Lớp 9 Toán 9

Cung chứa góc

A. Bài toán quỹ tích cung chứa góc

Định lí

Quỹ tích những điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc không đổi \alpha; (0^0<\alpha <180^0) là hai cung chứa góc \alpha vẽ trên đoạn AB (quỹ tích cơ bản).

Hình vẽ minh họa

Cung chứa góc

Nhận xét

  • Hai cung chứa góc \alpha nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB.
  • Hai điểm A và B được coi là thuộc quỹ tích.
  • Khi \alpha = 90^0 thì hai cung chứa góc \alpha là hai nửa đường tròn đường kính AB. Như vậy quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.

B. Cách vẽ cung chứa góc

Hình vẽ minh họa

Cung chứa góc

Để vẽ cung chứa góc \alpha ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

Bước 2: Vẽ tia Ax tạo với đoạn thẳng AB một góc \alpha.

Bước 3: Vẽ tia Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay và d.

Bước 4: Vẽ cung \mathop {AmB}^{\displaystyle\frown}, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa Ax.

Nhận xét: \mathop {AmB}^{\displaystyle\frown} vẽ được như trên là cung chứa góc \alpha.

Ví dụ: Dựng cung chứa góc 60^0 trên đoạn AB = 4 cm.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Cung chứa góc

  • Dựng đoạn thẳng AB = 4 cm và đường trung trực d của AB.
  • Dựng tia Ax sao cho \widehat {xAB} = {60^0}.
  • Dựng tia Ay vuông góc với Ax cắt d tại O.
  • Dựng đường tròn (O, OA) và chỉ lấy phần cung cùng phía với O, kí hiệu là \widehat {AmB}.
  • Lấy đối xứng cung \widehat {AmB} qua AB và kí hiệu là  \mathop {AmB}^{\displaystyle\frown}.

Vậy hai cung \widehat {AmB} và \mathop {AmB}^{\displaystyle\frown} là cung chứa góc cần dựng. 

C. Cách giải bài toán quỹ tích

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) điểm M thỏa mãn tính chất J là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

  • Phần thuận: Mọi điểm có tính chất J đều thuộc hình H.
  • Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất J.
  • Kết luận: Quỹ tích (tập hợp) các điểm M có tính chất J thuộc hình H.

Ví dụ: Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm. 

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa 

Cung chứa góc

Theo tính chất tiếp tuyến ta có: AT \bot BT.

Do đó, A,B cố định, T nhìn AB dưới một góc vuông.

Vậy quỹ tích điểm T là đường tròn đường kính AB.

Vì dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích I khi điểm A thay đổi.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Cung chứa góc

Ta có:

\begin{matrix} \widehat {BIC} + \widehat {ICB} + \widehat {IBC} = {180^0} \hfill \\ \Rightarrow \widehat {BIC} = {180^0} - \left( {\widehat {ICB} + \widehat {IBC}} \right) \hfill \\ \Rightarrow \widehat {BIC} = {180^0} - \left( {\dfrac{{\widehat B}}{2} + \dfrac{{\widehat C}}{2}} \right) \hfill \\ \Rightarrow \widehat {BIC} = {180^0} - \dfrac{{{{90}^0}}}{2} = {135^0} \hfill \\ \end{matrix}

Ta thấy rằng B, C cố định, A thay đổi, I luôn nhìn cạnh BC dưới một góc 135^0

Vậy quỹ tích điểm I là cung chứa góc 135^0 dựng trên cạnh BC đối xứng nhau qua BC.

  • 408 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 9