Lớp 12 Toán 12

Sự tương giao giữa các đồ thị và các phương pháp giải

Bài học Lí thuyết toán 12: Sự tương giao giữa các đồ thị và các phương pháp giải sẽ giới thiệu cho các em những kiến thức về sự tương giao giữa các đồ thị hàm số và đưa ra các bước giải cụ thể cho từng dạng toán. Bên cạnh đó là một số ví dụ bài tập có lời giải chi tiết, xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia.

1. Sự tương giao giữa các đồ thị

1.1. Định nghĩa phương trình hoành độ giao điểm

Cho hai đồ thị (C_1):y= f(x) và (C_2): y = g(x) .

Để tìm hoành độ giao điểm của (C_1) và (C_2) ta giải phương trình:

f(x)= g(x)   (*)

Khi đó, (*) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm.

1.2. Mối quan hệ giữa giao điểm đồ thị và nghiệm của phương trình hoành độ

  • Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị.
  • Nghiệm x_0 của phương trình (*) chính là hoành độ giao điểm. Thay giá trị này vào một trong hai hàm số ban đầu ta được tung độ giao điểm.
  • Điểm M(x_0; y_0) là giao điểm của (C_1) và (C_2).

Nhận xét: Cho 2 hàm số  y = f\left( x \right),y = g\left( x \right) có đồ thị lần lượt là (C_1) và (C_2).

+) Phương trình hoành độ giao điểm của (C_1) và (C_2) là: f(x)=g(x).

+) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm.

+) Khi đó, số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C_1) và (C_2).

2. Các dạng bài toán thường gặp và phương pháp giải

Dạng toán 1. Tương giao của đồ thị hàm bậc ba y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d{\text{ }}(a \ne 0)

Phương pháp 1: Bảng biến thiên (phương pháp đồ thị)

  • Bước 1:  Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F(x,m)=0 (phương trình ẩn x tham số m)
  • Bước 2: Cô lập m đưa phương trình về dạng m = f(x).
  • Bước 3: Lập BBT cho hàm số y =f(x).
  • Bước 4: Dựa vào giả thiết và BBT từ đó suy ra m.

Chú ý: Dấu hiệu để biết sử dụng phương pháp này là khi m độc lập với x.

Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2

  • Bước 1:Lập phương trình hoành độ giao điểm F(x,m)=0
  • Bước 2: Nhẩm nghiệm (Khử tham số): Giả sử x= x_0 là 1 nghiệm của phương trình.
  • Bước 3: Phân tích F(x,m)=0 \Leftrightarrow (x-x_0).g(x)=0 \Leftrightarrow x=x_0; g(x)=0 ( g(x) =0 là phương trình bậc 2 ẩn x tham số m ).
  • Bước 4: Dựa vào yêu cầu bài toán để xử lý phương trình bậc hai g(x) =0.

Ví dụ: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số (C): y = {x^3} + mx + 5 cắt đường thẳng d: y = 6x + m tại ba điểm phân biệt.

Giải:

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:

{x^3} + mx + 5 = 6x + m  (*)

\Leftrightarrow {x^3} + (m - 6)x + 5 - m = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + m - 5} \right) = 0

\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1\,\,\,(1) \hfill \\ {x^2} + x + m - 5 = 0\,\,\,(2) \hfill \\ \end{gathered} \right..

+) Đồ thị (C) cắt đường thẳng (d) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt hay phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta = 21 - 4m > 0 \hfill \\ {1^2} + 1 + m - 5 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < \frac{{21}}{4} \hfill \\ m \ne 3 \hfill \\ \end{gathered} \right..

Dạng toán 2. Tương giao của hàm phân thức

Phương pháp chung:

Cho hàm số y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}{\text{ }}\left( C \right) và đường thẳng d:y = px + q.

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

\frac{{ax + b}}{{cx + d}} = px + q \Leftrightarrow F\left( {x,m} \right) = 0 

(phương trình bậc 2 ẩn x tham số m)

Ví dụ: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số sau: y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} (C) và y = m – x (d).

Giải:

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:

\frac{{x + 1}}{{x - 1}} = m - x  \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 1 \hfill \\ x + 1 = (m - x)(x - 1) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x + 1 = mx - m - {x^2} + x

\Leftrightarrow {x^2} - mx + m + 1 = 0.

+) Ta biện luận từng trường hợp như sau:

Nếu \Delta > 0 \Leftrightarrow m < 2 - \sqrt 2 \,\, hoặc m > 2 + \sqrt 2 thì (C) và (d) có hai điểm chung.

Nếu \Delta = 0 \Leftrightarrow m = 2 - \sqrt 2 \,\, hoặc m = 2 + \sqrt 2 thì (C) và (d) có một điểm chung.

Nếu \Delta < 0 \Leftrightarrow 2 - \sqrt 2 < m < 2 + \sqrt 2 thì (C) và (d) không có điểm chung.

Dạng toán 3. Tương giao của hàm bậc 4 trùng phương

Cho hàm số bậc 4 trùng phương sau: y = a{x^4} + b{x^2} + c{\text{ }}(a \ne 0) (1)

Phương pháp 1: Nhẩm nghiệm

  • Bước 1: Nhẩm nghiệm: Giả sử x=x_0 là một nghiệm của phương trình.
  • Bước 2: Khi đó ta phân tích:

f(x,m)=0 \Leftrightarrow (x^2-x_0^2).g(x)=0 \Leftrightarrow x= \pm x_0; g(x)=0

Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc hai g(x)=0.

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ - tam thức bậc 2

- Bước 1: Đặt t=x^2 (t \geq0). Khi đó, phương trình trở thành: at^2+bt+c=0 (2).

- Bước 2: Ta xét từng trường hợp như sau:

  • Để (1) có đúng 1 nghiệm thì (2) có nghiệm t_1, t_2 thỏa mãn: t_1 < 0 =t_2 hoặc t_1 = t_2 =0
  • Để (1) có đúng 2 nghiệm thì (2) có nghiệm t_1, t_2  thỏa mãn: t_1 < 0 < t_2 hoặc 0 < t_1 = t_2
  • Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm t_1, t_2  thỏa mãn: 0 = t_1 < t_2
  • Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm t_1, t_2  thỏa mãn: 0 < t_1 < t_2

Ví dụ: Cho hàm số y = {x^4} - (3m + 2){x^2} + 3m có đồ thị (C_m). Xác định tất cả các giá trị thực của tham số m để (C_m) cắt đường thẳng y = - 1 tại bốn điểm phân biệt.

Giải:

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

{x^4} - (3m + 2){x^2} + 3m = - 1 \Leftrightarrow {x^4} - (3m + 2){x^2} + 3m + 1 = 0 (1) 

+) Đặt t = {x^2},\,\,\,t \geqslant 0, phương trình (1) trở thành: {t^2} - (3m + 2)t + 3m + 1 = 0(2).

+) Đồ thị (C_m)cắt đường thẳng y = - 1 tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt 

\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ S > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 9{m^2} > 0 \hfill \\ 3m + 1 > 0 \hfill \\ 3m + 2 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne 0 \hfill \\ m > - \frac{1}{3} \hfill \\ m > - \frac{2}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne 0 \hfill \\ m > - \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right..

Câu trắc nghiệm mã số: 1550,1549
  • 38 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 12