Lớp 9 Toán 9

Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

Cho tam giác ABC vuông tại A (như hình vẽ)

Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

b^2 = a.b'; c^2 = a.c'

2. Một số hệ thức liên quan đến đường cao

Cho tam giác ABC vuông tại A (như hình vẽ)

Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Định lí 1: Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền

h^2 = b'.c'

Định lí 2: Trong một tam giác vuông, tích của hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với đường cao tương ứng

a.h = b.c

Định lí 3: Trong tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

\frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB:AC = 3:4 và AB + AC = 21cm.

a) Tính các cạnh của tam giác ABC.

b) Tính độ dài các đoạn AH, BH, CH.

Hướng dẫn giải

Lý thuyết: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

a) Theo giả thiết: AB:AC = 3:4 suy ra: \frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}=\frac{AB+AC}{3+4}=3

Do đó \left\{ \begin{gathered} AB = 3.3 = 9(cm) \hfill \\ AC = 3.4 = 12(cm) \hfill \\ \end{gathered} \right..

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pythagore ta có:

BC^2 = AB^2 + AC^2 = 9^2 + 12^2 = 225

=> BC = 15 cm

b) Tam giác ABC vuông tại A, ta có AH.BC = AB.AC, suy ra

AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{9.12}}{{15}} = 7,2\left( {cm} \right)

Ta có: AH^2 = BH.HC

Đặt BH = x, (0 < x < 9) thì HC = 15 - x, ta có:

(7,2)^2 = x.(15 - x)

⇔ x^2 - 15x + 51,84 = 0

⇔ x(x - 5,4) = 9,6(x - 5,4)

⇔ (x - 5,4)(x - 9,6) = 0

⇔ x = 5,4(tm) hoặc x = 9,6 (loại).

Vậy BH = 5,4cm.

Từ đó HC = BC - BH = 9,6 (cm).

Chú ý: Có thể tính BH như sau:

AB^2 = BH.BC suy ra BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{9^2}}}{{15}} = 5,4\left( {cm} \right)

Câu trắc nghiệm mã số: 16543,16542
  • 3.229 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 9