Ôn tập chương 4 Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

Hình chóp ngũ giác có 10 cạnh.

Hình vẽ minh họa

Gọi lần lượt là tâm của các hình bình hành

Vì là hình bình hành nên

Từ đó ta có:

(*)

(**)

Từ (*) và (**) suy ra hay

Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Vậy a song song d

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Do đó giao tuyến của với (ABC) là đường thẳng đi qua M và song song với AI cắt BC tại N.

Tương tự

Vậy giao tuyến của với hình chóp S.ABC là tứ giác .

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

(đường trung bình 4SAD)

(đường trung bình 4BAD)

=> O, N, M, P cùng nằm trong một mặt phẳng.

Do nên

=>    sai.

Vì 4 điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có 4 mặt.

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Do đó mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.

Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình thang và I, J là trung điểm của AD và BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

=> IJ // AB // CD

=> Trong (SAB) qua G kẻ MN // AB (M ∈ SA, N ∈ SB)

=> (SAB) ∩ (IJG) = MN và MN // IJ // AB // CD

Dễ thấy thiết diện của (IJG) và hình chóp là hình thang MNJI.

G là trọng tâm của tam giác SAB và MN // AB nên theo định lí Ta - lét ta có:

(Với E là trung điểm của AB)

=>

Ta lại có: IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên:

Để hình thang MNIJ trở thành hình bình hành thì điều kiện cần là MN = IJ

Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một thì ba giao tuyến song song hoặc đồng quy.

Đường thẳng    song song với mặt phẳng    khi và chỉ khi    không nằm trong , đồng thời    song song với một đường thẳng nằm trong   .

Hình vẽ minh hoạ

Trong mp(ABD) kẻ

Trong mp(ABC) kẻ

Gọi P là điểm đối xứng của C qua D.

Khi đó

=> Tam giác ACP và tam giác BCP lần lượt vuông tại A, B, và có J là trọng tâm tam giác ACP, N là trọng tâm tam giác BCP.

Ta lại có:

Mặt khác

Trong tam giác PAC vuông tại A ta có:

Diện tích tam giác PIM

Với

Hình vẽ minh họa

Ta có:

, d đi qua S và .

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng (ACD) kẻ .

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ .

Từ đó suy ra

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của (MNP) và tứ diện ABCD là tam giác MNP.