trị biểu thức $Q = x + y$ ?

A.
$Q = 4$
B.
$Q = 3$
C.
$Q = 5$
D.
$Q = 9$

Hướng dẫn:

Ta có:

$2cos\widehat{A} + \cos\widehat{B} + \cos\widehat{C}$

$= 2 - 4\sin^{2}\frac{\widehat{A}}{2} +2\sin\frac{\widehat{A}}{2}.\cos\left( \frac{\widehat{B} - \widehat{C}}{2}ight)$

$= - 4.\left\lbrack \sin^{2}\frac{\widehat{A}}{2} -\frac{1}{2}\sin\frac{\widehat{A}}{2}.\cos\left( \frac{\widehat{B} -\widehat{C}}{2} ight) + \frac{1}{16}\cos^{2}\left( \frac{\widehat{B} -\widehat{C}}{2} ight) ightbrack$

$+ \frac{1}{4}\cos^{2}\left(\frac{\widehat{B} - \widehat{C}}{2} ight) + 2$

$= - 4.\left\lbrack\sin\frac{\widehat{A}}{2} - \frac{1}{4}\cos\left( \frac{\widehat{B} -\widehat{C}}{2} ight) ightbrack^{2} + \frac{1}{4}\cos^{2}\left(\frac{\widehat{B} - \widehat{C}}{2} ight) + 2$

$\leq \frac{1}{4}cos^{2}\left( \frac{\widehat{B} - \widehat{C}}{2} ight) + 2 \leq \frac{9}{4}\forall\Delta ABC$

Dấy “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{matrix}\widehat{B} = \widehat{C} \\\sin\dfrac{\widehat{A}}{2} = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x = 1;y = 4 \Rightarrow Q =5$

Câu 46: Thông hiểu

Xác định hàm số lượng giác

Hàm số nào tương ứng với đồ thị trong hình vẽ sau:

A.
$y = \sqrt{2}\cos\left( x + \frac{\pi}{4} ight)$
B.
$y = \sin\left( x - \frac{\pi}{4} ight)$
C.
$y = \cos\left( x - \frac{\pi}{4} ight)$
D.
$y = \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight)$

Hướng dẫn:

Ta thấy hàm số có giá trị lớn nhất bằng $\sqrt{2}$ và giá trị nhỏ nhất bằng $- \sqrt{2}$ nên loại các đáp án $y = \sin\left( x - \frac{\pi}{4} ight)$ và $y = \cos\left( x - \frac{\pi}{4} ight)$ .

Tại $x = \frac{3\pi}{4};y = - \sqrt{2}$ chỉ có hàm số $y = \sqrt{2}\cos\left( x + \frac{\pi}{4} ight)$ thỏa mãn.

Câu 47: Nhận biết

Chọn đáp án đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ . Trên các cạnh $AB$ và $AD$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $\frac{AM}{AB} = \frac{1}{2};\frac{AN}{ND} = 1$ . Hỏi $MN$ song song với mặt phẳng nào dưới đây?

A.
$(SBD)$
B.
$(SCD)$
C.
$(SBC)$
D.
$(ABCD)$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: $MN$ là đường trung bình của tam giác ABD suy ra MN//BD

Mặt khác $BD \subset (SBD) \Rightarrow MN//(SBD)$

Câu 48: Nhận biết

Công thức nào đúng

Chọn công thức đúng trong các công thức cho sau đây? (Biết các biểu thức đều xác định).

A.
$\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$
B.
$\tan x + \cot x = 1$
C.
$1 + \cot^{2}x =\frac{1}{\cos^{2}x}$
D.
$1 + \tan^{2}x = -\frac{1}{\sin^{2}x}$

Hướng dẫn:

Công thức đúng là:

$\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$

Câu 49: Nhận biết

Chọn đáp án đúng

Đổi số đo của góc $72^{0}$ sang radian được kết quả là:

A.
$\frac{2\pi}{3}$
B.
$\frac{2\pi}{5}$
C.
$\frac{3\pi}{5}$
D.
$\frac{4\pi}{5}$

Hướng dẫn:

Ta có: $1^{0} = \frac{\pi}{180}rad \Rightarrow 72^{0} = 72.\frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}rad$

Câu 50: Vận dụng

Tính tổng GTLN và GTNN

Cho hàm số $y =f(x) = \cos2x - 4\cos x + 4$ . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ ?

A.
$5$
B.
$8$
C.
$10$
D.
$20$

Hướng dẫn:

Ta có:

$y =f(x) = \cos2x - 4\cos x + 4$

$= 2\cos^{2}x - 4\cos x + 3$

Đặt $\cos x = t,t \in \lbrack - 1;1brack$ . Xét hàm số $f(t) = 2t^{2} - 4t + 3$ trên đoạn $\lbrack - 1;1brack$

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có: $\left\{ \begin{matrix} \max y = \max\underset{t \in \lbrack - 1;1brack}{f(t)} = 9 \\ \min y = \min\underset{t \in \lbrack - 1;1brack}{f(t)} = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 10.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 11 CD

Đề khảo sát chất lượng

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CD - Tháng 2

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CD - Tháng 2 (Đề 2)

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CD - Tháng 4

Đề khảo sát chất lượng Toán 11 CD - Tháng 4 (Đề 2)

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Luyện tập Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Các phép biến đổi lượng giác

Luyện tập Các phép biến đổi lượng giác

Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

Hàm số lượng giác và đồ thị

Luyện tập Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác cơ bản

Luyện tập Phương trình lượng giác cơ bản

Ôn tập & Kiểm tra Chương 1

Ôn tập chương 1

Đề kiểm tra 15 phút

Đề kiểm tra 45 phút

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Bài 1: Dãy số

Dãy số

Luyện tập Dãy số

Bài 2: Cấp số cộng

Cấp số cộng

Luyện tập Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân

Cấp số nhân

Luyện tập Cấp số nhân

Ôn tập & Kiểm tra Chương 2

Ôn tập chương 2

Đề kiểm tra 15 phút

Đề kiểm tra 45 phút

Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Giới hạn của dãy số

Luyện tập Giới hạn dãy số

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số

Luyện tập Giới hạn hàm số

Bài 3: Hàm số liên tục

Hàm số liên tục

Luyện tập Hàm số liên tục

Ôn tập & Kiểm tra Chương 3

Ôn tập chương 3

Đề kiểm tra 15 phút

Đề kiểm tra 45 phút

Một số hình thức đầu tư tài chính

Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Luyện tập Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Hai đường thẳng song song trong không gian

Luyện tập Hai đường thẳng song song

Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Đường thẳng và mặt phẳng song song

Luyện tập Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Hai mặt phẳng song song

Luyện tập Hai mặt phẳng song song

Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

Hình lăng trụ và hình hộp

Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Luyện tập Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Ôn tập & Kiểm tra Chương 4

Ôn tập chương 4

Đề kiểm tra 15 phút

Đề kiểm tra 45 phút

Chương 5: Một số yếu tố thống kê và xác suất

Bài 1: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

Luyện tập Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm