Lớp 9 Toán 9

Luyện tập Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 10 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 10 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tìm x

    Với x > 5, cho biểu thức A = \frac{{\sqrt {{x^2} - 5x} }}{{\sqrt {x - 5} }} và B = x. Có bao nhiêu giá trị của x để A = B?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: x > 5

    Ta có:

    \begin{matrix} A = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 5x} }}{{\sqrt {x - 5} }} = \dfrac{{\sqrt {x\left( {x - 5} ight)} }}{{\sqrt {x - 5} }} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt x \sqrt {x - 5} }}{{\sqrt {x - 5} }} = \sqrt x \hfill \\ \end{matrix}

    Để A=B ta có:

    \begin{matrix} \sqrt x = x \Leftrightarrow \sqrt x - x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \sqrt x = 0 \hfill \\ 1 - \sqrt x = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ \sqrt x = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {ktm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 2: Vận dụng
    Tìm x để A = B

    Với x > 0, cho biểu thức A = \frac{{\sqrt {{x^2} + 6x} }}{{\sqrt {x + 6} }} và B = 2x. Có bao nhiêu giá trị của x để A = B?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: x > 0

    Ta có:

    \begin{matrix} A = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 6x} }}{{\sqrt {x + 6} }} = \dfrac{{\sqrt {x\left( {x + 6} ight)} }}{{\sqrt {x + 6} }} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt x .\sqrt {x + 6} }}{{\sqrt {x + 6} }} = \sqrt x \hfill \\ \end{matrix}

    Để A=B ta có:

    \begin{matrix} \sqrt x = 2x \Leftrightarrow \sqrt x - 2x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x \left( {1 - 2\sqrt x } ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \sqrt x = 0 \hfill \\ 1 - 2\sqrt x = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ \sqrt x = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 (ktm)\hfill \\ x = \dfrac{1}{4} \left( {tm} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.\hfill \\ \end{matrix}

    Vậy có 1 giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 3: Vận dụng
    Tìm khẳng định đúng

    Khẳng định nào sau đây đúng về nghiệm x0 của phương trình

    \frac{{9x - 7}}{{\sqrt {7x + 5} }} = \sqrt {7x + 5}

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: 7x + 5 > 0 \Rightarrow x > - \frac{5}{7}

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} \dfrac{{9x - 7}}{{\sqrt {7x + 5} }} = \sqrt {7x + 5} \hfill \\ \Leftrightarrow 9x - 7 = {\left( {\sqrt {7x + 5} } ight)^2} \hfill \\ \Leftrightarrow 9x - 7 = 7x + 5 \hfill \\ \Leftrightarrow 2x = 12 \hfill \\ \Leftrightarrow x = 6 \hfill \\ \end{matrix}

    => Phương trình có nghiệm là {x_0} = 6 thỏa mãn 5 < x_0 < 7

  • Câu 4: Vận dụng
    Giải phương trình chứa căn

    Kết luận nào sau đây đúng về phương trình \sqrt {4x - 20} + \sqrt {x - 5} - \frac{1}{3}\sqrt {9x - 45} = 4?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: 

    \begin{matrix} \sqrt {4x - 20} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}\sqrt {9x - 45} = 4 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 4x - 20 \geqslant 0 \hfill \\ x - 5 \geqslant 0 \hfill \\ 9x - 45 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4\left( {x - 5} ight) \geqslant 0 \hfill \\ x - 5 \geqslant 0 \hfill \\ 9\left( {x - 5} ight) \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow x - 5 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 5 \hfill \\ \end{matrix}

    Phương trình tương đương ta có:

    \begin{matrix} \sqrt {4x - 20} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}\sqrt {9x - 45} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {4(x - 5)} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}\sqrt {9(x - 5)} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt 4 .\sqrt {x - 5} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}.\sqrt 9 .\sqrt {x - 5} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow 2.\sqrt {x - 5} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}.3.\sqrt {x - 5} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow 2.\sqrt {x - 5} = 4 \Leftrightarrow \sqrt {x - 5} = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow x - 5 = {2^2} \Leftrightarrow x - 5 = 4 \Leftrightarrow x = 9(TM) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình có nghiệm x = 9 chia hết cho 3.

  • Câu 5: Vận dụng
    Tìm nghiệm phương trình

    Nghiệm của phương trình

    \frac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \frac{1}{2}\sqrt {9x - 9} + 16.\sqrt {\frac{{x - 1}}{{64}}} = 12 là?

    Hướng dẫn:

     Điều kiện xác định:

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} x - 1 \geqslant 0 \hfill \\ 9x - 9 \geqslant 0 \hfill \\ \frac{{x - 1}}{{64}} \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - 1 \geqslant 0 \hfill \\ 9\left( {x - 1} ight) \geqslant 0 \hfill \\ x - 1 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow x - 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{2}\sqrt {9x - 9} + 16.\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{64}}} = 12 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{2}\sqrt {9\left( {x - 1} ight)} + 16.\dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {64} }} = 12 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{2}\sqrt 9 \sqrt {x - 1} + 16.\dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{8} = 12 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} + 2.\sqrt {x - 1} = 12 \hfill \\ \Leftrightarrow 2.\sqrt {x - 1} = 12 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 6 \hfill \\ \Leftrightarrow x - 1 = 36 \Leftrightarrow x = 37\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình có nghiệm x = 37.

  • Câu 6: Thông hiểu
    Chọn kết luận đúng

    Chọn kết luận đúng về nghiệm x0 (nếu có) của phương trình: \frac{{8 + 3x}}{{\sqrt {2x - 5} }} =\sqrt {2x - 5}

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: 2x - 5 > 0 \Rightarrow x > \frac{5}{2}

    Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{{8 + 3x}}{{\sqrt {2x - 5} }} = \sqrt {2x - 5} \hfill \\ \Rightarrow 8 + 3x = {\left( {\sqrt {2x - 5} } ight)^2} \hfill \\ \Leftrightarrow 8 + 3x = 2x - 5 \hfill \\ \Leftrightarrow x = - 13\left( {ktm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình vô nghiệm hay x \in \varnothing.

  • Câu 7: Vận dụng
    Tìm x để biểu thức nhận giá trị nguyên

    Giá trị của x để biểu thức \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1} nhận giá trị nguyên?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: x\geq 0

    Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{\sqrt x + 1 + 2}}{{\sqrt x + 1}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}} \hfill \\ \end{matrix}

    Do 1 \in \mathbb{Z} => Để biểu thức đạt giá trị nguyên thì \frac{2}{{\sqrt x + 1}} \in \mathbb{Z}

    => \sqrt x + 1 \in U\left( 2 ight) \Rightarrow \sqrt x + 1 \in \left\{ { 1;2} ight\}

    \sqrt x + 1

    1

    2

    x

    0 (tm)

    1 (tm)

    Vậy để biểu thức nhận giá trị nguyên thì x =\left \{ 0;1 ight \}.

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

    Giá trị lớn nhất của biểu thức A=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x} là:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: 2 \leqslant x \leqslant 4

    Ta có:

    \begin{matrix} A = \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} \hfill \\ \Rightarrow {A^2} = {\left( {\sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} } ight)^2} \hfill \\ = x - 2 + 4 - x + 2\sqrt {x - 2} .\sqrt {4 - x} \hfill \\ = 2 + 2\sqrt {\left( {x - 2.} ight)\left( {4 - x} ight)} \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

    \begin{matrix} \Rightarrow {A^2} \leqslant 2 + \left( {x - 2} ight) + \left( {4 - x} ight) = 2 + 2 = 4 \hfill \\ \Rightarrow {A^2} \leqslant 4 \Leftrightarrow A \leqslant 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

    \sqrt {x - 2} = \sqrt {4 - x} \Leftrightarrow x = 3

    vậy giá trị lớn nhất của biểu thức bằng 2 khi x = 3.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Giá trị của biểu thức: \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 3 - 2}}{{\sqrt 3 + 2}} - \dfrac{{\sqrt 3 + 2}}{{\sqrt 3 - 2}}}}{{\sqrt {48} }} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 3 - 2}}{{\sqrt 3 + 2}} - \dfrac{{\sqrt 3 + 2}}{{\sqrt 3 - 2}}}}{{\sqrt {48} }} = \dfrac{{\dfrac{{{{\left( {\sqrt 3 - 2} ight)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 + 2} ight)}^2}}}{{\left( {\sqrt 3 + 2} ight).\left( {\sqrt 3 - 2} ight)}}}}{{\sqrt {48} }} \hfill \\ = \dfrac{{\left( {\sqrt 3 - 2 + \sqrt 3 + 2} ight)\left( {\sqrt 3 - 2 - \sqrt 3 - 2} ight)}}{{\sqrt {48} \left( {{{\sqrt 3 }^2} - {2^2}} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{2\sqrt 3 .\left( { - 4} ight)}}{{\sqrt {48} \left( {3 - 4} ight)}} = \dfrac{{2\sqrt 3 .\left( { - 4} ight)}}{{4\sqrt 3 .\left( { - 1} ight)}} = 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=\sqrt{x^{2}-4x+4}+\sqrt{x^{2}-6x+9} là:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: \forall x \in \mathbb{R}

    Ta có:

    \begin{matrix} M = \sqrt {{x^2} - 4x + 4} + \sqrt {{x^2} - 6x + 9} \hfill \\ M = \sqrt {{{\left( {x - 2} ight)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 3} ight)}^2}} \hfill \\ M = \left| {x - 2} ight| + \left| {x - 3} ight| \hfill \\ M = \left| {x - 2} ight| + \left| {3 - x} ight| \geqslant \left| {x - 2 + 3 - x} ight| = 1 \hfill \\ \Rightarrow MinM = 1 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2} \hfill \\ \end{matrix}

0/10
10 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (60%):
    2/3
  • Vận dụng (20%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 58 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 9

Đăng nhập