Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Hình vẽ minh họa

Lý thuyết: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sinα hay $\sinα = \frac{AB}{BC}$
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cosα hay $\cosα =\frac {AC}{BC}$
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tanα hay $\tanα =\frac {AB}{AC}$
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cotα hay $\cotα = \frac{AC}{AB}$

Nhận xét: Nếu α là một góc nhọn thì $0 < \sinα < 1; 0 < \cosα < 1;$ $\tanα > 0; \cotα > 0$

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Với hai góc α, β mà α + β = 90° thì:

$\sinα = \cosβ$	$\cosα = \sinβ$
$\tanα = \cotβ$	$\cotα = \tanβ$

Nếu hai góc nhọn α và β có $\sinα = \sinβ$ hoặc $\cosα = \cosβ$ thì $α = β$ .

3. Một số góc đặc biệt

Với một số góc đặc biệt ta có:

$\sin30^{\circ}=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$	$\tan45^{\circ}=\cot45^{\circ}=1$
$\sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\cot60^{\circ}=\tan30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\cos30^{\circ}=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\cot30^{\circ}=\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$

Ví dụ: Biết $\sinα = \frac5{13}$ . Tính cosα, tanα và cotα.

Hướng dẫn giải

Lý thuyết: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Xét ΔABC vuông tại A.

Đặt $\widehat{B}=\alpha$ . Ta có: $\sin\alpha=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{13}$

suy ra $\frac{AC}{5}=\frac{BC}{13}=k$ , do đó $AC=5k, B C=13k$

Tam giác ABC vuông tại A nên:

AB² = BC² - AC² = (13k)² - (5k)² = 144k² => AB = 12k.

Vậy $\cos\alpha=\frac{AB}{BC}=\frac{12k}{13k}=\frac{12}{13}$

$\tan\alpha=\frac{AC}{AB}=\frac{5k}{12k}=\frac{5}{12}$

$\cot \alpha=\frac{A B}{A C}=\frac{12 k}{5 k}=\frac{12}{5}$

Ví dụ: Biết $\sinα.\cosα = \frac{12}{25}$ . Tính sinα, cosα.

Hướng dẫn giải

Biết $\sinα.\cosα =\frac{ 12}{25}$ .

Để tính sinα,cosα ta cần tính (sinα + cosα) rồi giải phương trình với ẩn là sinα hoặc cosα.

Ta có:

$(\sin\alpha+\cos\alpha)^2$ $=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$

$=1+2\cdot\frac{12}{25}=\frac{49}{25}$

Suy ra $\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{7}{5}$ nên $\sin\alpha=\frac{7}{5}-\cos\alpha$

Từ đó ta có:

$\cos\alpha\left(\frac{7}{5}-\cos\alpha\right)=\frac{12}{25}$

$\Leftrightarrow\frac{7}{5}\cos\alpha-\cos^2\alpha=\frac{12}{25}$

$\Leftrightarrow25\cos^2\alpha-35\cos\alpha+12=0$

$\Leftrightarrow5\cos\alpha(5\cos\alpha-4)-3(5\cos\alpha-4)=0$

$\Leftrightarrow(5\cos\alpha-4)(5\cos\alpha-3)=0$

Suy ra $\cos\alpha=\frac{4}{5}$ hoặc $\cos\alpha=\frac{3}{5}$

- Nếu $\cos\alpha=\frac{4}{5}$ thì $\sin\alpha=\frac{12}{25}:\frac{4}{5}=\frac{3}{5}$

- Nếu $\cos\alpha=\frac{3}{5}$ thì $\sin\alpha=\frac{12}{25}:\frac{3}{5}=\frac{4}{5}$

Vậy $\sin\alpha=\frac{3}{5},\cos\alpha=\frac{4}{5}$ hoặc $\sin\alpha=\frac{4}{5},\cos\alpha=\frac{3}{5}$

Câu trắc nghiệm mã số: 16508,16506,16511

1.379 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Toán 9