Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Cấp số cộng Cánh Diều

1. Định nghĩa cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d, tức là:

u_{n} = u_{n - 1} + d;(n \geq 2)

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Chú ý:

  • Nếu \left( u_{n} \right) là cấp số cộng với công sai d thì với số tự nhiên n \geq 2 ta có: u_{n} - u_{n - 1} = d .
  • Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi.

Ví dụ: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó:

a) Dãy số \left( u_{n} \right) với u_{n} = 19n - 5

b) Dãy số \left( u_{n} \right) với u_{n} = - 3n + 1

c) Dãy số \left( u_{n} \right) với u_{n} = n^{2} + n + 1

d) Dãy số \left( u_{n} \right) với u_{n} = ( - 1)^{n} + 10n

Hướng dẫn giải

a) Dãy số \left( u_{n} \right) với u_{n} = 19n - 5

Ta có u_{n + 1} - u_{n} = 19(n + 1) - 5 - (19n - 5) = 19 .

Vậy \left( u_{n} \right) là một cấp số cộng với công sai d = 19 và số hạng đầu u_{1} = 19.1 - 5 = 14 .

b) Dãy số \left( u_{n} \right) với u_{n} = - 3n + 1

Ta có u_{n + 1} - u_{n} = - 3(n + 1) + 1 - ( - 3n + 1) = - 3 .

Vậy \left( u_{n} \right) là một cấp số cộng với công sai d = - 3 và số hạng đầu u_{1} = - 3.1 + 1 = - 2 .

c) Dãy số \left( u_{n} \right) với u_{n} = n^{2} + n + 1

Ta có

u_{n + 1} - u_{n}

= (n + 1)^{2} + (n + 1) + 1 - \left( n^{2} + n + 1 \right)

= 2n + 2 , phụ thuộc vào n

Vậy \left( u_{n} \right) không là cấp số cộng.

d) Dãy số \left( u_{n} \right) với u_{n} = ( - 1)^{n} + 10n

Ta có

u_{n + 1} - u_{n}

= ( - 1)^{n + 1} + 10(n + 1) - \left\lbrack ( - 1)^{n} + 10n \right\rbrack

= - ( - 1)^{n} + 10 - ( - 1)^{n} = 10 - 2( - 1)^{n} , phụ thuộc vào n .

Vậy \left( u_{n} \right) không là cấp số cộng.

Câu trắc nghiệm mã số: 1218

2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng \left( u_{n} \right) có số hạng đầu u_{1} và công sai d thì số hạng tổng quát u_{n} được xác định bởi công thức:

u_{n} = u_{1} + (n - 1)d;(n \geq 2)

Chú ý: Với n \geq 2 ta có: u_{n} = u_{1} + (n - 1)d \Rightarrow n = \frac{u_{n} - u_{1}}{d} + 1

Tính chất

Ba số hạng u_{n - 1},u_{n},u_{n + 1} là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi u_{n} = \frac{u_{n - 1} + u_{n + 1}}{2} với n \geq 1 .

Ví dụ: Tìm 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 27 và tổng các bình phương của chúng là 293.

Hướng dẫn giải

Gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng: u_{1};u_{2};u_{3} . Theo đề bài ta có:

\left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} = 27\ (1) \\ u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} = 293\ \ (2) \\ \end{matrix} \right.

\ \text{(1)~} \Leftrightarrow u_{1} + u_{1} + d + u_{1} + 2d = 27

\Leftrightarrow 3u_{1} + 3d = 27 \Leftrightarrow d = 9 - u_{1}

\text{(2)~} \Leftrightarrow u_{1}^{2} + \left( u_{1} + d \right)^{2} + \left( u_{1} + 2d \right)^{2} = 293

\Leftrightarrow u_{1}^{2} + \left( u_{1} + 9 - u_{1} \right)^{2} + \left( u_{1} + 18 - 2u_{1} \right)^{2} = 293

\Leftrightarrow u_{1}^{2} + 81 + \left( 18 - u_{1} \right)^{2} = 293

\Leftrightarrow 2u_{1}^{2} - 36u_{1} - 112 = 0 \Leftrightarrow u_{1} = 14 \vee u_{1} = 4

Với \ u_{1} = 14 \Rightarrow d = - 5 \Rightarrow u_{2} = 9;u_{3} = 4.

Với \ u_{1} = 4 \Rightarrow d = 5 \Rightarrow u_{2} = 9;u_{3} = 14.

Ta có thể gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng là u_{1} = u - d,u_{2} = u,u_{3} = u + d với công sai d.

Câu trắc nghiệm mã số: 1210

3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng \left( u_{n} \right) có số hạng đầu u_{1} và công sai d . Đặt S_{n} = u_{1} + u_{2} + .... + u_{n} . Khi đó:

S_{n} = \frac{\left( u_{1} + u_{n} \right).n}{2}

Nhận xét:

Ta có: u_{n} = u_{1} + (n - 1).d \Rightarrow S_{n} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d \right\rbrack.n}{2}

Ví dụ: Cho cấp số cộng \left( u_{n} \right) biết u_{5} = 18 và 4S_{n} = S_{2n} . Tìm số hạng đầu u_{1} và công sai d của cấp số cộng?

Hướng dẫn giải

Ta có:

u_{5} = 18 \Rightarrow u_{1} + 4d = 18(*)

Lại có:

4S_{n} = S_{2n}

\Leftrightarrow 4\left\lbrack n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2} \right\rbrack = \left\lbrack 2n.u_{1} + \frac{2n(2n - 1)d}{2} \right\rbrack

\Leftrightarrow 4u_{1} + 2nd - 2d = 2u_{1} + 2nd - d

\Leftrightarrow 2u_{1} - d = 0(**)

Từ (*) và (**) suy ra \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ d = 4 \\ \end{matrix} \right.

Câu trắc nghiệm mã số: 33220,33217
  • 4 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CD