Lớp 12 Toán 12

Lũy thừa

Bài học Lí thuyết toán 12: Lũy thừa giới thiệu cho các em khái niệm về lũy thừa với các dạng số mũ nguyên, hữu tỉ, vô tỉ và số mũ thực; phương trình x^n =b; căn bậc n và một số tính chất của lũy thừa với số mũ thực. Bên cạnh đó là các ví dụ bài tập có lời giải chi tiết, xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng các em sẽ ôn tập hiệu quả, hướng đến đạt mục tiêu trong các kì thi lớn sắp tới.

1.Khái niệm lũy thừa

1.1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

{a^n} = \underbrace {a.a......a}_n ( n thừa số)

Quy ước:  a^1=a

Lũy thừa với số mũ 0

Với a \ne 0 thì a^0=1

Lũy thừa với số mũ nguyên âm

{a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}

Chú ý:

  • Ta gọi a là cơ số, n là mũ số.
  •  0^0 và 0^{-n} không có nghĩa.

1.2. Lũy thừa số mũ hữu tỉ

Cho số thực a dương và số hữu tỉ r = \frac m n, trong đó m \in \mathbb{Z}, \, n \in \mathbb{N}, n \geq 2.

Lũy thừa của a với số mũ hữu tỉ r là số a^r xác định bởi:

\boxed{{a^r = a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}},\left( {a > 0} \right)}

Chú ý: Lũy thừa số mũ hữu tỷ có tính chất như lũy thừa số mũ nguyên.

Ví dụ: Tìm để biểu thức {\left( {{x^2} - 1} \right)^{\frac{1}{3}}} có nghĩa?

Giải: 

Biểu thức {\left( {{x^2} - 1} \right)^{\frac{1}{3}}} có nghĩa \Leftrightarrow {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ x < - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.

1.3. Lũy thừa số thực

Số thực bao gồm số hữu tỉ bao gồm số nguyên. Để xét lũy thừa với số thực, ta xét thêm trường hợp Lũy thừa với số mũ vô tỉ.

Định nghĩa:

Cho  a là một số dương, \alpha là một số vô tỉ. Khi đó, luôn có một dãy số hữu tỉ (r_n) có giới hạn là \alpha và dãy số tương ứng (a^{r_n}) có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số (r_n). 

Ta gọi giới hạn của dãy số (a^{r_n}) là lũy thừa của a với số mũ  , kí hiệu là a^{\alpha}

{a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a^{{r_n}}} ( \alpha là số vô tỉ, r_n là số hữu tỉ và \lim {r_n} = \alpha).

Chú ý:

  • Ta có 1^{\alpha} = 1 \,\,(\alpha \in \mathbb R)
  • Lũy thừa số mũ thực có tính chất như lũy thừa số mũ nguyên

2. Một số tính chất của lũy thừa

Giả sử rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa. Khi đó, ta có các tính chất sau:

  • {a^\alpha } \cdot {a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }};
  • \frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha - \beta }};
  • {({a^\alpha })^\beta } = {a^{\alpha .\beta }}\;;
  • {(ab)^\alpha } = {a^\alpha } \cdot {b^\alpha };
  • {\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}.

Nếu a > 1 thì {a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta.

Nếu 0 < a < 1 thì {a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha < \beta.

Với mọi 0 < a < b, ta có:

  • {a^m} < {b^m} \Leftrightarrow m > 0
  • {a^m} > {b^m} \Leftrightarrow m < 0

Chú ý:

  • Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
  • Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
  • Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

Ví dụ: Tính giá trị {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {\frac{1}{8}} \right)^{ - \frac{4}{3}}}

Giải: 

{\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {\frac{1}{8}} \right)^{ - \frac{4}{3}}} = {({2^{ - 4}})^{\frac{{ - 3}}{4}}} + {\left( {{2^{ - 3}}} \right)^{\frac{{ - 4}}{3}}} = {2^3} + {2^4} = 24

3. Phương trình x^n =b 

Xét phương trình x^n =b, để biện luận số nghiệm của phương trình, ta có 2 trường hợp như sau:

TH1: Trường hợp n lẻ

Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.

TH2: Trường hợp n chẵn

  • Với b < 0, phương trình vô nghiệm.
  • Với b = 0, phương trình có một nghiệm x=0
  • Với b > 0, phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là \sqrt[n]{b}, còn giá trị âm là - \sqrt[n]{b}.

4. Căn bậc n

4.1. Khái niệm

Cho số thực b và số nguyên dương n (n \geq 2). Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu a^n = b.

Ví dụ: 1 và -1 là các căn bậc 2022 của 1

4.2. Một số tính chất của căn bậc

+) Với a,b \in \mathbb{R};n \in {\mathbb{N}^*}, ta có:

  • \sqrt[{2n}]{{{a^{2n}}}} = \,|a|,\forall a
  • \sqrt[{2n + 1}]{{{a^{2n + 1}}}} \,\,\, = a,\forall a
  • \sqrt[{2n}]{{ab}} = \sqrt[{2n}]{{|a|}} \cdot \sqrt[{2n}]{{|b|}},\forall ab \ge 0
  • \sqrt[{2n + 1}]{{ab}} \,\,\, = \, \sqrt[{2n + 1}]{a} \cdot \sqrt[{2n + 1}]{b}\, \,\,\,\,\,\,\,\, \forall a,b
  • \sqrt[{2n}]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[{2n}]{{|a|}}}}{{\sqrt[{2n}]{{|b|}}}},\forall ab \geqslant 0,b \ne 0
  • \sqrt[{2n + 1}]{{\frac{a}{b}}} \,\, = \,\, \frac{{\sqrt[{2n + 1}]{a}}}{{\sqrt[{2n + 1}]{b}}},\,\,\,\,\forall a,\forall b \ne 0
  • \sqrt[n]{{{a^m}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m},\forall a > 0, n nguyên dương, m nguyên
  • \sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}} = \sqrt[{nm}]{a} \,\,,\forall a \geqslant 0, n, m nguyên dương

+) Nếu \frac{p}{n} = \frac{q}{m} thì \sqrt[n]{{{a^p}}} = \sqrt[m]{{{a^q}}}\,,\forall a > 0,m,n nguyên dương p, q nguyên

+) Đặc biệt: \sqrt[n]{a} = \sqrt[{m \cdot n}]{{{a^m}}}

Ví dụ: Viết biểu thức \frac{{\sqrt {2\sqrt[3]{4}} }}{{{{16}^{0,75}}}} về dạng lũy thừa 2^m ta được m=?.

Giải: 

\frac{{\sqrt {2\sqrt[3]{4}} }}{{{{16}^{0,75}}}} = \frac{{\sqrt 2 .\sqrt[6]{{{2^2}}}}}{{{{\left( {{2^4}} \right)}^{\frac{3}{4}}}}} = \frac{{{2^{\frac{5}{6}}}}}{{{2^3}}} = {2^{\frac{{ - 13}}{6}}}

Vậy m=\frac{-13}{6}.

Câu trắc nghiệm mã số: 1631,1632,1633,1634,1635,1636,1638,1650
  • 17 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 12