Cho mặt cầu 
và một điểm A, biết . Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B. Khi đó độ dài đoạn AB bằng:
Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên .
Suy ra
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a. Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính bằng:
Gọi H là tâm của hình vuông ABCD.
Ta có SH là trục đường tròn ngoại tiếp đáy.
Gọi M là trung điểm của CD và I là chân đường phân giác trong của góc .
Suy ra I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính .
Ta có:
Dựa vào tính chất của đường phân giác ta có:
Cho mặt cầu (S): và điểm . Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động qua (d). Tìm tập hợp các điểm M.
(Có thể chọn nhiều đáp án)
Theo đề bài, (S) có tâm
Ta có:
đường tròn
Hay
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết tam giác SAB vuông và có diện tích bằng . Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng . Đường cao h của hình nón bằng:
Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S.
Gọi E là trung điểm AB, suy ra và
.
Ta có
.
Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .
Ta có
Từ đó suy ra nên
Trong tam giác vuông SOE, ta có
Giá trị t phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong (S) sau là mặt cầu:
.
Theo đề bài, ta có:
là mặt cầu
Với giá trị nào của m thì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I của cầu có tọa độ là .
tiếp xúc (S) khi:
(loại)
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và(O’), thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. Gọi A, B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn (O) và(O’). Biết AB = 2a và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ bằng . Bán kính đáy bằng:
Dựng đường sinh BB', gọi I là trung điểm của AB’, ta có
Suy ra
Gọi bán kính đáy của hình trụ là R.
Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên
Trong tam giác vuông A B’B, ta có .
Trong tam giác vuông OIB’, ta có N .
Suy ra .
Từ đó ta có .
Với giá trị nào của m thì mặt phẳng cắt mặt cầu
?
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I có tọa độ là
(P) cắt (S) khi:
Cho hình chóp có đáy ABC là tam giác vuông tại B và . Cạnh bên và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi I là trung điểm SC, suy ra nên
.
Do đó IM là trục của , suy ra
(1)
Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên . (2)
Từ (1) và (2) , ta có
hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
Vậy bán kính .
Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Thể tích của khối tứ diện OO’AB bằng:
Kẻ đường sinh AA’, gọi D là điểm đối xứng với A’ qua tâm O’ và H là hình chiếu của B trên A’D.
Ta có nên
.
Trong tam giác vuông A'AB có .
Trong tam giác vuông A'BD có .
Do đó suy ra tam giác BO'D nên .
Vậy (đvtt).
Cho đường tròn (C) đường kính AB và đường thẳng . Để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây:
Điều kiện để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh là một mặt cầu là trục quay
phải cố định và hai điểm A, B cũng cố định trên
.
Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:
Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.
Do đó độ đài đường chéo:
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng . Gọi h là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số bằng:
Gọi O là tâm , suy ra
và
Trong SOA, ta có
Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I, suy ra:
Do đó nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .
Gọi M là tung điểm SA, ta có nên
Vậy
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên và vuông góc với đáy (). Tính theo diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta được:
Gọi , suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông
.
Gọi I là trung điểm SC, suy ra
Do đó IO là trục của hình vuông , suy ra
(1)
Xét tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm cạnh huyền SC nên . (2)
Từ (1) và (2), ta có:
Vậy diện tích mặt cầu (đvdt).
Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy , góc ở đỉnh bằng . Diện tích xung quanh của hình nón bằng:
Theo giả thiết, ta có và
.
Suy ra độ dài đường sinh:
Vậy diện tích xung quanh bằng: (đvdt).
Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu sau nằm trên?
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của :
Suy ra ta gọi được tâm I của mặt cầu có tọa độ là
Xét là mặt cầu
Vậy tập hợp các điểm I là phân đường thẳng
tương ứng với .
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng . Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng . Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:
Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có .
Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì và
.
Vì nên
Gọi H là trung điểm A’B, suy ra
nên .
Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên
Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên
Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:
Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc .
Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra:
Trong tam giác vuông SOA, ta có .
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:
Diện tích xung quanh của hình trụ:
(đvdt).
Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra
.
Diện tích xung quanh của hình nón: (đvdt).
Vậy .
Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:
Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,
Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.
Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên ,
Suy ra ,
và
Diện tích toàn phần của hình nón: (đvdt).
Thể tích khối nón là: (đvtt).
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và . Độ dài đường sinh của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:
Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là và chiều cao hình nón là
.
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), bán kính bằng a. Một hình nón có đỉnh là O' và có đáy là hình tròn (O). Biết góc giữa đường sinh của hình nón với mặt đáy bằng , tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng
Gọi A là điểm thuộc đường tròn (O).
Góc giữa O'A và mặt phẳng đáy là góc . Theo giả thiết ta có
.
Xét tam giác vuông tại , ta có:
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
Diện tích xung quanh của hình nón là:
.
Điều kiện để là một mặt cầu là:
Theo đề bài, ta có:
có dạng:
Như vậy, (S) là mặt cầu
Xét các mệnh đề:
(I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ.
(II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ.
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?
Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra (I) đúng.
Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).
Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.
Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD=2a, . Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Tỉ số nhận giá trị nào sau đây?
Ta có hay
Gọi E là trung điểm AD.
Ta có nên ABCE là hình thoi.
Suy ra .
Do đó tam giác ACD vuông tại C. Ta có:
hay
Tương tự, ta cũng có hay
Ta có nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I của SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính
.
Suy ra .
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng . Mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng . Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng là:
Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.
Gọi H là trung điểm BC suy ra suy ra
Khi đó
Suy ra .
Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 2a, bán kính đáy bằng 3a. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng . Diện tích của thiết diện đó bằng?
Xét hình nón đỉnh S có chiều cao , bán kính đáy
.
Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác SAB cân tại S.
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trong tam giác SOI, kẻ
Ta có:
Xét tam giác SOI vuông tại O, ta có
.
Xét tam giác AOI vuông tại I, có:
Vậy diện tích của thiết diện là:
.
Hình nón có đường sinh và hợp với đáy góc . Diện tích toàn phần của hình nón bằng:
Theo giả thiết, ta có
và
.
Suy ra:
.
Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: (đvdt).
Một hình trụ có bán kính đáy , chiều cao hình trụ . Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?
Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.
Dựng đường sinh AA', ta có .
Suy ra A’C là đường kính đáy nên
Xét tam giác vuông AA’C, ta có
Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.
Cho mặt cầu tâm O, bán kính R và mặt phẳng có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc . Đường thẳng OM cắt tại N. Hình chiếu của O trên là I. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Vì I là hình chiếu của O trên nên
mà
nên I là tiếp điểm của
và
.
Đường thẳng OM cắt tại N nên IN vuông góc với OI tại I.
Suy ra IN tiếp xúc với .
Tam giác OIN vuông tại I nên .
