Lớp 9 Toán 9

Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Lý thuyết

1. Căn thức bậc hai

Định nghĩa: Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi \sqrt A là căn thức bậc hai của A, còn A là biểu thức lấy căn hay còn gọi là biểu thức dưới dấu căn.

Điều kiện có nghĩa (hay có nghĩa) của một căn thức bậc hai

\sqrt A xác định (có nghĩa) ⇔ A ≥ 0

Ví dụ cụ thể

- \sqrt{3x} xác định ⇔ 3x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.

- \sqrt{3-7x} xác định ⇔ 3 - 7x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3/7.

- \sqrt{2-3x} xác định ⇔ 2 - 3x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2/3.

- \sqrt{x\ -6} xác định ⇔ x - 6 ≥ 0 ⇔ x ≥ 6.

- \sqrt{18-9x} xác định ⇔ 18 - 9x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2.

2. Hằng đẳng thức

Muốn khai căn một biểu thức, ta dùng hằng đẳng thức \sqrt{A^2} = |A|.

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức \sqrt{(3-\sqrt{11})^2} ; 3 \sqrt{(a-2)^2} với a<2.

Giải:

Ta có: \sqrt{(3-\sqrt{11})^2} = |3 - \sqrt{11}| = \sqrt{11} - 3 vì \sqrt{11} > 3.

Ta có: \sqrt{(a-2)^2} = |a - 2| = 2 - a vì a<2.

Khi đó: 3\sqrt{(a-2)^2} = 3(2 - a) = 6 - 3a

Ví dụ 2: Tìm x biết \sqrt{x^2} = |-7|; \sqrt{9x^2} = |-12|.

Giải:

Ta có: \sqrt{x^2} = |-7| = 7 ⇔ x^2 = 49 ⇔ x = ±7.

Ta có: \sqrt{9^2} = |-12| = 12 ⇔ 9x^2 = 144 ⇔ x^2 = 16 ⇔ x = ±4..

3. Một số kiến thức cần nhớ

a. Giá trị tuyệt đối

Định nghĩa: |A|=\left\{\begin{array}{ll} A, & \text { khi } A \geq 0 \\ -A, & \text { khi } A<0 \end{array} \right.

Hệ quả

  • |A| ≥ 0, ∀ A
  • |A| = |-A|
  • |A|=|B| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {A = B}\\ {A = - B} \end{array}} \right.
  • |A| = A ⇔ A ≥ 0;|A| = -A ⇔ A ≤ 0;|A| = 0 ⇔ A = 0

b. Dấu của một tích, một thương

A \cdot B \geq 0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A \geq 0 \\ B \geq 0\end{array}\right. hoặc \left\{\begin{array}{l}A \leq 0 \\ B \leq 0\end{array}\right.

A \cdot B \leq 0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A \geq 0 \\ B \leq 0\end{array}\right. hoặc \left\{\begin{array}{l}A \leq 0 \\ B \geq 0\end{array}\right.

\frac{A}{B} \geq 0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A \geq 0 \\ B>0\end{array}\right. hoặc \left\{\begin{array}{l}A \leq 0 \\ B<0\end{array}\right.

\frac{A}{B} \leq 0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A \geq 0 \\ B<0\end{array}\right. hoặc \left\{\begin{array}{l}A \leq 0 \\ B>0\end{array}\right.

\frac{1}{A}>0 \Leftrightarrow A>0

4. Phương pháp giải toán

Dạng 1: Tìm điều kiện để một để một căn thức bậc hai xác định

\sqrt A xác định (hay có nghĩa) ⇔ A ≥ 0

Giải bất phương trình A ≥ 0

Kết luận.

Dạng 2: Khai căn một biểu thức – Tính giá trị một biểu thức chứa căn

Khai căn nhờ hằng đẳng thức \sqrt{A^2} = |A|

Rút gọn

Dạng 3: Phân tích thành nhân tử

Viết A ≥ 0 thành (\sqrt A)^2

Sử dụng A2 - B2 = (A - B)(A + B)

Sử dụng A2 ± 2AB + B2 = (A ± B)2

Thêm, bớt tạo thành hằng đẳng thức

Dạng 4: Giải phương trình

Khai căn một biểu thức

Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài tập ví dụ

Câu 1:

Rút gọn các biểu thức sau:

a) A=\frac{\sqrt{6+2(\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2})}-\sqrt{6-2(\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{2})}}{\sqrt{2}}

Giải:

=\frac{\sqrt{3+2+1+2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1+2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1+2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}-\sqrt{3+2+1-2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}+2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3}-2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{2}}

=\frac{\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1)^2}-\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2}+1)^2}}{\sqrt{2}}=\frac{|\sqrt{3}+\sqrt{2}+1|-|\sqrt{3}-\sqrt{2}+1|}{\sqrt{2}}

=\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2 .

b) B=\sqrt{13+30 \sqrt{2+\sqrt{9+4 \sqrt{2}}}}

Giải:

=\sqrt{13+30 \sqrt{2+\sqrt{(2 \sqrt{2}+1)^2}}}=\sqrt{13+30 \sqrt{3+2 \sqrt{2}}}

=\sqrt{13+30 \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}}=\sqrt{13+30(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{43+30 \sqrt{2}}

=\sqrt{25+2 \cdot 5 \cdot 3 \sqrt{2}+18}=\sqrt{(5+3 \sqrt{2})^2}=5+3 \sqrt{2} .

c) C=\sqrt{n+2 \sqrt{n-1}}+\sqrt{n-2 \sqrt{n-1}}

Giải:

C=\sqrt{n+2 \sqrt{n-1}}+\sqrt{n-2 \sqrt{n-1}}=\sqrt{n-1+2 \sqrt{n-1}+1}+\sqrt{n-1-2 \sqrt{n-1}+1}

=\sqrt{(\sqrt{n-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{n-1}-1)^2}=|\sqrt{n-1}+1|+|\sqrt{n-1}-1|

+ Với 1 ≤ n < 2, ta có C=\sqrt{n-1}+1+1-\sqrt{n-1}=2 \text {. }

+ Với n ≥ 2, ta có C=\sqrt{n-1}+1+\sqrt{n-1}-1=2 \sqrt{n-1} \text {. }

Câu 2:

Giải các phương trình sau

a) \sqrt{x^2-1}+1=x^2

Điều kiện xác định: x^2-1 \geq 0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x \leq-1 \end{array} .\right.

Khi đó ta có:

\sqrt{x^2-1}+1=x^2 \Leftrightarrow x^2-1-\sqrt{x^2-1}=0

\Leftrightarrow \sqrt{x^2-1}\left(\sqrt{x^2-1}-1\right)=0

\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = 0 } \\ { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = 1 } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x= \pm 1(t / m) \\ x= \pm \sqrt{2}(t / m) \end{array}\right.\right.

Vậy S=\{ \pm 1 ; \pm \sqrt{2}\}

b) \sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}=-5

Điều kiện xác định: \left\{\begin{array}{l}x-2 \geq 0 \\ x-3 \geq 3\end{array} \Rightarrow x \geq 3\right.

Với x ≥ 3 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \sqrt{x-2}>0 \\ \sqrt{x-3} \geq 0 \end{array} \Rightarrow \sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}>0\right.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 3:

Cho biểu thức: S=\sqrt{6+2 \sqrt{5}}+\sqrt{6-2 \sqrt{5}}
  1. Tìm tập xác định của biểu thức.
  2. Rút gọn biểu thức A.
Giải:

a) Điều kiện xác định:

x-\sqrt{x^2-4 x+4} \geq 0

\Leftrightarrow\ x\ge\sqrt{x^2-4x+4}\ge0

\Leftrightarrow\ x^2\ge x^2-4x+4

\Leftrightarrow 4 x-4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1 .

Vậy tập xác định là D = [1; +∞].

b) Ta có: A=\sqrt{x-\sqrt{x^2-4 x+4}}=\sqrt{x-\sqrt{(x-2)^2}}=\sqrt{x-|x-2|}

- Với 1 ≤ x < 2, ta có A=\sqrt{x-(2-x)}=\sqrt{2x-2}

- Với x ≥ 2, ta có A=\sqrt{x-(x-2)}=\sqrt{2}

Với bài Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức các bạn học sinh cùng quý thầy cô cần nắm vững kiến thức về định nghĩa, điều kiện có nghĩa của căn thức bậc hai.

  • 32.619 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 9