Luyện tập Giới hạn hàm số Cánh Diều

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Giả sử a,b là các giá trị để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\dfrac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} - 4}}{\text{   , khi }}x <  - 2} \\ 
  {x + 1{\text{   , khi }}x \geqslant  - 2} 
\end{array}} ight. có giới hạn hữu hạn khi x dần tới -
2. Tính giá trị biểu thức 3a -
b

    Hướng dẫn:

    Ta có: \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 2^{+}}(x + 1) = - 1

    Suy ra f(x) hữu hạn khi x dần tới -
2 khi và chỉ khi

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 2^{+}}f(x)

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow
2^{-}}f(x) = - 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow
2^{-}}\frac{x^{2} + ax + b}{x^{2} - 4} = - 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow
2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + b - 4}{x^{2} - 4} = 0(*)

    Do \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( x^{2}
- 4 ight) = 0 nên điều kiện cần để có (*) là

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( 2x^{2}
+ ax + b - 4 ight) = 0

    \Rightarrow 2a - b = 4

    Ngược lại với 2a - b = 4 ta có:

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow
2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + b - 4}{x^{2} - 4} = 0

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow
2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + 2a - 8}{x^{2} - 4} = 0

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow
2^{-}}\frac{2x + a - 4}{x - 2} = 0

    \Leftrightarrow a = 8

    => f(x) có giới hạn hữu hạn khi x dần tới - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 8 \\
b = 12 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow 3a - b = 12

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tính giới hạn hàm số

    Tính giới hạn M =
\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{cx^{2} + a}{x^{2} + b}
ight).

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    M = \lim_{x ightarrow + \infty}\left(
\frac{cx^{2} + a}{x^{2} + b} ight)

    M = \lim_{x ightarrow + \infty}\left(
\frac{cx^{2} + a}{x^{2} + b} ight)

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tìm giới hạn

    Tính giới hạn N =
\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x + 1} - 1}{x^{2} - 3x}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x
+ 1} - 1}{x^{2} - 3x}

    N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left(
\sqrt{4x + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}{\left( x^{2}
- 3x ight)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}

    N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x}{x(x
- 3)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}

    N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4}{(x -
3)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}

    N = - \frac{2}{3}

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính kết quả giới hạn

    Tìm giới hạn H =
\lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{3x^{2} - x - 2}{x^{2} - 1}
ight)

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    H = \lim_{x ightarrow 1}\left(
\frac{3x^{2} - x - 2}{x^{2} - 1} ight)

    H = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x -
1)(3x + 2)}{(x - 1)(x + 1)}

    H = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x +
2}{x + 1} = \frac{5}{2}

  • Câu 5: Thông hiểu
    Tính giá trị giới hạn

    Cho hàm số f(x) =
\frac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 3}}{3x + 2}. Tính \lim_{x ightarrow -
\infty}f(x).

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow -
\infty}f(x)

    = \lim_{x ightarrow -
\infty}\frac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 3}}{3x +
2}

    = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{-\sqrt{4 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{x} +\dfrac{3}{x^{2}}}}{3 + \dfrac{2}{x}}

    = \frac{- 2 + 1}{3} = -
\frac{1}{3}

  • Câu 6: Nhận biết
    Xác định kết quả giới hạn

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + 3x - 4}{x -
1}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + 3x -
4}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(x + 4)}{x -
1}

    = \lim_{x ightarrow 1}(x + 4) =
5

  • Câu 7: Thông hiểu
    Giới hạn nào không tồn tại

    Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào không tồn tại?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x}{(x +
1)^{2}} = - \infty

    \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2x +1}{x^{2} + 1} = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{\dfrac{2}{x} +\dfrac{1}{x^{2}}}{1 + \dfrac{1}{x^{2}}} = 0

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{x +
1}} = 0

    \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \cos
x ight) không xác định.

  • Câu 8: Thông hiểu
    Xác định giới hạn

    Xác định \lim_{x
ightarrow + \infty}\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 3}
ight)

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow + \infty}\left(
\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 3} ight)

    = \lim_{x ightarrow +
\infty}\frac{\left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 3} ight)\left( \sqrt{x +
1} + \sqrt{x - 3} ight)}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}}

    = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{x +
1 - (x - 3)}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}}

    = \lim_{x ightarrow +
\infty}\frac{4}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 3}}

    = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} + \sqrt{1 -\dfrac{3}{x}} ight)} = 0

  • Câu 9: Nhận biết
    Tính giới hạn

    \lim_{x
ightarrow - \infty}\left( \frac{2x + 1}{x - 1} ight) bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\left(\dfrac{2x + 1}{x - 1} ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left(\dfrac{2 + \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{1}{x}} ight) = 2

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tìm điều kiện của a và b thỏa mãn điều kiện

    Cho a,b là các số thực khác 0. Tìm điều kiện của a,b để giới hạn \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} -
3x} + ax}{bx - 1} = 3

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow -
\infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 3x} + ax}{bx - 1} = 3

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{- \sqrt{1 - \dfrac{3}{x}} + a}{b - \dfrac{1}{x}} =3

    \Leftrightarrow \frac{- 1 + a}{b} =
3

    \Leftrightarrow \frac{a - 1}{b} =
3

  • Câu 11: Vận dụng
    Tính giá trị giới hạn

    Biết \lim_{x
ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{x - 1} = 5. Hỏi giá trị giới hạn \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) -
10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left\lbrack \sqrt{4f(x) + 9} + 3
ightbrack} bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{x
- 1} = 5

    \Rightarrow f(1) = 10

    Khi đó: \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x)
- 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left\lbrack \sqrt{4f(x) + 9} + 3
ightbrack}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left(
f(x) - 10 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)}{\left( \sqrt{x} - 1
ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)\left\lbrack \sqrt{4f(x) + 9} + 3
ightbrack}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left(
f(x) - 10 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)}{(x - 1)\left\lbrack
\sqrt{4f(x) + 9} + 3 ightbrack}

    = \frac{5.\left( \sqrt{1} + 1
ight)}{\left\lbrack \sqrt{4f(1) + 9} + 3 ightbrack} =
1

  • Câu 12: Vận dụng
    Tìm giới hạn

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x +
2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} -
3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\left(
x^{2} - 3x + 2 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{\left(
6\sqrt{x + 8} - x - 17 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17
ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\left(
x^{2} - 3x + 2 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- x^{2} +
2x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x -
2)(x - 1)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- (x -
1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x -
2)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- x + 1}

    Ta có:

    \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 2} ight)\left( {6\sqrt {x + 8}  + x + 17} ight) =  - 36 < 0 \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - x + 1} ight) = 0 \hfill \\
   - x + 1 < 0,\forall x > 1 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    =>  \lim_{x
ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17} = +
\infty

  • Câu 13: Thông hiểu
    Tính kết quả giới hạn

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{2x + 1}{x -
1}

    Hướng dẫn:

    Khi x \mapsto 1^{+} ta có: \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 1} ight) = 3 > 0 \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} ight) = 0 \hfill \\
  x - 1 > 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow
1^{+}}\frac{2x + 1}{x - 1} = + \infty

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tính giới hạn hàm số đã cho

    Tính giới hạn của hàm số f(x) = \frac{\sqrt{4x^{2} + 1}}{x + 1} khi x \mapsto - \infty.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) =
\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{4x^{2} + 1}}{x +
1}

    = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{|x|\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{x + 1} = \lim_{x ightarrow- \infty}\dfrac{- x\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{x + 1}

    = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{-\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{1 + \dfrac{1}{x}} = \dfrac{- \sqrt{4}}{1} = -2

  • Câu 15: Thông hiểu
    Tìm giới hạn hàm số

    Xác định \lim_{x
ightarrow - 2}\frac{x + 1}{(x + 2)^{2}}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {x + 1} ight) =  - 1 < 0 \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} {\left( {x + 2} ight)^2} = 0 \hfill \\
  {\left( {x + 2} ight)^2} > 0,\forall x e  - 2 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 2} ight)}^2}}} =  - \infty

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (13%):
    2/3
  • Thông hiểu (67%):
    2/3
  • Vận dụng (20%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 4 lượt xem
Sắp xếp theo