Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Lý thuyết

1. Biến đổi biểu thức đơn giản chứa căn bậc hai

a) Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn

Với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0 ta có:

$\sqrt{A^2 B}=|A| \sqrt{B}=\left[\begin{array}{l} A \sqrt{B}, \text { khi } A \geq 0 \\ -A \sqrt{B}, \text { khi } A<0 \end{array}\right.$

Ví dụ:

$\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=\sqrt{5^2\cdot3}=5\sqrt{3}$

$\sqrt{(x-2)^2\left(x^2+1\right)}=|x-2|\sqrt{x^2+1}$

$=\left\{\begin{array}{l}(x-2) \sqrt{x^2+1}, \text { khi } x \geq 2 \\ -(x-2) \sqrt{x^2+1}, \text { khi } x<2\end{array}\right.$

b) Đưa thừa số vào trong dấu căn

Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì $A\sqrt{B}=\sqrt{A^2B}$

Với A < 0 và B ≥ 0 thì $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2B}$

Ví dụ: $5\sqrt{3}=\sqrt{5^2\cdot3}=\sqrt{75}$

Nếu a ≥ 2 thì $(a-2) \sqrt{3}=\sqrt{3(a-2)^2}$ (vì a - 2 ≥ 0)

c) Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn

Với A.B ≥ 0 và B ≠ 0 thì:

$\sqrt{\frac{A}{B}}=\sqrt{\frac{A B}{B^2}}=\frac{\sqrt{A B}}{|B|}=\left[\begin{array}{l} \frac{\sqrt{A B}}{B}, \text { khi } B>0 \\ -\frac{\sqrt{A B}}{B}, \text { khi } B<0 \end{array}\right.$

Ví dụ: $\sqrt{\frac{7}{4}}=\sqrt{\frac{7.4}{4^2}}=\frac{\sqrt{28}}{4}$

d) Trục căn thức ở mẫu

Trục căn thức ở mẫu số là biến đổi để biểu thức đó mất căn thức ở mẫu số

Với các biểu thức A, B mà B > 0 ta có: $\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A \sqrt{B}}{B}$

Ví dụ:

$\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\frac{1}{\sqrt{a+2}}=\frac{\sqrt{a+2}}{a+2}(a>-2)$

Với các biểu thức $A, B, C$ mà $A ≥ 0, A ≠ B^2$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A}-B}=\frac{C(\sqrt{A}+B)}{A-B^2}$

$\frac{C}{\sqrt{A}+B}=\frac{C(\sqrt{A}-B)}{A-B^2}$

$\frac{C}{B-\sqrt{A}}=\frac{C(B+\sqrt{A})}{B^2-A}$

$\frac{C}{B+\sqrt{A}}=\frac{C(B-\sqrt{A})}{B^2-A}$

Ví dụ:

$\frac{5}{\sqrt{3}+2}=\frac{5(\sqrt{3}-2)}{3-4}=-5(\sqrt{3}-2)$

Với các biểu thức $A, B, C$ mà $A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B$ ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}-\sqrt{B})}{A-B}$

$\frac{C}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}+\sqrt{B})}{A-B}$

Ví dụ:

$\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2}=2(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

2. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, ta cần vận dụng phối hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết.

Khi rút gọn một dãy các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa và khai phương thì thứ tự thực hiện: khai căn trước rồi đến lũy thừa, sau đó đến nhân, chia, cộng, trừ.

Bài tập tự luận

Câu 1:

Cho biểu thức

$B=\left(\frac{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+3}{1-\sqrt{x}}\right)\cdot\frac{x-1}{2x+\sqrt{x}-1}$ (với $x ≥ 0; x ≠ 1, x ≠ \frac14$ ).

Tìm tất cả các giá trị của $x$ để B < 0.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $x \ge 0, x\neq 1, x\neq \frac14$ .

$B=\left(\frac{x \sqrt{x}+x+\sqrt{x}}{x \sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+3}{1-\sqrt{x}}\right)$ $\cdot \frac{x-1}{2 x+\sqrt{x}-1}$

$=\left(\frac{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}+\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1)}\right)$ $\cdot \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(2 \sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$

$=\left(\frac{2 \sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}\right)$ $\cdot \frac{\sqrt{x}-1}{2 \sqrt{x}-1}$ $=\frac{2 \sqrt{x}+3}{2 \sqrt{x}-1}$

Khi $B<0$

$\frac{2 \sqrt{x}+3}{2 \sqrt{x}-1}<0 \Leftrightarrow 2 \sqrt{x}-1<0$ vì $2\sqrt x+3>0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}<\frac{1}{2} \Leftrightarrow x<\frac{1}{4} .$

Kết hợp điều kiện ta có $x ∈ [0; \frac14]$ .

Câu 2:

Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{1-x}+\sqrt{x^2-3x+2}+(x-2)\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}=2$

b) $(x+1)(x+4)-3\sqrt{x^2+5x+2}=6$

c) $\frac{6x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{1-x}}=3+2\sqrt{x-x^2}$

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện xác định:

$\left\{\begin{array} { l } { 1 - x \geq 0 } \\{ x ^ { 2 } - 3 x + 2 \geq 0 } \\{ \dfrac { x - 1 } { x - 2 } \geq 0 } \\{ x - 2 \neq 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \leq 1 (1) \\(x-1)(x-2) \geq 0(2) \\\dfrac{x-1}{x-2} \geq 0 (3) \\x \neq 2 (4)\end{array}\right.\right.$

Giải (2): Ta có

$(x-1)(x-2)\ge0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { \{ \begin{array} { l } { x - 1 \geq 0 } \\ { x - 2 \geq 0 } \end{array} } \\ { \{ \begin{array} { l } { x - 1 \leq 0 } \\ { x - 2 \leq 0 } \end{array} } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array} { l } { \{ \begin{array} { l } { x \geq 1 } \\ { x \geq 2 } \end{array} } \\ { \{ \begin{array} { l } { x \leq 1 } \\ { x \leq 2 } \end{array} } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x \leq 1 \\ x \geq 2 \end{array}\right.\right.\right.$ (*)

Giải (3): Ta có

$\frac{x-1}{x-2} \geq 0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} x-1 \geq 0 \\ x-2>0 \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l} x-1 \leq 0 \\ x-2<0 \end{array}\right. \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { \{ \begin{array} { l } { x \geq 1 } \\ { x > 2 } \end{array} } \\ { \{ \begin{array} { l } { x \leq 1 } \\ { x < 2 } \end{array} } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x>2 \\ x \leq 1 \end{array}\right.\right.$ (**)

Kết hợp (1), (4), (*) và (**) ta có điều kiện xác định: x ≤ 1.

Ta có:

$\sqrt{1-x}+\sqrt{x^2-3x+2}+(x-2)\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}=3$

$\Leftrightarrow \sqrt{1-x}-3+\sqrt{x^2-3 x+2}-|x-2| \sqrt{\frac{x-1}{x-2}}=0$

$\Leftrightarrow\sqrt{1-x}-3+\sqrt{x^2-3x+2}-\sqrt{(x-1)(x-2)}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{1-x}=3 \Leftrightarrow x=-8$ Vậy S = {-8}

b) Điều kiện xác định:

$x^2+5 x+2 \geq 0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x \geq \dfrac{-5+\sqrt{17}}{2} \\x \leq \dfrac{-5-\sqrt{17}}{2}\end{array}\right.$

Ta có:

$(x+1)(x+4)-3\sqrt{x^2+5x+2}=6$

$\Leftrightarrow x^2+5x+4-3\sqrt{x^2+5x+2}-6=0$

$\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+5 x+2}\right)^2-3 \sqrt{x^2+5 x+2}-4=0$

$\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+5 x+2}-4\right)\left(\sqrt{x^2+5 x+2}+1\right)=0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\sqrt{x^2+5 x+2}=4 (1) \\\sqrt{x^2+5 x+2}=-1 (2)\end{array}\right.$

Giải (1): Ta có

$\sqrt{x^2+5x+2}=4\Leftrightarrow x^2+5x+2=16$

$\Leftrightarrow x^2+5 x-14=0$

$\Leftrightarrow(x+7)(x-2)=0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { x + 7 = 0 } \\ { x - 2 = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=-7 \\ x=2 \end{array}\right.\right.$

Giải (2): Ta có $\sqrt{x^2+5x+2}\ge0$

⇒ (2) vô nghiệm

So sánh điều kiện ta có: x = -7; x = 2 (t/m). Vậy S = {-7;2}

c) Điều kiện xác định $x ∈ [0; 1]\setminus \frac12$ .

Ta có:

$\frac{6x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{1-x}}=3+2\sqrt{x-x^2}$

$\Leftrightarrow\frac{3(2x-1)(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})}{2x-1}=3+2\sqrt{x-x^2}$

$\Leftrightarrow3(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})=3+2\sqrt{x-x^2}$

$\Leftrightarrow3(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})=2+(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})^2$

$\Leftrightarrow(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})^2-3(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})+2=0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})=1 (1) \\ (\sqrt{x}+\sqrt{1-x})=2 (2)\end{array}\right.$

Giải (1): Ta có

$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=1\Leftrightarrow(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})^2=1$

$\Leftrightarrow x+1-x+2\sqrt{x(1-x)}=1$

$\Leftrightarrow 2 \sqrt{x(1-x)}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=0 \\ 1-x=0 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=0 \\ x=1 \end{array}(t / m)\right.$

Giải (2): Ta có

$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=2\Leftrightarrow(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})^2=4$

$\Leftrightarrow x+1-x+2\sqrt{x(1-x)}=4$

$\Leftrightarrow 2 \sqrt{x(1-x)}=3 \Leftrightarrow \sqrt{x(1-x)}=\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow x-x^2=\frac{9}{4}$ $\Leftrightarrow x^2-x+\frac{9}{4}=0$ (*)

Ta có:

$x^2-x+\frac{9}{4}=\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+2$

$=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+2 \geq 2>0$ (* *)

Từ (*) và (**) suy ra phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy S = {0; 1}.

Câu 3:

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x y \sqrt{x y}}:\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)$ $\cdot \frac{1}{x+y+2 \sqrt{x y}}+\frac{2}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^3}$ $\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)$

với $x=2-\sqrt{3} ; y=2+\sqrt{3}$ .

b) $B=\frac{2 a \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}-x}$ với $x=\frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{1-a}{a}}-\sqrt{\frac{a}{1-a}}\right)$ ; $0< a <1$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$A=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x y \sqrt{x y}}:$ $\left[\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) \cdot \frac{1}{x+y+2 \sqrt{x y}}+\frac{2}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^3} \cdot\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)\right]$

$=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x y \sqrt{x y}}:$ $\left[\frac{x+y}{x y} \cdot \frac{1}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}+\frac{2}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^3} \cdot \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x y}}\right]$

$=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x y \sqrt{x y}}$ $:\left[\frac{x+y}{x y} \cdot \frac{1}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}+\frac{2}{\sqrt{x y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}\right]$

$=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x y \sqrt{x y}}$ $:\left[\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{x y(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}\right]$

$=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x y \sqrt{x y}}: \frac{1}{x y}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x y}}$

Với $x=2-\sqrt{3} ; y=2+\sqrt{3}$ :

$\begin{aligned} & A=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2-\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}} \\ & =\frac{\sqrt{4-2 \sqrt{3}}-\sqrt{4+2 \sqrt{3}}}{\sqrt{2}} \\ & =\frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}-\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}}{\sqrt{2}} \\ & =\frac{\sqrt{3}-1-\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2} \end{aligned}$