Lớp 9 Toán 9

Luyện tập Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 10 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 10 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tính tổng các chữ số của số đã cho

    Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành 99. Tổng các chữ số của số đó là?

    Hướng dẫn:

    Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: \overline {xy} = x.10 + y

    Điều kiện: {x \in {\mathbb{N}^*};y \in \mathbb{N};x \leqslant 9;y \leqslant 9}

    Khi đổi chỗ hai chữ số của số đã cho ta được: \overline {yx} = y.10 + x

    Đổi chỗ hai chữ số thì được một số lớn hơn số đã cho là 63, ta có:

    (10y + x) - (10x + y) = 63

    \Rightarrow 9y - 9x = 63

    \Rightarrow y - x = 7 (1)

    Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99, ta có:

    (10x + y) + (10y + x) = 99

    \Rightarrow 11x + 11y = 99

     \Rightarrow x + y = 9 (2)

    Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} y - x = 7 \hfill \\ x + y = 9 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2y = 16 \hfill \\ x + y = 9 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 8 \hfill \\ x = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy số cần tìm là 18.

    => Tổng các chữ số là 9.

  • Câu 2: Vận dụng
    Tính tổng các chữ số của số đã cho

    Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 18. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 66. Tổng các chữ số của số đó là?

    Hướng dẫn:

    Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: \overline {xy} = x.10 + y

    Điều kiện: {x \in {\mathbb{N}^*};y \in \mathbb{N};x \leqslant 9;y \leqslant 9}

    Khi đổi chỗ hai chữ số của số đã cho ta được: \overline {yx} = y.10 + x

    Đổi chỗ hai chữ số thì được một số lớn hơn số đã cho là 18, ta có:

    (10y + x) - (10x + y) = 18

    \Rightarrow 9y - 9x = 18

    \Rightarrow y - x = 2 (1)

    Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 66, ta có:

    (10x + y) + (10y + x) = 66

    \Rightarrow 11x + 11y = 66

    \Rightarrow x + y = 6 (2)

    Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} y - x = 2 \hfill \\ x + y = 6 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2y = 8 \hfill \\ x + y = 6 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 4 \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy số cần tìm là 24

    => Tổng các chữ số là 6.

  • Câu 3: Vận dụng
    Tìm tích các chữ số của số ban đầu

    Cho một số có hai chữ số. Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được một số bằng 3/8 số ban đầu. Tìm tích các chữ số của số ban đầu.

    Hướng dẫn:

    Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: \overline {xy} = x.10 + y

    Điều kiện: {x \in {\mathbb{N}^*};y \in \mathbb{N};x \leqslant 9;y \leqslant 9}

    Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5

    => x-y=5 (*)

    Khi đổi chỗ hai chữ số của số đã cho ta được: \overline {yx} = y.10 + x

    Đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được một số bằng 3/8 số ban đầu:

    \begin{matrix} 10y + x = \dfrac{3}{8}.\left( {10x + y} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{25}}{4}x = \dfrac{{77}}{8}y \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{11}}{4}x = \dfrac{{77}}{8}y\left( {**} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

    \begin{matrix} 10y + x = \dfrac{3}{8}.\left( {10x + y} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{25}}{4}x = \dfrac{{77}}{8}y \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{11}}{4}x = \dfrac{{77}}{8}y\left( {**} ight) \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x - y = 5 \hfill \\ \dfrac{{11}}{4}x = \dfrac{{77}}{8}y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = y + 5 \hfill \\ \dfrac{{11}}{4}\left( {y + 5} ight) = \dfrac{{77}}{8}y \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = y + 5 \hfill \\ \dfrac{{11}}{4}\left( {y + 5} ight) = \dfrac{{77}}{8}y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 7 \hfill \\ y = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy số cần tìm là 72

    => Tích các chữ số là: 2.7 = 14.

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính thời gian ô tô đi trên đoạn đường AB

    Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50 km/h, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45 km/h. Biết quãng đường tổng cộng dài 165 km và thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên đoạn đường AB.

    Hướng dẫn:

    Gọi thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường AB và BC lần lượt là x; y (giờ)

    Điều kiện: x > 0; y > 0,5

    Quãng đường AB dài là: {S_{AB}} = 50x\left( {km} ight)

    Quãng đường BC dài là {S_{BC}} = 45y\left( {km} ight)

    Quãng đường tổng cộng dài 165 km => 50x + 45y = 165\left( * ight)

    Thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút

    => y - x = \frac{1}{2}\left( {**} ight)

    Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} 50x + 45y = 165 \hfill \\ y - x = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 50x + 45\left( {\dfrac{1}{2} + x} ight) = 165 \hfill \\ y = \frac{1}{2} + x \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 95x = \dfrac{{285}}{2} \hfill \\ y = \dfrac{1}{2} + x \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1,5 \hfill \\ y = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là 1,5 giờ, thời gian ô tô đi hết quãng đường BC là 2 giờ.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Tính thời gian ô tô đi trên đoạn đường BC

    Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 52 km/h, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 42 km/h. Biết quãng đường tổng cộng dài 272 km và thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 2 giờ. Tính thời gian ô tô đi trên đoạn đường BC.

    Hướng dẫn:

    Gọi thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường AB và BC lần lượt là x; y (giờ)

    Điều kiện: x > 0; y > 0,5

    Quãng đường AB dài là: {S_{AB}} = 52x\left( {km} ight)

    Quãng đường BC dài là {S_{BC}} = 42y\left( {km} ight)

    Quãng đường tổng cộng dài 272 km => 52x + 42y = 272\left( * ight)

    Thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 2 giờ

    => y - x = 2\left( {**} ight)

    Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} 52x + 42y = 272 \hfill \\ y - x = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 52x + 42y = 272 \hfill \\ y = 2 + x \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 52x + 42\left( {2 + x} ight) = 272 \hfill \\ y = 2 + x \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là 4 giờ

  • Câu 6: Vận dụng
    Tính vận tốc của xe lúc ban đầu

    Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10 km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ, còn nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10 km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc ban đầu.

    Hướng dẫn:

    Gọi vận tốc ban đầu là x (km/h); (x > 10)

    Thời gian chạy dự định là y (giờ)

    Chiều dài quãng đường là: x.y (km)

    Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10 km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ.

    Vận tốc xe khi đó là x + 10 (km /h); thời gian đi là: y – 3 (giờ) 

    => Chiều dài quãng đường là (x + 10)(y - 3) (km) (*)

    Nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ.

    Vận tốc xe đi khi đó là: x – 10 (km/h) và thời gian đi là : y + 5 (giờ).

    => Chiều dài quãng đường là (x - 10)(y + 5) (km) (**)

    Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {x - 10} ight)\left( {y + 5} ight) = xy} \\ {\left( {x + 10} ight)\left( {y - 3} ight) = xy} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {xy + 5x - 10y - 50 = xy} \\ {xy - 3x + 10y - 30 = xy} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x - 10y = 50} \\ {10y - 3x = 30} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x = 80} \\ {x - 2y = 10} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 40} \\ {y = 15} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy vận tốc của xe lúc ban đầu là 40km/h.

  • Câu 7: Vận dụng
    Tính vận tốc của xe lúc ban đầu

    Một xe đạp dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10 km thì đến nơi sớm hơn dự định 1 giờ, còn nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 5 km thì đến nơi chậm mất 2 giờ. Tính vận tốc của xe lúc ban đầu.

    Hướng dẫn:

    Gọi vận tốc ban đầu là x (km/h); (x > 5)

    Thời gian chạy dự định là y (giờ), (y > 0)

    Chiều dài quãng đường là: x.y (km)

    Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10 km thì đến nơi sớm hơn dự định 1 giờ.

    Vận tốc xe khi đó là x + 10 (km /h); thời gian đi là: y – 1 (giờ)

    => Chiều dài quãng đường là (x + 10)(y - 1) (km) (*)

    Nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 5km thì đến nơi chậm mất 2 giờ.

    Vận tốc xe đi khi đó là: x – 5 (km/h) và thời gian đi là : y + 2 (giờ).

    => Chiều dài quãng đường là (x - 5)(y + 2) (km) (**)

    Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {x + 10} ight)\left( {y - 1} ight) = xy} \\ {\left( {x - 5} ight)\left( {y + 2} ight) = xy} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {xy - x + 10y - 10 = xy} \\ {xy + 2x - 5y - 10 = xy} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {10y - x = 10} \\ {2x - 5y = 10} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 10} \\ {y = 2} \end{array}\left( {tm} ight)} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy vận tốc của xe lúc ban đầu là 10km/h

  • Câu 8: Vận dụng
    Tính vận tốc của nước chảy

    Một cano chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km. Một lần khác cũng trong 7 giờ, cano xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km. Tính vận tốc nước chảy.

    Hướng dẫn:

    Gọi vận tốc thực của cano là x (km/h); x > 0

    Vận tốc dòng chảy là y (km/h), 0 < y < x

    Vận tốc cano khi xuôi dòng là x + y (km/h)

    Vận tốc cano khi ngược dòng là: x - y (km/h)

    Cano chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108km và ngược dòng 63km nên ta có phương trình:

    \frac{{108}}{{x + y}} + \frac{{63}}{{x - y}} = 7

    Cano chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 81km và ngược dòng 84km nên ta có phương trình:

     \frac{{81}}{{x + y}} + \frac{{84}}{{x - y}} = 7

    Ta có hệ phương trình:

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{108}}{{x + y}} + \dfrac{{63}}{{x - y}} = 7 \hfill \\ \dfrac{{81}}{{x + y}} + \dfrac{{84}}{{x - y}} = 7 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{432}}{{x + y}} + \dfrac{{252}}{{x - y}} = 28 \hfill \\ \dfrac{{243}}{{x + y}} + \dfrac{{252}}{{x - y}} = 21 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{189}}{{x + y}} = 7 \hfill \\ \dfrac{{243}}{{x + y}} + \dfrac{{252}}{{x - y}} = 21 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + y = 27 \hfill \\ x - y = 21 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x = 48 \hfill \\ x - y = 21 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 24 \hfill \\ y = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {tm} ight)

    Vậy vận tốc nước chảy là: 3km/h.

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính vận tốc dòng nước

    Một chiếc cano đi xuôi dòng theo một khúc sông trong 3 giờ và đi ngược dòng trong 4 giờ, được 380 km. Một lần khác cano này xuôi dòng trong 1 giờ và ngược dòng trong vòng 30 phút được 85 km. Hãy tính vận tốc của dòng nước (vận tốc thật của cano và vận tốc dòng nước ở hai lần là như nhau).

    Hướng dẫn:

    Gọi vận tốc thực của cano là x (km/h); x > 0

    Vận tốc dòng nước là y (km/h); 0 < y < x

    Vận tốc cano khi xuôi dòng là x + y (km/h)

    Vận tốc cano khi ngược dòng là: x – y (km/h)

    Cano đi xuôi dòng theo một khúc sông trong 3 giờ và đi ngược dòng trong 4 giờ, được 380 km nên ta có phương trình:

    3 (x + y) + 4 (x - y) = 380

    Cano xuôi dòng trong 1 giờ và ngược dòng trong 30 phút được 85 km nên ta có phương trình:

    x + y + \frac{1}{2}\left( {x - y} ight) = 85

    Ta có hệ phương trình:

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} 3\left( {x + y} ight) + 4\left( {x - y} ight) = 380 \hfill \\ x + y + \frac{1}{2}\left( {x - y} ight) = 85 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 7x - y = 380 \hfill \\ 3x + y = 170 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 10x = 550 \hfill \\ 3x + y = 170 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 55 \hfill \\ y = 5 \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy vận tốc dòng nước là: 5km/h.

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tính vận tốc của người thứ nhất

    Hai người đi xe đạp xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách nhau 38 km. Họ đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Hỏi vận tốc của người thứ nhất, biết rằng đến khi gặp nhau, người thứ nhất đi được nhiều hơn người thứ hai 2 km.

    Hướng dẫn:

    Gọi vận tốc của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là x, y (km/h)

    Điều kiện: x; y > 0

    Quãng đường người thứ nhất đi được khi gặp nhau là 2x (km)

    Quãng đường người thứ hai đi được đến khi gặp nhau là 2y (km)

    Người thứ nhất đi được nhiều hơn người thứ hai 2 km => 2x - 2y = 2 (*)

    Hai thành phố cách nhau 38km => 2x + 2y = 38 (**)

    Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} 2x + 2y = 38 \hfill \\ 2x - 2y = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + y = 19 \hfill \\ x - y = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x = 20 \hfill \\ x - y = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 10 \hfill \\ y = 9 \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy vận tốc người thứ nhất là 10km/h.

0/10
10 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (70%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 10 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 9

Đăng nhập