Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Cấp số nhân Cánh Diều

1. Định nghĩa cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q , tức là:

u_{n} = u_{n - 1}.q;(q \geq 2)

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Chú ý:

  • Nếu \left( u_{n} \right) là cấp số nhân với công bội q và u_{n} \neq 0 với mọi n \geq 1 thì với số tự nhiên n \geq 2 ta có: \frac{u_{n}}{u_{n - 1}} = q .
  • Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi.

Ví dụ: Xét trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân, (nếu có) hãy tìm công bội của cấp số nhân đó:

a) u_{n} = ( - 3)^{2n + 1}  b) u_{n} = ( - 1)^{n}.5^{3n + 2}
 c) \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = {u^{2}}_{n} \\ \end{matrix} \right.  d) \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = \frac{9}{u_{n}} \\ \end{matrix} \right.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{( - 3)^{2(n + 1) + 1}}{( - 3)^{2n + 1}} = \frac{( - 3)^{2n + 3}}{( - 3)^{2n + 1}} = ( - 3)^{2} = 9 không phụ thuộc vào n

Vậy \left( u_{n} \right) là một cấp số nhân với công bội q = 9 .

b) Ta có:

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{( - 1)^{n}.5^{3(n + 1) + 2}}{( - 1)^{n}.5^{3n + 2}} = - 1.5^{3} = - 125 không phụ thuộc vào n

Vậy \left( u_{n} \right) là một cấp số nhân với công bội q = - 125.

c) Ta có: u_{2} = {u_{1}}^{2} = 4 ; u_{3} = {u_{2}}^{2} = 16 ; u_{4} = {u_{3}}^{2} = 256

\Rightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{4}{2} = 2 và \frac{u_{4}}{u_{3}} = \frac{256}{16} = 16

Nhận thấy \frac{u_{2}}{u_{1}} \neq \frac{u_{4}}{u_{3}}

Vậy \left( u_{n} \right) là không một cấp số nhân.

d) Ta có:

\dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} =\dfrac{\dfrac{9}{u_{n}}}{\dfrac{9}{u_{n - 1}}} = \dfrac{u_{n -1}}{u_{n}}

\Rightarrow u_{n + 1} = u_{n - 1};\forall n \geq 2

Do đó ta có:

u_{1} = u_{3} = u_{5} = ... = u_{2n + 1} = ...(*)

u_{2} = u_{4} = u_{6} = ... = u_{2n} = ...(**)

Theo đề bài ta có: u_{1} = 3 \Rightarrow u_{2} = \frac{9}{u_{1}} = 3(***)

Từ (*), (**) và (***) suy ra u_{1} = u_{2} = u_{3} = u_{4} = u_{5} = u_{6} = ... = u_{2n} = u_{2n + 1} = ...

Vậy \left( u_{n} \right) là một cấp số nhân với công bội q = 1.

Câu trắc nghiệm mã số: 1280,1278

2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số nhân \left( u_{n} \right) có số hạng đầu u_{1} và công bội q thì số hạng tổng quát u_{n} được xác định bởi công thức:

u_{n} = u_{1}.q^{n - 1};(n \geq 2)

Tính chất

Ba số hạng u_{n - 1},u_{n},u_{n + 1} là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi {u_{n}}^{2} = u_{n - 1}.u_{n + 1} với n \geq 1.

Ví dụ: Cho ba số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm ba số đó.

Hướng dẫn giải

Gọi u_{1};u_{2};u_{3} theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

Theo bài ra ta có:

Tổng ba số dương bằng 65 suy ra u_{1} + u_{2} + u_{3} = 65(*)

u_{1} - 9;u_{2};u_{3} - 19 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng suy ra u_{1} - 1 + u_{3} - 19 = 2u_{2}(**)

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

\left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} = 65 \\ u_{1} - 1 + u_{3} - 19 = 2u_{2} \\ \end{matrix} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} = 65 \\ u_{1} - 2u_{2} + u_{3} = 20 \\ \end{matrix} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{1}q + u_{1}q^{2} = 65 \\ u_{1} - 2u_{1}q + u_{1}q^{2} = 20 \\ \end{matrix} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}\left( 1 + q + q^{2} \right) = 65 \\ u_{1}\left( 1 - 2q + q^{2} \right) = 20 \\ \end{matrix} \right.

\Rightarrow \frac{1 + q + q^{2}}{1 - 2q + q^{2}} = \frac{13}{4}

\Leftrightarrow 4\left( 1 + q + q^{2} \right) = 13\left( 1 - 2q + q^{2} \right)

\Leftrightarrow 9q^{2} - 30q + 9 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}q = 3 \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} \right.

Vì u_{1};u_{2};u_{3} theo thứ tự lập thành một cấp số nhân tăng dần nên chọn q = 3

\Rightarrow u_{1} = 5 \Rightarrow u_{2} = 15;u_{3} = 45

Câu trắc nghiệm mã số: 33434,33427

3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân \left( u_{n} \right) có số hạng đầu u_{1} và công bội q \neq 1.

Đặt S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} . Khi đó:

S_{n} = \frac{u_{1}.\left( 1 - q^{n} \right)}{1 - q}

Chú ý: Nếu q = 1 thì S_{n} = n.u_{1}

Ví dụ: Tính tổng của dãy số

a) S_{n} = 2 + 2^{2} + 2^{3} + ... + 2^{n}

b) S_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + ... + \frac{1}{2^{n}}

Hướng dẫn giải

a) S_{n} = 2 + 2^{2} + 2^{3} + ... + 2^{n}

Ta có:

2;2^{2};2^{3};...;2^{n} là một cấp số nhân với n số hạng có số hạng đầu u_{1} = 2 và công bội q = 2.

Do đó:

S_{n} = u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 - q} = 2.\frac{1 - 2^{n}}{1 - 2} = 2\left( 2^{n} - 1 \right)

b) S_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + ... + \frac{1}{2^{n}}

Ta có:

\frac{1}{2};\frac{1}{2^{2}};\frac{1}{2^{3}};...;\frac{1}{2^{n}} là một cấp số nhân với n số hạng có số hạng đầu u_{1} = \frac{1}{2} và công bội q = \frac{1}{2} .

Do đó:

S_{n} = u_{1}.\dfrac{1 - q^{n}}{1 - q} =2.\dfrac{1 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n}}{1 - \dfrac{1}{2}} = 1 -\frac{1}{2^{n}}

Câu trắc nghiệm mã số: 1327,1322
  • 2 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CD