Sự xác định đường tròn - Tính chất đối xứng của đường tròn

1. Định nghĩa về đường tròn

Hình vẽ minh họa

Bổ sung kiến thức:

• Đường tròn đi qua các điểm gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác .
• Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác gọi là đường tròn nội tiếp đa giác đó.

2. Cách xác định đường tròn

Hình vẽ minh họa

Chú ý: Không vẽ được đường tròn nào đi qua 3 điểm thẳng hàng.

3. Tính chất đối xứng

Hình vẽ minh họa

Hình vẽ minh họa

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. AB, BN, CP là các đường trung tuyến. Chứng minh 4 điểm B, P, N, C cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABC đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao.

Suy ra AM, BN, CP lần lượt vuông góc với BC, AC, AB.

Từ đó ta có các tam giác BPC, BNC là tam giác vuông.

Với BC là cạnh huyền, suy ra MP = MN = MB = MC.

Hay: Các điểm B, P, N, C cùng thuộc đường tròn.

Đường kính BC = a, tâm đường tròn là trung điểm M của BC.

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Kéo dài AD, CB cắt nhau tại điểm T thì tam giác TCD vuông tại T.

+ Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên NM // AD.

+ MQ là đường trung bình của tam giác ABC nên MQ // BC. Mặt khác AD ⊥ BC ⇒ MN ⊥ MQ.

Chứng minh tương tự ta cũng có: MN ⊥ NP, NP ⊥ PQ. Suy ra MNPQ là hình chữ nhật.

Hay các điểm M, N, P, Q thuộc một đường tròn có tâm là giao điểm O của hai đường chéo NQ, MP.