Lớp 9 Toán 9

Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

1. Hình nón

Khi quay tam giác vuông một vòng quanh cạnh OA cố định thì được một hình nón.

  • Điểm A được gọi đỉnh của hình nón.
  • Hình tròn (O) được gọi là đáy của hình nón.
  • Mỗi vị trí của AC được gọi là một đường sinh của hình nón.
  • Đoạn AO được gọi là đường cao của hình nón.

Hình vẽ minh họa

Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

Diện tích xung quanh của hình nón

S_{xq} = π.R.l

Diện tích toàn phần của hình nón

S_{tp} = π.R.l + π.R^2

Thể tích của hình nón

V = \frac{1}{3}\pi .{R^2}.h

Ví dụ: Một hình nón có bán kính đáy bằng r, diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Tính theo r.

a) Diện tích xung quanh của hình nón.

b) Thể tích của hình nón.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

a) Theo bài ra ta có:

Diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy

\Rightarrow \pi .r.l = 2\pi .{r^2} \Rightarrow l = 2\pi

\Rightarrow {S_{xq}} = \pi .r.l = \pi r.2r = 2\pi {r^2}

Diện tích xung quanh của hình nón là: {S_{xq}} = 2\pi {r^2}

b) Xét tam giác SOA vuông tại O, ta có:

{h^2} = {l^2} - {r^2} = {\left( {2r} \right)^2} - {r^2} = 3{r^2}

\Rightarrow h = r\sqrt 3

Thể tích của hình nón là: 

\Rightarrow V = \frac{1}{3}\pi .{r^2}h = \frac{1}{3}\pi .{r^2}.r\sqrt 3 = \frac{{\pi .{r^3}\sqrt 3 }}{3}.

Câu trắc nghiệm mã số: 32642

3. Hình nón cụt

Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần hình nón nằm giữa mặt phẳng nói trên và mặt phẳng đáy được gọi là một hình nón cụt.

  • Hai hình tròn (O) và (O') được gọi là hai đáy.
  • Đoạn OO' được gọi là trục. Độ dài OO' là chiều cao.
  • Đoạn AC được gọi là đường sinh.

Hình vẽ minh họa

Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

Chú ý:

  • Hình khai triển mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt.
  • Một hình nón được xác định khi biết 2 trong 3 yếu tố: bán kính đáy, chiều cao, đường
    sinh.

Diện tích xung quanh của hình nón cụt

S_{xq} = π.(R+r).l

Diện tích toàn phần của hình nón cụt

S_{tp} = π.(R+r).l + π.R^2 + π.r^2

Thể tích của hình nón cụt

V = \frac{1}{3}\pi .({R^2}+r^2+R.r).h

Trong đó: R, r lần lượt là bán kính hai đáy, l là độ dài đường sinh, h là đường cao của hình nón cụt.

Ví dụ: Một hình nón có bán kính đáy bằng 6 cm, đường sinh bằng 10 cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón.

b) Tính thể tích của hình nón.

c) Một mặt phẳng đi qua trung điểm của đường cao và song song với đáy hình nón chia hình
nón thành một hình nón nhỏ và một hình nón cụt. Tính thể tích hình nón cụt.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

Diện tích xung quanh của hình nón:

S_{xq} = πrl = 60π (cm^2)

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông SAO, ta có:

SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = 8 (cm)

Thể tích của hình nón là:

V = \frac{1}{3}\pi .{r^2}h = \frac{1}{3}\pi {.6^2}.8 = 96\pi \approx 301,6\left( {c{m^3}} \right)

Xét tam giác SOA, ta có:

SI = IO, IB // OA

=> IB = 1/2 OA = 3 cm

Thể tích hình nón nhỏ bằng:

V = \frac{1}{3}\pi .r{'^2}h' = \frac{1}{3}\pi {.3^2}.4 = 12\pi \left( {c{m^3}} \right)

Câu trắc nghiệm mã số: 32644
  • 461 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 9