Lớp 9 Toán 9

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

1. Phương trình bậc hai

Định nghĩa

Phương trình bậc hai một ẩn (hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

ax^2 + bx + c = 0; (a ≠ 0)

Trong đó a, b, c là các số thực cho trước, x là ẩn số.

Giải phương trình bậc hai một ẩn là đi tìm tập nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn đó.

2. Công thức nghiệm phương trình bậc hai

Phương trình ax^2 + bx + c = 0; (a ≠ 0) có:

Bước 1: Tính ∆ = b^2 – 4ac

Bước 2: 

  • Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm
  • Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: {x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}
  • Nếu ∆ > 0.thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}} \\ {{x_2} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}} \end{array}} \right.

Ví dụ: Giải phương trình bậc hai: {x^2} + 7x - 8 = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: a = 1, b = 7, c = -8

\begin{matrix} \Delta = {\left( { - 7} \right)^2} + 4.1.8 = 49 + 32 = 81 > 0 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {81} = 9 \hfill \\ \end{matrix}

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\begin{matrix} {x_1} = \dfrac{{ - 7 - 9}}{{2.1}} = \dfrac{{ - 16}}{2} = - 8 \hfill \\ {x_2} = \dfrac{{ - 7 + 9}}{{2.1}} = \dfrac{2}{2} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

 

 

 

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x_1 = -8; x_2 = 1.

Ví dụ: Giải phương trình:

a) {x^2} - 49x - 50 = 0

b) \left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 - \sqrt 3 = 0

Hướng dẫn giải

a) {x^2} - 49x - 50 = 0

Ta có: a = 1; b = -49; c = -50

\begin{matrix} \Delta = {\left( { - 49} \right)^2} - 4.1.\left( { - 50} \right) = 2601 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt \Delta = 51 \hfill \\ \end{matrix}

Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = \dfrac{{ - \left( { - 49} \right) - 51}}{2} = - 1} \\ {{x_2} = \dfrac{{ - \left( { - 49} \right) + 51}}{2} = 50} \end{array}} \right.

b)\left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 - \sqrt 3 = 0 

Ta có: {a = 2 - \sqrt 3 ;b = 2\sqrt 3 ;c = - 2 - \sqrt 3 }

Ta có:

\Delta = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} - 4\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( { - 2 - \sqrt 3 } \right) = 16

\Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {16} = 4

Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = \dfrac{{ - 2\sqrt 3 + 4}}{{2\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}} = 1} \\ {{x_2} = \dfrac{{ - 2\sqrt 3 - 4}}{{2\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}} = - \left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)} \end{array}} \right.

3. Biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai

Phương  pháp:

Xét phương trình bậc hai: ax^2 + bx + c = 0; (a ≠ 0)

  • Phương trình có nghiệm kép \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a \ne 0 \hfill \\ \Delta = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.
  • Phương trình có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a \ne 0 \hfill \\ \Delta > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.
  • Phương trình vô nghiệm \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a \ne 0 \hfill \\ \Delta < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.

Ví dụ: Cho phương trình x^2+(2m+1)x+m^2-1=0 (1)

a, Tìm m để phương trình có nghiệm.

b, Tìm m để phương trình có nghiệm kép.

c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

d, Tìm m để phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Phương trình (1) là phương trình bậc hai với :

\Delta=b^2-4ac

=(2m+1)^2-4.(m^2-1)

=4m^2+4m+1-4m^2+4=4m+5

a, Để phương trình (1) có nghiệm

\Leftrightarrow \Delta \geq0\Leftrightarrow4m+5\geq0\Leftrightarrow m\geq\frac{-5}{4}

b, Để phương trình (1) có nghiệm kép

\Leftrightarrow \Delta =0\Leftrightarrow4m+5=0\Leftrightarrow m=\frac{-5}{4}

c, Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow4m+5>0\Leftrightarrow m>\frac{-5}{4}

d, Để phương trình (1) vô nghiệm

\Leftrightarrow \Delta <0\Leftrightarrow4m+5<0\Leftrightarrow m<\frac{-5}{4}

Câu trắc nghiệm mã số: 16762,16763,16756,16757,16758,16755
  • 70.069 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 9