Cho hàm số f(x) liên tục trên
và có bảng biến thiên của đạo hàm như sau:

Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Hướng dẫn:
Xét hàm số
, ta có bảng giá trị |t(x)|

Ta có: %20%3D%20f%5Cleft(%20%7B%5Cleft%7C%20%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cln%20%5Cleft(%20%7B%7Bx%5E2%7D%20%2B%201%7D%20%5Cright)%20-%202%7D%7D%7B2%7D%7D%20%5Cright%7C%7D%20%5Cright)%20%3D%20f%5Cleft(%20%7B%5Cleft%7C%20%7Bt%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D%20%5Cright%7C%7D%20%5Cright))
Hàm số không có đạo hàm tại điểm 
Tại mọi điểm
ta có:
%20%3D%20f'%5Cleft(%20%7B%5Cleft%7C%20%7Bt%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D%20%5Cright%7C%7D%20%5Cright).%5Cleft(%20%7B%5Cleft%7C%20%7Bt%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D%20%5Cright%7C%7D%20%5Cright)')
%7D%20%5Cright%7C%7D%20%5Cright).x%7D%7D%7B%7B%7Bx%5E2%7D%20%2B%201%7D%7D%7B%5Ctext%7B%20%20%20%20khi%20x%7D%7D%20%5Cin%20%5Cleft(%20%7B%20-%20%5Cinfty%20%3B%20-%20%5Csqrt%20%7B%7Be%5E2%7D%20-%201%7D%20%7D%20%5Cright)%20%5Ccup%20%5Cleft(%20%7B%5Csqrt%20%7B%7Be%5E2%7D%20-%201%7D%20%3B%20%2B%20%5Cinfty%20%7D%20%5Cright)%7D%20%5C%5C%20%20%20%7B%20-%20%5Cdfrac%7B%7Bf'%5Cleft(%20%7B%5Cleft%7C%20%7Bt%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D%20%5Cright%7C%7D%20%5Cright).x%7D%7D%7B%7B%7Bx%5E2%7D%20%2B%201%7D%7D%7B%5Ctext%7B%20%20%20%20khi%20x%7D%7D%20%5Cin%20%5Cleft(%20%7B%20-%20%5Csqrt%20%7B%7Be%5E2%7D%20-%201%7D%20%3B%5Csqrt%20%7B%7Be%5E2%7D%20-%201%7D%20%7D%20%5Cright)%7D%20%5Cend%7Barray%7D%7D%20%5Cright.%5Cleft(%20*%20%5Cright))
=> %20%3D%200%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5B%20%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7B*%7B20%7D%7Bc%7D%7D%0A%20%20%7Bx%20%3D%200%7D%20%5C%5C%20%0A%20%20%7B%5Cleft%7C%20%7Bt%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D%20%5Cright%7C%20%3D%20%7Bt_1%7D%3B%5Cleft(%20%7B%7Bt_1%7D%20%3C%201%7D%20%5Cright)%7B%5Ctext%7B%20%20%20%7D%7D%5Cleft(%201%20%5Cright)%7D%20%5C%5C%20%0A%20%20%7B%5Cleft%7C%20%7Bt%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D%20%5Cright%7C%20%3D%20%7Bt_2%7D%3B%5Cleft(%20%7B%20-%201%20%3C%20%7Bt_2%7D%20%3C%200%7D%20%5Cright)%7B%5Ctext%7B%20%20%20%7D%7D%5Cleft(%202%20%5Cright)%7D%20%5C%5C%20%0A%20%20%7B%5Cleft%7C%20%7Bt%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D%20%5Cright%7C%20%3D%20%7Bt_3%7D%3B%5Cleft(%20%7B0%20%3C%20%7Bt_3%7D%20%3C%201%7D%20%5Cright)%7B%5Ctext%7B%20%20%20%7D%7D%5Cleft(%203%20%5Cright)%7D%20%5C%5C%20%0A%20%20%7B%5Cleft%7C%20%7Bt%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D%20%5Cright%7C%20%3D%20%7Bt_4%7D%3B%5Cleft(%20%7B%7Bt_4%7D%20%3E%201%7D%20%5Cright)%7B%5Ctext%7B%20%20%20%7D%7D%5Cleft(%204%20%5Cright)%7D%20%0A%5Cend%7Barray%7D%7D%20%5Cright.)
Dựa vào bảng giá trị hàm |t| suy ra:
+ Phương trình (1), (2) vô nghiệm
+ Phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt khác 0
+ Phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình (3)
=> g’(x) = 0 có 7 nghiệm và qua các nghiệm này g’(x) đều đổi dấu
Từ (*) ta thấy g’(x) cũng đổi dấu khi x đi qua 2 điểm 
Vậy hàm số g(x) có 9 điểm cực trị.