Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

A.  Góc lượng giác

1. Góc hình học và số đo của chúng

  • Góc hình học là hình gồm hai tia chung gốc.
  • Mỗi góc có một số đo, đơn vị đo góc là độ.
  • Nếu chia đường tròn thành 360 cung tròn bằng nhau thì góc ở tâm chắn mỗi cung 10.
  • Số đo của một góc hình học không vượt quá 1800.
  • Nếu trên đường tròn ta lấy một cung tròn có độ dài bằng bán kính thì góc ở tâm chắn cung đó gọi là góc có số đo 1 radian (hay rad).

Chú ý:

1rad = {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^0} {1^0} = {\left( {\frac{\pi }{{180}}} \right)^0}

Ví dụ: Hoàn thành bảng chuyển đổi số đo góc sau:

Độ

2600

?

1400

?

Radian

?

 \frac{{5\pi }}{9}

?

 \frac{{7\pi }}{4}

Hướng dẫn giải

Độ

2600

1000

1400

3150

Radian

 \frac{{13\pi }}{9} \frac{{5\pi }}{9} \frac{{7\pi }}{9} \frac{{7\pi }}{4}

Ví dụ: Một đường tròn có bán kính 20cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:

a) \frac{\pi }{{12}}

b) {35^0}

Hướng dẫn giải

a) Độ dài cung đường tròn là: l = \frac{\pi }{{12}}.20 \approx 5,236\left( {cm} \right)

b) Ta có: {35^0} = \frac{{7\pi }}{{36}}

Độ dài cung đường tròn là: l = \frac{{7\pi }}{{36}}.20 \approx 12,22\left( {cm} \right)

Câu trắc nghiệm mã số: 44524

2. Góc lượng giác và số đo của chúng

a) Khái niệm

Cho hai tia Ou, Ov.

Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác với tia đầu Ou và tia cuối Ov. Kí hiệu: (Ou, Ov).

Minh họa

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Chú ý:

  • Khi tia Om quay góc a0 thì góc lượng giác mà tia đó quét được có số đo a0, (tương tự với rad).
  • Nếu góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo a0 thì ta kí hiệu sđ(Ou, Ov) = a hoặc (Ou, Ov) = a.
  • Mỗi một góc lượng giác gốc O xác định bởi tia đầu Ou và tia cuối Ov và số đo của góc đó.

Minh họa:

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

b) Tính chất

Cho hai góc lượng giác (Ou, Ov); (O’u’, O’v’) có tia đầu trùng nhau (Ou ≡ O’u’) tia cuối trùng nhau (Ov≡ O’v’). Khi đó

  • Nếu sử dụng đơn vị đo là độ thì ta nói:

\left( {Ou,Ov} \right) = \left( {O'u',O'v'} \right) + k{.360^0},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

  • Nếu sử dụng đơn vị đo là radian thì công thức trên có thể viết như sau:

\left( {Ou,Ov} \right) = \left( {O'u',O'v'} \right) + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

Với ba tia Ou,Ov,Ow tùy ý ta có:

\left( {Ou,Ov} \right) + \left( {Ov,Ow} \right) = \left( {Ou,Ow} \right) + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

Ví dụ: Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo \frac{\pi }{5}. Hỏi trong các góc \frac{{6\pi }}{5};\frac{{9\pi }}{5};\frac{{ - 11\pi }}{5};\frac{{31\pi }}{5};\frac{{ - 14\pi }}{5} những góc nào có số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{matrix} \dfrac{{6\pi }}{5} = \pi + \dfrac{\pi }{5} \hfill \\ \dfrac{{9\pi }}{5} = 2\pi - \dfrac{\pi }{5} \hfill \\ \end{matrix}

\begin{matrix} \dfrac{{ - 11\pi }}{5} = - 2\pi - \dfrac{\pi }{5} \hfill \\ \dfrac{{31\pi }}{5} = 6\pi + \dfrac{\pi }{5} \hfill \\ \dfrac{{ - 14\pi }}{5} = - 3\pi + \dfrac{\pi }{5} \hfill \\ \end{matrix}

Nhận thấy số đo của một góc lượng giác có tia đầu và tia cuối với góc đã cho khi ta quay góc đó chẵn 1 vòng mà 1 vòng có số đo 2\pi

Suy ra những góc thỏa mãn yêu cầu đề bài là \frac{{9\pi }}{5};\frac{{ - 11\pi }}{5};\frac{{31\pi }}{5}.

B. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

1. Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng tọa độ đã được định hướng Oxy, lấy điểm A(1; 0). Đường tròn tâm O bán kính OA = 1 được gọi là đường tròn lượng giác (hay đường tròn đơn vị) gốc A.

+ Chiều dương ngược chiều kim đồng hồ.

+ Chiều âm cùng chiều kim đồng hồ.

Minh họa

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Ví dụ: Xác định điểm P trên đường tròn lượng giác sao cho \left( {OA;OP} \right) = \frac{{5\pi }}{4}.

Hướng dẫn giải

Gọi điểm M là điểm chính giữa của cung A’B’ trên đường tròn lượng giác.

Ta có: \left( {OA;OP} \right) = \frac{{5\pi }}{4} được biểu diễn như hình vẽ sau:

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

a) Định nghĩa

Giả sử điểm M\left( {x;y} \right) là điểm trên đường tròn lượng giác, biểu diễn góc lượng giác có số đo \alpha (như hình vẽ):

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

  • Hoành độ x = \cos \alpha
  • Tung độ y = \sin \alpha
  • \tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\left( {x \ne 0} \right) hay \tan \alpha xác định khi \alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)
  • \cot \alpha = \frac{x}{y} = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};\left( {y \ne 0} \right) hay \cot \alpha xác định khi \alpha \ne k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

b) Dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác

Dấu của các giá trị lượng giác của một góc lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn M trên đường tròn lượng giác.

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Ví dụ: Xét dấu các giá trị lượng giác \alpha = \frac{{5\pi }}{6}.

Hướng dẫn giải

Giả sử điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho \alpha = \frac{{5\pi }}{6}

Do \frac{\pi }{2} < \frac{{5\pi }}{6} < \pi nên điểm M thuộc góc phần tư thứ II.

Do đó \left\{ \begin{gathered} \sin \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) > 0;\cos \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) < 0 \hfill \\ \tan \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) < 0;\cot \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.

3. Công thức lượng giác cơ bản

{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }};\left( {\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right)
1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }};\left( {\alpha \ne k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right) \tan \alpha .\cot \alpha = 1;\left( {\alpha \ne \frac{{k\pi }}{2};k \in \mathbb{Z}} \right)

Ví dụ: Rút gọn biểu thức: A = \tan x + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}

Hướng dẫn giải

Ta có:

A = \tan x + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}

= \frac{{\sin x\left( {1 + \sin x} \right) + {{\cos }^2}x}}{{\cos x\left( {1 + \sin x} \right)}} = \frac{{\sin x + {{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\cos x\left( {1 + \sin x} \right)}}

= \frac{{\sin x + 1}}{{\cos x\left( {1 + \sin x} \right)}} = \frac{1}{{\cos x}}

Câu trắc nghiệm mã số: 44532

4. Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Ví dụ: Tính giá trị biểu thức: A = {\tan ^2}\frac{\pi }{3} + {\sin ^2}\frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{4} + \cos \frac{\pi }{2}

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{matrix} A = {\tan ^2}\dfrac{\pi }{3} + {\sin ^2}\dfrac{\pi }{4} + \cot \dfrac{\pi }{4} + \cos \dfrac{\pi }{2} \hfill \\ = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + 1 + 0 = 3 + \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{9}{2} \hfill \\ \end{matrix}

5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:

a) M = \cos \left( {a + \frac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {2\pi - a} \right) + \cos \left( {3\pi + a} \right)

b) N = \cos \left( {5\pi - x} \right) - \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right) + \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right) + \cos \left( {3\pi - x} \right)

Hướng dẫn giải

a) M = \cos \left( {a + \frac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {2\pi - a} \right) + \cos \left( {3\pi + a} \right)

\begin{matrix} M = - \sin x + \cos \left( { - x} \right) - \cos x \hfill \\ M = - \sin x + \cos x - \cos x \hfill \\ M = - \sin x \hfill \\ \end{matrix}

b) N = \cos \left( {5\pi - x} \right) - \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right) + \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right) + \cos \left( {3\pi - x} \right)

N = \cos \left( {4\pi + \pi - x} \right) - \sin \left( {\pi + \frac{\pi }{2} + x} \right) + \tan \left( {\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right) + \cot \left( {2\pi + \pi - x} \right)

N = \cos \left( {\pi - x} \right) + \sin \left( { + \frac{\pi }{2} + x} \right) + \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \cot \left( {\pi - x} \right)

N = - \cos x + \cos x + \cot x + - \cot x = 0

  • 713 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CD