Lớp 9 Toán 9

Luyện tập Phương trình quy về phương trình bậc hai

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 10 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 10 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tìm số nghiệm của phương trình

    Phương trình x4 − 6x2 – 7 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

    Hướng dẫn:

    Đặt t=x^2;(t>0)

    Phương trình tương đương 

    {t^2} - 6t - 7 = 0\left( * ight)

    Nhận thấy a - b + c = 1 + 6 - 7 = 0

    => Phương trình (*) có hai nghiệm \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{t_1} = - 1\left( {ktm} ight)} \\ {{t_2} = 7 \Rightarrow x = \pm \sqrt 7 } \end{array}} ight.

    Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

  • Câu 2: Thông hiểu
    Giải phương trình

    Phương trình 2x4 − 9x2 + 7 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

    Hướng dẫn:

     Đặt {x^2} = t;\left( {t > 0} ight)

    Phương trình đã cho trở thành:

    2{t^2} - 9t + 7 = 0 (*)

    Nhận thấy a + b + c = 2 - 9 + 7 = 0

    => Phương trình (*) có hai nghiệm \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{t_1} = 1 \Rightarrow x = \pm 1} \\ {{t_2} = \dfrac{7}{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt {\dfrac{7}{2}} } \end{array}} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tính tổng các nghiệm của phương trình

    Phương trình (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – 9 = 0 có tổng các nghiệm là:

    Hướng dẫn:

    Đặt {\left( {2x + 1} ight)^2} = t;\left( {t > 0} ight)

    Phương trình tương đương:

    {t^2} - 8t - 9 = 0\left( * ight)

    Nhận thấy a - b + c = 1 + 8 - 9 = 0 nên phương trình (*) có nghiệm \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{t_1} = - 1\left( {ktm} ight)} \\ {{t_2} = 9\left( {tm} ight)} \end{array}} ight.

    Với  t=9 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + 1 = 3} \\ {2x + 1 = - 3} \end{array}} ight. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = - 2} \end{array}\left( {tm} ight)} ight.

    Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là: S=1-2=-1.

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính số nghiệm của phương trình

    Phương trình nào sau đây không thể quy về phương trình bậc hai?

    Hướng dẫn:

    Bình phương hai vế phương trình ở phương án A, ta được:

    x^2 - x + 1 = x + 3

    ⇒ x^2 - 2x - 2 = 0

    Vì x^2 - 2x - 2 = 0 là phương trình bậc hai 

    => \sqrt {{x^2} - x + 1} = \sqrt {x + 3}  đúng

    Ta thực hiện tương tự như vậy ta thấy phương trình ở phương án \sqrt {x + 6} = 2x - 1 và \sqrt {{x^2} + 2x - 3} = \sqrt {2{x^2} + 8x - 7} có thể quy về phương trình bậc hai.

    Đối với phương trình \sqrt {{x^3} - {x^2} + 1} = 3 sau khi bình phương hai vế ta có:

    x^3 - x^2 - 8 = 0

    Đây không phải phương trình bậc hai.

  • Câu 5: Vận dụng
    Giải phương trình

    Phương trình \sqrt { - {{\left( {x - \frac{1}{2}} ight)}^2} - \frac{3}{4}} + x = 1 có số nghiệm là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \sqrt { - {{\left( {x - \dfrac{1}{2}} ight)}^2} - \dfrac{3}{4}} + x = 1 \hfill \\ DK: - {x^2} + x - 1 \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt { - {x^2} + x - 1} = 1 - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - x \geqslant 0} \\ { - {x^2} + x - 1 = {{\left( {1 - x} ight)}^2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 1} \\ {2{x^2} - 3x + 2 = 0\left( {VN} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình vô nghiệm.

  • Câu 6: Vận dụng
    Tính tổng bình phương các nghiệm phương trình

    Tổng bình phương các nghiệm của phương trình \left( {x - 2} ight)\sqrt {2x + 7} = {x^2} - 4 là:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: x \geqslant - \frac{7}{2}

    Ta có:

    \begin{matrix} \left( {x - 2} ight)\sqrt {2x + 7} = {x^2} - 4 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} ight)\sqrt {2x + 7} = \left( {x - 2} ight)\left( {x + 2} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} ight)\left[ {\sqrt {2x + 7} - \left( {x + 2} ight)} ight] = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 2 = 0 \hfill \\ \sqrt {2x + 7} - \left( {x + 2} ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ \sqrt {2x + 7} - \left( {x + 2} ight) = 0\left( * ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình (*)

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \sqrt {2x + 7} = x + 2 \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 2 \geqslant 0} \\ {2x + 7 = {{\left( {x + 2} ight)}^2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant - 2} \\ {{x^2} + 2x - 3 = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant - 2} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1\left( {tm} ight)} \\ {x = - 3\left( {ktm} ight)} \end{array}} ight.} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy tổng bình phương các nghiệm phương trình là: S = {1^2} + {2^2} = 5

  • Câu 7: Thông hiểu
    Giải phương trình

    Số nghiệm của phương trình 3x3 + 3x2 + 5x + 5 = 0 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} 3{x^3} + 3{x^2} + 5x + 5 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 3{x^2}\left( {x + 1} ight) + 5\left( {x + 1} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {3{x^2} + 5} ight)\left( {x + 1} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 3{x^2} + 5 = 0\left( {VN} ight) \hfill \\ x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

  • Câu 8: Thông hiểu
    Giải phương trình

    Nghiệm của phương trình x3 + 3x2 + x + 3 = 0 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} {x^3} + 3{x^2} + x + 3 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 3} ight) + \left( {x + 3} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} ight)\left( {x + 3} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x^2} + 1 = 0 (KTM)\hfill \\ x + 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x=-3. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy nghiệm của phương trình là x = -3.

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính tổng các nghiệm của phương trình

    Tổng các nghiệm của phương trình x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 8 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} x\left( {x + 1} ight)\left( {x + 2} ight)\left( {x + 3} ight) = 8 \hfill \\ \Leftrightarrow x\left( {x + 3} ight)\left( {x + 1} ight)\left( {x + 2} ight) = 8 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x} ight)\left( {{x^2} + 3x + 2} ight) = 8 \hfill \\ \end{matrix}

    Đặt t = {x^2} + 3x + 1

    Phương trình trở thành

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \left( {t - 1} ight)\left( {t + 1} ight) = 8 \hfill \\ \Leftrightarrow {t^2} - 1 = 8 \hfill \\ \Leftrightarrow {t^2} = 9 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 3} \\ {t = - 3} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + 3x + 1 = 3} \\ {{x^2} + 3x + 1 = - 3} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + 3x - 2 = 0} \\ {{x^2} + 3x + 4 = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình {x^2} + 3x - 2 = 0 có: 

    \begin{matrix} \Delta = 17 \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {17} \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2}} \\ {x = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình {x^2} + 3x + 4 = 0 có: \Delta = - 7 < 0

    => Phương trình {x^2} + 3x + 4 = 0 vô nghiệm.

    => Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là: 

    S = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2} + \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2} = - 3

  • Câu 10: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Hai nghiệm của phương trình \frac{x}{{x + 1}} - \frac{{10\left( {x + 1} ight)}}{x} = 3 là x1 > x2. Tính 3x1 + 4x2.

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: x e 0;x e - 1

    Đặt: \frac{x}{{x + 1}} = a;\left( {a e 0} ight) phương trình trở thành:

    \begin{matrix} a - \dfrac{{10}}{a} = 3 \Leftrightarrow {a^2} - 3a - 10 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{{3 + \sqrt {49} }}{2} = 5\left( {tm} ight)} \\ {a = \dfrac{{3 - \sqrt {49} }}{2} = - 2\left( {tm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Với a = 5 ta được: 

    \begin{matrix} \dfrac{x}{{x + 1}} = 5 \hfill \\ \Leftrightarrow 5x + 5 = x \hfill \\ \Leftrightarrow x = - \dfrac{5}{4}\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Với a = -2 ta được:

    \begin{matrix} \dfrac{x}{{x + 1}} = - 2 \hfill \\ \Leftrightarrow - 2x - 2 = x \hfill \\ \Leftrightarrow x = - \dfrac{2}{3}\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Ta lại có: {x_1} > {x_2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = - \dfrac{2}{3}} \\ {{x_2} = - \dfrac{5}{4}} \end{array}} ight.

    \Rightarrow 3{x_1} + 4{x_2} = 3.\left( { - \frac{2}{3}} ight) + 4.\left( { - \frac{5}{4}} ight) = - 7

0/10
10 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (60%):
    2/3
  • Thông hiểu (40%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 4 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 9

Đăng nhập