Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit Cánh Diều

I. Phương trình mũ và phương trình lôgarit

1. Phương trình mũ

Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa.

Phương trình mũ cơ bản ẩn x có dạng a^{x} = b,(a > 0,a \neq 1).

  • Nếu b \leq 0 thì phương trình vô nghiệm.
  • Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = \log_{a}b.

Nhận xét: Với a > 0,a \neq 1,b > 0 thì a^{f(x)} = b \Leftrightarrow f(x) =\log_{a}b.

Ví dụ: Tìm tập nghiệm của phương trình 2^{\left| \frac{28}{3}x + 4 \right|} = 16^{x^{2} - 1}.

Hướng dẫn giải

Ta có:

2^{\left| \frac{28}{3}x + 4 \right|} = 16^{x^{2} - 1} \Leftrightarrow 2^{\left| \frac{28}{3}x + 4 \right|} = 2^{4x^{2} - 4}

\Leftrightarrow \left| \frac{28}{3}x + 4 \right| = 4x^{2} - 4(*)

Trường hợp 1: Nếu x > - \frac{3}{7}. Phương trình (*) tương đương

\Leftrightarrow \frac{28}{3}x + 4 = 4x^{2} - 4

\Leftrightarrow 4x^{2} - \frac{28}{3}x -8 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 3(tm) \\x = - \dfrac{2}{3}(L) \\\end{matrix} \right.

Trường hợp 2: Nếu x \leq - \frac{3}{7} . Phương trình (*) tương đương

\Leftrightarrow - \frac{28}{3}x - 4 = 4x^{2} - 4

\Leftrightarrow 4x^{2} + \frac{28}{3}x =0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 0(L) \\x = - \dfrac{7}{3}(tm) \\\end{matrix} \right.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = \left\{ - \frac{7}{3};3 \right\}.

Câu trắc nghiệm mã số: 44369

2. Phương trình lôgarit

  • Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn trong biểu thức chứa dấu lôgarit.
  • Phương trình lôgarit cơ bản có dạng \log_{a}b;(a > 0,a \neq 1).
  • Phương trình đó có một nghiệm x = a^{b}.

Nhận xét: Với a > 0,a \neq 1 thì \log_{a}f(x) = b \Leftrightarrow f(x) =a^{b}.

Ví dụ: Giải phương trình \log_{2}x + \log_{4}x =\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}.

Hướng dẫn giải

Điều kiện x > 0

Ta có:

\log_{2}x + \log_{4}x =\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}

\Leftrightarrow \log_{2}x + \log_{2^{2}}x= \log_{2^{- 1}}\sqrt{3}

\Leftrightarrow \log_{2}x +\frac{1}{2}\log_{2}x = - \frac{1}{2}\log_{2}3

\Leftrightarrow 2\log_{2}x + \log_{2}x = -\log_{2}3

\Leftrightarrow 2\log_{2}x + \log_{2}x +\log_{2}3 = 0

\Leftrightarrow 3\log_{2}x + \log_{2}3 =0

\Leftrightarrow \log_{2}x^{3} + \log_{2}3= 0

\Leftrightarrow \log_{2}\left( 3x^{3}\right) = 0 \Leftrightarrow 3x^{3} = 1

\Leftrightarrow x^{3} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{\frac{1}{3}}(tm)

Vậy phương trình có nghiệm x = \sqrt[3]{\frac{1}{3}}.

Câu trắc nghiệm mã số: 44410,44407

II. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

1. Bất phương trình mũ

Định nghĩa

Bất phương trình mũ là bất phương trình có chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa.

Bất phương trình mũ cơ bản là bất phương trình có một trong những dạng sau:

a^{x} > b,a^{x} < b,a^{x} \geq b,a^{x} \leq b với a > 0,a \neq 1.

Cách giải bất phương trình mũ

Xét bất phương trình mũ a^{x} > b với a > 0,a \neq 1

- Nếu b \leq 0 , tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \mathbb{R} (vì a^{x} > 0 \geq b,\forall x\mathbb{\in R}).

- Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với a^{x} >a^{\log_{a}b}.

  • Với a > 1 nghiệm của bất phương trình là a >\log_{a}b.
  • Với 0 < a < 1 nghiệm của bất phương trình là a < log_{a}b.

Giải tương tự với các dạng bất phương trình mũ còn lại.

Ví dụ: Giải bất phương trình \left( 3^{x} + 2 \right)\left( 4^{x + 1} - 8^{2x + 1} \right) \leq 0.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\left( 3^{x} + 2 \right)\left( 4^{x + 1} - 8^{2x + 1} \right) \leq 0

\Leftrightarrow 4^{x + 1} - 8^{2x + 1} \leq 0 \Leftrightarrow 4.2^{2x} - 8.\left( 2^{2x} \right)^{3} \leq 0

\Leftrightarrow - 2\left( 2^{2x} \right)^{3} + 2^{2x} \leq 0(*)

Đặt 2^{2x} = t,(t > 0) bất phương trình (*) trở thành:

- 2t^{3} + t \leq 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}- \dfrac{\sqrt{2}}{2} \leq t \leq 0 \\t \geq \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} \right.

Với điều kiện t > 0 ta được:

t \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow 2^{2x} \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow 2^{2x} \geq 2^{- \frac{1}{2}}

\Leftrightarrow 2x \geq - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x \geq - \frac{1}{4}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = \left\lbrack - \frac{1}{4}; + \infty \right).

Câu trắc nghiệm mã số: 44427,44421

2. Bất phương trình lôgarit

Định nghĩa

- Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

- Bất phương trình lôgarit cơ bản là bất phương trình lôgarit có một trong những dạng sau:

log_{a}x > b,log_{a}x < b,log_{a}x \geq b,log_{a}x \leq b với a > 0,a \neq 1.

Cách giải bất phương trình lôgarit

Xét bất phương trình \log_{a}x >b với a > 0,a \neq 1

Bất phương trình tương đương với \log_{a}x> \log_{a}a^{b}

  • Với a > 1 nghiệm bất phương trình là x > a^{b}.
  • Với 0 < a < 1 nghiệm của bất phương trình là 0 < x < a^{b}.

Giải tương tự với các bất phương trình còn lại.

Ví dụ: Tìm tập nghiệm của bất phương trình 2\log_{3}(4x - 3) \leq \log_{3}(18x +27).

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: \left\{ \begin{matrix} 4x - 3 \geq 0 \\ 18x + 27 \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x > \frac{3}{4}

Khi đó:

2\log_{3}(4x - 3) \leq \log_{3}(18x +27)

\Leftrightarrow \log_{3}(4x - 3)^{2} \leq\log_{3}(18x + 27)

\Leftrightarrow (4x - 3)^{2} \leq 18x + 27

\Leftrightarrow - \frac{3}{8} \leq x \leq 3

Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm của bất phương trình là: S = \left( \frac{3}{4};3 \right\rbrack.

Câu trắc nghiệm mã số: 36691
  • 6 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CD