Lớp 9 Toán 9

Luyện tập Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 10 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 10 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Tính giá trị biểu thức \left( {\frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {15} - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} ight):\frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \left( {\dfrac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {15} - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} ight):\dfrac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }} \hfill \\ = \left( {\dfrac{{\sqrt 2 .\sqrt 7 - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt 5 - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} ight):\dfrac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }} \hfill \\ = \left[ {\dfrac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2 - 1} ight)}}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 3 - 1} ight)}}{{1 - \sqrt 3 }}} ight].\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } ight) \hfill \\ = \left( { - \sqrt 7 - \sqrt 5 } ight).\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } ight) \hfill \\ = - \left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } ight).\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } ight) \hfill \\ = - \left[ {{{\left( {\sqrt 7 } ight)}^2} - {{\left( {\sqrt 5 } ight)}^2}} ight] = - 7 + 5 = - 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Tính giá trị biểu thức \left( {\dfrac{{10 + 2\sqrt {10} }}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {30} - \sqrt 6 }}{{\sqrt 5 - 1}}} ight):\dfrac{1}{{2\sqrt 5 - \sqrt 6 }}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \left( {\dfrac{{10 + 2\sqrt {10} }}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {30} - \sqrt 6 }}{{\sqrt 5 - 1}}} ight):\dfrac{1}{{2\sqrt 5 - \sqrt 6 }} \hfill \\ = \left( {\dfrac{{\sqrt {100} + \sqrt {40} }}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 5 .\sqrt 6 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 5 - 1}}} ight):\dfrac{1}{{2\sqrt 5 - \sqrt 6 }} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \left[ {\dfrac{{\sqrt {20} \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } ight)}}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 5 - 1} ight)}}{{\sqrt 5 - 1}}} ight].\left( {2\sqrt 5 - \sqrt 6 } ight) \hfill \\ = \left( {\sqrt {20} + \sqrt 6 } ight).\left( {2\sqrt 5 - \sqrt 6 } ight) \hfill \\ = \left( {2\sqrt 5 + \sqrt 6 } ight).\left( {2\sqrt 5 - \sqrt 6 } ight) \hfill \\ = {\left( {2\sqrt 5 } ight)^2} - {\left( {\sqrt 6 } ight)^2} = 20 - 6 = 14 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Thông hiểu
    Xác định biểu thức

    Cho ba biểu thức P = x\sqrt y + y\sqrt x ; Q = x\sqrt x + y\sqrt y;R = x - y. Biểu thức nào bằng với biểu thức \left( {\sqrt x - \sqrt y } ight)\left( {\sqrt x + \sqrt y } ight) với x, y không âm?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} P = x\sqrt y + y\sqrt x \hfill \\ = {\left( {\sqrt x } ight)^2}\sqrt y + {\left( {\sqrt y } ight)^2}.\sqrt x \hfill \\ = \sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} Q = x\sqrt x + y\sqrt y \hfill \\ = {\left( {\sqrt x } ight)^3} + {\left( {\sqrt y } ight)^3} \hfill \\ = \left( {\sqrt x + \sqrt y } ight)\left( {x - \sqrt {xy} + y} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} R = x - y \hfill \\ = {\left( {\sqrt x } ight)^2} - {\left( {\sqrt y } ight)^2} \hfill \\ = \left( {\sqrt x + \sqrt y } ight)\left( {\sqrt x - \sqrt y } ight) \hfill \\ \Rightarrow R = \left( {\sqrt x + \sqrt y } ight)\left( {\sqrt x - \sqrt y } ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tìm biểu thức bằng với biểu thức đã cho

    Cho ba biểu thức:

    \begin{matrix} M = {\left( {\sqrt x + \sqrt y } ight)^2} \hfill \\ N = \dfrac{{x\sqrt x - y\sqrt y }}{{\sqrt x - \sqrt y }} \hfill \\ P = \left( {\sqrt x - \sqrt y } ight)\left( {\sqrt x + \sqrt y } ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Biểu thức nào bằng với biểu thức x + \sqrt {xy} + y với x, y, x ≠ y không âm.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} M = {\left( {\sqrt x + \sqrt y } ight)^2} \hfill \\ = {\left( {\sqrt x } ight)^2} + 2\sqrt {xy} + {\left( {\sqrt y } ight)^2} \hfill \\ = x + 2\sqrt {xy} + y \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} N = \dfrac{{x\sqrt x - y\sqrt y }}{{\sqrt x - \sqrt y }} \hfill \\ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x } ight)}^3} - {{\left( {\sqrt y } ight)}^3}}}{{\sqrt x - \sqrt y }} \hfill \\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } ight)\left( {x + \sqrt {xy} + y} ight)}}{{\sqrt x - \sqrt y }} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} P = \left( {\sqrt x - \sqrt y } ight)\left( {\sqrt x + \sqrt y } ight) \hfill \\ = {\left( {\sqrt x } ight)^2} - {\left( {\sqrt y } ight)^2} = x - y \hfill \\ \Rightarrow N = x + \sqrt {xy} + y \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 5: Vận dụng
    Tìm số nghiệm của phương trình

    Số nghiệm của phương trình \sqrt {4{x^2} - 9} = 2\sqrt {2x + 3} là: 

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: \left\{ \begin{gathered} 4{x^2} - 9 \geqslant 0 \hfill \\ 2x + 3 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} \sqrt {4{x^2} - 9} = 2\sqrt {2x + 3} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} - 9} = \sqrt {4.\left( {2x + 3} ight)} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} - 9} = \sqrt {8x + 12} \hfill \\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 9 = 8x + 12 \hfill \\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 8x + 21 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 6x - 14x + 21 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 2x\left( {2x + 3} ight) - 7\left( {2x + 3} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {2x - 7} ight)\left( {2x + 3} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x - 7 = 0 \hfill \\ 2x + 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \dfrac{7}{2} \hfill \\ x = - \dfrac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

  • Câu 6: Vận dụng
    Xác định số nghiệm của phương trình

    Số nghiệm của phương trình \frac{2}{3}\sqrt {9x - 9} - \frac{1}{4}\sqrt {16x -1 6} + 27\sqrt {\frac{{x + 1}}{{81}}} = 4 là:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: 

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} 9x - 9 \geqslant 0 \hfill \\ 16x - 16 \geqslant 0 \hfill \\ \dfrac{{x + 1}}{{81}} \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 9\left( {x - 1} ight) \geqslant 0 \hfill \\ 16\left( {x - 1} ight) \geqslant 0 \hfill \\ x + 1 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow x + 1 \geqslant 0 \Rightarrow x \geqslant - 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Phương trình tương đương:

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}\sqrt {9\left( {x - 1} ight)} - \dfrac{1}{4}\sqrt {16\left( {x - 1} ight)} + 27\sqrt {\dfrac{1}{{81}}\left( {x + 1} ight)} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{2}{3}.3\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{4}.4\sqrt {x - 1} + 27.\dfrac{1}{9}\sqrt {x - 1} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 1} - \sqrt {x - 1} + 3\sqrt {x - 1} = 4 \hfill \\ \Leftrightarrow 4\sqrt {x - 1} = 4 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Giá trị của biểu thức \sqrt {\frac{3}{{20}}} + \sqrt {\frac{1}{{60}}} - 2\sqrt {\frac{1}{{15}}} là:

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    \begin{matrix} \sqrt {\dfrac{3}{{20}}} + \sqrt {\dfrac{1}{{60}}} - 2\sqrt {\dfrac{1}{{15}}} \hfill \\ = \sqrt {\dfrac{3}{{4.5}}} + \sqrt {\dfrac{1}{{4.15}}} - 2\sqrt {\dfrac{1}{{15}}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{2\sqrt {15} }} - \dfrac{2}{{\sqrt {15} }} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{{2\sqrt 5 .\sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{2\sqrt {15} }} - \dfrac{2}{{\sqrt {15} }} \hfill \\ = \dfrac{3}{{2\sqrt {15} }} + \dfrac{1}{{2\sqrt {15} }} - \dfrac{2}{{\sqrt {15} }} \hfill \\ = \left( {\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} - 2} ight).\dfrac{1}{{\sqrt {15} }} \hfill \\ = 0 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Thông hiểu
    Rút gọn biểu thức

    Rút gọn biểu thức \frac{a}{{\sqrt 5 + 1}} + \frac{a}{{\sqrt 5 - 2}} - \frac{a}{{3 - \sqrt 5 }} - a\sqrt 5 ta được:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{a}{{\sqrt 5 + 1}} + \dfrac{a}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{a}{{3 - \sqrt 5 }} - a\sqrt 5 \hfill \\ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 - 1} ight)}}{{\left( {\sqrt 5 - 1} ight)\left( {\sqrt 5 + 1} ight)}} + \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 + 2} ight)}}{{\left( {\sqrt 5 - 2} ight).\left( {\sqrt 5 + 2} ight)}} \hfill \\ - \dfrac{{a\left( {3 - \sqrt 5 } ight)}}{{\left( {3 - \sqrt 5 } ight)\left( {3 + \sqrt 5 } ight)}} - a\sqrt 5 \hfill \\ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 - 1} ight)}}{4} + \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 + 2} ight)}}{1} - \dfrac{{a\left( {3 - \sqrt 5 } ight)}}{4} - a\sqrt 5 \hfill \\ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 - 1} ight) + 4a\left( {\sqrt 5 + 2} ight) -a\left( {3 - \sqrt 5 } ight) - 4a\sqrt 5 }}{4} \hfill \\ = \dfrac{{4a}}{4} = a \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Tính giá trị lớn nhất của A

    Cho biểu thức: A = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} + \frac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} + 1} ight):\left( {1 - \frac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}}} ight)

    Nếu \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=6 thì Max A bằng ?

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    \begin{matrix} A = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} + \dfrac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} + 1} ight):\left( {1 - \dfrac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}}} ight) \hfill \\ = M:N \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} M = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} + \dfrac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} + 1 \hfill \\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight) + \sqrt x \left( {\sqrt y + 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight) + \left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt x - x\sqrt y + 1 - \sqrt {xy} + xy + \sqrt {xy} + x\sqrt y + \sqrt x + 1 - xy}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{2\sqrt x + 2}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} N = 1 - \dfrac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{\sqrt {xy} - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} \hfill \\ = \dfrac{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight) - \left( {\sqrt {xy} + \sqrt x } ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight) - \left( {\sqrt x + 1} ight)\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)}}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{xy - 1 - xy - \sqrt {xy} - x\sqrt y - \sqrt x - x\sqrt y + \sqrt x - \sqrt {xy} + 1}}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{ - 2\sqrt {xy} - 2x\sqrt y }}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{ - 2\sqrt {xy} (\sqrt x + 1)}}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Rightarrow A = \dfrac{{2\sqrt x + 2}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}}:\dfrac{{ - 2\sqrt {xy} (\sqrt x + 1)}}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} ight)\left( {\sqrt {xy} + 1} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 1} ight)}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}}:\dfrac{{2\sqrt {xy} (\sqrt x + 1)}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 1} ight)}}{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}}.\dfrac{{\left( {1 + \sqrt {xy} } ight)\left( {1 - \sqrt {xy} } ight)}}{{2\sqrt {xy} (\sqrt x + 1)}} \hfill \\ = \dfrac{1}{{\sqrt {xy} }} \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng bất đẳng thức {\left( {a + b} ight)^2} \geqslant 4ab khi đó ta có:

    A = \frac{1}{{\sqrt x .\sqrt y }} \leqslant \frac{1}{4}{\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt y }}} ight)^2} = \frac{1}{4}{.6^2} = 9

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \left\{ \begin{gathered} \sqrt x = \sqrt y \hfill \\ \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt y }} = 6 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x = y = \frac{1}{9}

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Tìm giá trị x, y, z

    Giá trị x, y, z để thỏa mãn \sqrt x + \sqrt {y - z} + \sqrt {z - x} = \frac{1}{2}\left( {y + 3} ight) là ?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 0} \\ {y - z \geqslant 0} \\ {z - x \geqslant 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow y \geqslant z \geqslant x \geqslant 0

    Ta có: 

    \begin{matrix} \sqrt x + \sqrt {y - z} + \sqrt {z - x} = \dfrac{1}{2}\left( {y + 3} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sqrt x + 2\sqrt {y - z} + 2\sqrt {z - x} = y + 3 \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sqrt x + 2\sqrt {y - z} + 2\sqrt {z - x} = x + y - z + z - x - 3 \hfill \\ \Leftrightarrow x - 2\sqrt x + 1 + y - z - 2\sqrt {y - z} + 1 \hfill \\ + z - x - 2\sqrt {z - x} + 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} ight)^2} + {\left( {\sqrt {y - z} - 1} ight)^2} + {\left( {\sqrt {z - x} - 1} ight)^2} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt x - 1 = 0 \hfill \\ \sqrt {y - z} - 1 = 0 \hfill \\ \sqrt {z - x} - 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ y = 3 \hfill \\ z = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

0/10
10 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (60%):
    2/3
  • Thông hiểu (20%):
    2/3
  • Vận dụng (20%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 4 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 9

Đăng nhập