Góc ở tâm - Số đo cung

I. Góc ở tâm

Định nghĩa

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Hình vẽ minh họa

Trong hình vẽ trên $\widehat {AOB}$ là một góc ở tâm, $\mathop {AmB}^{\displaystyle\frown}$ là cung nhỏ, $\mathop {AnB}^{\displaystyle\frown}$ là cung lớn.

II. Số đo cung

Định nghĩa

Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
Số đo của cung lớn bằng hiệu $360^0$ và số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn).
Số đo của nửa đường tròn bằng $180^0$ .

Chú ý:

Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn $180^0$ .
Cung lớn có số đo lớn hơn $180^0$ .
Khi hai mút của cung trùng nhau, ta có "cung không" với số đo $0^0$ và cung cả đường tròn có số đo $360^0$ .

Ví dụ: Cho đường tròn $(O; R)$ và dây cung $AB = R\sqrt 2$ . Tính số đo hai cung $AB$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc ở tâm - Số đo cung

Xét tam giác OAB ta có:

$\left\{ \begin{gathered} O{A^2} + O{B^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2} \hfill \\ A{B^2} = {\left( {R\sqrt 2 } \right)^2} = 2{R^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\Rightarrow O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}$

=> Tam giác OAB vuông tại O

=> $\widehat {AOB} = {90^0}$

Vậy số đo cung nhỏ $\mathop {AB}^{\displaystyle\frown}$ là $90^0$ .

Số đo cung lớn $\mathop {AB}^{\displaystyle\frown}$ là $360^0-90^0=270^0$ .

III. So sánh hai cung

Trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.

Định lí

Nếu $C$ là một điểm nằm trên cung $AB$ thì $\mathop {AB}^{\displaystyle\frown}=\mathop {AC}^{\displaystyle\frown}+\mathop {CB}^{\displaystyle\frown}$ .

Hình vẽ minh họa

Góc ở tâm - Số đo cung

Trong hình vẽ $\mathop {AB}^{\displaystyle\frown}=\mathop {CD}^{\displaystyle\frown}$

Góc ở tâm - Số đo cung Trong hình vẽ $\mathop {EF}^{\displaystyle\frown}<\mathop {PQ}^{\displaystyle\frown}$

Ví dụ: Trên dây cung $AB$ của đường tròn $(O)$ lấy hai điểm $H$ và sao cho $AH = HK = KB$ . Vẽ bán kính $OD$ qua $H$ và bán kính $OC$ qua $K$ . Chứng minh rằng: