Đề Ôn tập chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu (Dễ)

 Theo giả thiết, ta có và .

Suy ra độ dài đường sinh: 

Vậy diện tích xung quanh bằng: (đvdt). 

Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.

Dựng đường sinh AA', ta có .

Suy ra A’C là đường kính đáy nên

Xét tam giác vuông AA’C, ta có

Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.

Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):

Suy ra tâm I của cầu có tọa độ là .

tiếp xúc (S) khi: 

   (loại)

Điều kiện để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh là một mặt cầu là trục quay phải cố định và hai điểm A, B cũng cố định trên .

Theo đề bài, ta có:

là mặt cầu

Gọi H là tâm của hình vuông ABCD.

Ta có SH là trục đường tròn ngoại tiếp đáy.

Gọi M là trung điểm của CD và I là chân đường phân giác trong của góc .

Suy ra I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính .

Ta có:

Dựa vào tính chất của đường phân giác ta có:

Gọi O là tâm , suy ra và

Trong SOA, ta có

Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I, suy ra:

• nên .
• nên

Do đó nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

Gọi M là tung điểm SA, ta có nên

Vậy

Dựng đường sinh BB', gọi I là trung điểm của AB’, ta có

Suy ra

Gọi bán kính đáy của hình trụ là R.

Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên

Trong tam giác vuông A B’B, ta có .

Trong tam giác vuông OIB’, ta có N .

Suy ra .

Từ đó ta có .

Gọi A là điểm thuộc đường tròn (O).

Góc giữa O'A và mặt phẳng đáy là góc . Theo giả thiết ta có .

Xét tam giác vuông tại , ta có:

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

Diện tích xung quanh của hình nón là:

.

Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên .

Suy ra

Gọi , suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông .

Gọi I là trung điểm SC, suy ra

Do đó IO là trục của hình vuông , suy ra   (1)

Xét tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm cạnh huyền SC nên .   (2)

Từ (1) và (2), ta có:

Vậy diện tích mặt cầu (đvdt).

Theo giả thiết, ta có

và .

Suy ra:

.

Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: (đvdt). 

 Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.

Do đó độ đài đường chéo:

Kẻ đường sinh AA’, gọi D là điểm đối xứng với A’ qua tâm O’ và H là hình chiếu của B trên A’D.

Ta có nên .

Trong tam giác vuông A'AB có .

Trong tam giác vuông A'BD có .

Do đó suy ra tam giác BO'D nên .

Vậy  (đvtt).

Theo đề bài, ta có:

có dạng:

Như vậy, (S) là mặt cầu

Vì I là hình chiếu của O trên nên  mà  nên I là tiếp điểm của và .

Đường thẳng OM cắt tại N nên IN vuông góc với OI tại I.

Suy ra IN tiếp xúc với .

Tam giác OIN vuông tại I nên .

Xét hình nón đỉnh S có chiều cao , bán kính đáy .

Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác SAB cân tại S.

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trong tam giác SOI, kẻ

Ta có: 

Xét tam giác SOI vuông tại O, ta có

.

Xét tam giác AOI vuông tại I, có: 

Vậy diện tích của thiết diện là:

.

Theo đề bài, ta xác định các hệ số của : 

Suy ra ta gọi được tâm I của mặt cầu có tọa độ là

Xét là mặt cầu

Vậy tập hợp các điểm I là phân đường thẳng 

tương ứng với .

Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,

Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.

Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên ,

Suy ra ,    và

Diện tích toàn phần của hình nón: (đvdt).

Thể tích khối nón là: (đvtt). 

Ta có hay

Gọi E là trung điểm AD.

Ta có nên ABCE là hình thoi.

Suy ra .

Do đó tam giác ACD vuông tại C. Ta có:

   hay    

Tương tự, ta cũng có hay

Ta có nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I của SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính .

Suy ra .

Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S.

Gọi E là trung điểm AB, suy ra  và .

Ta có

.

Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .

Ta có

Từ đó suy ra nên

Trong tam giác vuông SOE, ta có

Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):

Suy ra tâm I có tọa độ là

(P) cắt (S) khi:

Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi I là trung điểm SC, suy ra nên .

Do đó IM là trục của , suy ra     (1)

Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên .  (2)

Từ (1) và (2) , ta có

hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .

Vậy bán kính .

Diện tích xung quanh của hình trụ:

(đvdt).

Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra

.

Diện tích xung quanh của hình nón: (đvdt).

Vậy .

Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có .

Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì và .

Vì nên

Gọi H là trung điểm A’B, suy ra

nên .

Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên

Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên

Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.

Gọi H là trung điểm BC suy ra suy ra

Khi đó

Suy ra .

Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là và chiều cao hình nón là .

Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:

Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc .

Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra:

Trong tam giác vuông SOA, ta có .