Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

2. Công thức tính quãng đường, vận tốc

Công thức tính quãng đường

Các dạng bài toán chuyển động thường gặp là: chuyển động cùng nhau ngược nhau, chuyển dộng trước sau; chuyển động xuôi dòng – ngược dòng; …

Ví dụ: Một xe tải đi từ A đến B với vận tộc 45km/h. Sau 1 giờ 30 phút thì một xe ô tô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc 60km/h và đến B cùng một lúc với xe tải. Tính quãng đường AB.

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài quãng đường AB là a (km) (a > 0)

Thời gian xe tải đi từ A đến B là (km)

Thời gian xe ô tô đi từ A đến B là: (km)

Vì xe ô tô xuất phát sau xe tải 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ nên ta có phương trình:

Vậy quãng đường AB dài 270km.

Công thức tính vận tốc dòng nước

Ví dụ: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Một cano xuôi dòng 44km rồi ngược dòng 27km hết tất cả 3 giờ 30 phút. Biết vận tốc thực của cano là 20km/h. Tính vận tốc dòng nước.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc xuôi dòng là x (km/h)

Vận tốc ngược dòng là y (km/h) (x; y > 0)

Thời gian cano đi xuôi dòng là:

Thời gian cano đi ngược dòng là:

Tổng thời gian đi xuôi dòng và ngược dòng của cano là 3 giờ 30 phút

Ta có phương trình: (1)

Ta có:

Vận tốc dòng nước = Vận tốc xuôi dòng - vận tốc thực của cano

Vận tốc dòng nước = vận tốc thực của cano - vận tốc ngược dòng

Ta có phương trình:

x – 20 = 20 – y

=> x + y = 40 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

=> Vận tốc dòng nước là: 2km/h.

3. Công thức tính năng suất

Ví dụ: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Một tổ sản xuất phải làm được 600 sản phẩm trong một thời gian quy định với năng suất quy định. Sau khi làm xong 400 sản phẩm tổ sản xuất tăng năng suất lao động, mỗi ngày làm tăng thêm 10 sản phẩm so với quy định. Vì vậy mà công việc được hoàn thành sớm hơn quy định một ngày. Tính xem, theo quy định, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm?

Hướng dẫn giải

Gọi số sản phẩm làm theo quy định trong 1 ngày là x (sản phẩm) (0 < x < 600)

Số sản phẩm làm được khi tăng năng suất là y (sản phẩm) (y > 0)

Ta có y = x + 10 (1)

Thời gian hoàn thành theo quy định là: (ngày)

Thời gian làm 400 sản phẩm đầu là (ngày)

Thời gian làm 200 sản phẩm còn lại là (ngày)

Ta có phương trình: (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy theo quy định mỗi ngày tổ sản xuất phải làm 40 sản phẩm.

Ví dụ: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Hai người làm chung một công việc thì sau 20 ngày sẽ hoàn thành. Nhưng sau khi làm chung được 10 ngày thì người thứ nhất đi làm việc khác, người thứ hai vẫn tiếp tục công việc đó và hoàn thành trong 15 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc?

Hướng dẫn giải

Gọi số ngày người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là x (ngày)

Số ngày người thứ làm một mình hoàn thành công việc là: y (ngày) (x, y > 0)

Một ngày người thứ nhất làm được số công việc là: (công việc)

Một ngày người thứ hai làm được số công việc là: (công việc)

Hai người làm chung một công việc thì sau 20 ngày sẽ hoàn thành. Ta có phương trình:

(1)

Khi làm chung được 10 ngày số công việc làm được là: (công việc)

Người thứ hai vẫn tiếp tục công việc còn lại và hoàn thành trong 15 ngày

Ta có phương trình:

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 60 ngày.

4. Công thức bài toán tìm số

Ví dụ: Trên tập hợp các số tự nhiên, hiệu của số lớn và số nhỏ bằng 25. Nếu giảm số lớn đi 14% và tăng số nhỏ lên 4% thì được tổng bằng 544. Tìm hai số đó.

Hướng dẫn giải

Gọi số lớn là x, số nhỏ là y;

Hiệu số lớn và số nhỏ bằng 25 nên ta có:

x – y = 25 (1)

Giảm số lớn đi 14% là:

Tăng số nhỏ lên 4% là

Tổng hai số đó bằng 544

Ta có phương trình: (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy số lớn là 300, số nhỏ là 275.