Lớp 12 Toán 12

Các phương pháp tính tích phân

Bộ tài liệu Lí thuyết toán 12: Tích phân (tiếp theo) bao gồm các phương pháp tính tích phân sử dụng định nghĩa hoặc tính chất hay cả các phương pháp cần đổi biến số, tích phân từng phần và nhiều bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. 

1. Phương pháp sử dụng công thức

Để tính các tích phân đơn giản, ta có thể sử dụng trực tiếp luôn các công thức nguyên hàm (đã học trong - link), các tính chất tích phân,... để biến đổi.

Sau khi biến đổi xong, áp dụng định nghĩa tích phân để thay các cận tương ứng.

Ví dụ: Tính các tính phân sau:

a)  I=\int_0^1\frac{dx}{(1+x)^3}

Giải:

I=\int_0^1\frac{dx}{(1+x)^3}=\int_0^1\frac{d(1+x)}{(1+x)^3}=-\left.\frac{1}{2(1+x)^2}\right|_0^1=\frac{3}{8}

b) I=\int_0^1\frac{2x+9}{x+3}dx

Giải:

I=\int_0^1\frac{2x+9}{x+3}dx=\int_0^1\left(2+\frac{3}{x+3}\right)dx

=\left.(2x+3\ln(x+3))\right|_0^1=3+6\ln2-3\ln3

c) I=\int_0^1\frac{x}{4-x^2}dx

Giải:

I=\int_0^1\frac{x}{4-x^2}dx=-\frac{1}{2}\int_0^1\frac{d\left(4-x^2\right)}{4-x^2}=\ln\left|4-x^2\right|_0^1=\ln\frac{3}{4}

Câu trắc nghiệm mã số: 45,43,41,38,37,55

2. Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

(Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân)

Đối với những bài toán tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta cần sử dụng phương pháp áp dụng tính chất

  \int_a^b[f(x)+g(x)]dx=∫ab f(x)dx+∫ab g(x)dx

để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ: Tính tích phân I=\int_{-2}^2|x+1|dx.

Giải:

Nhận xét: |x+1|=\left\{\begin{matrix}x+1,&-1\le x\le2\\-x-1,&-2\le x<-1\\\end{matrix}\right..

Do đó I=\int_{-2}^2|x+1|dx=\int_{-2}^{-1}|x+1|dx+\int_{-1}^2|x+1|dx

              =-\int_{-2}^{-1}x+1)dx+\int_{-1}^2(x+1)dx

              =-\left.\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\right|_{-2}^{-1}+\left.\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\right|_{-1}^2=5.

3. Phương pháp đổi biến số

3.1. Đổi biến số loại 1

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và \alpha \le u(x) \le \beta. Giả sử có thể viết f(x) = g(u(x))u'(x),x \in {\rm{[}}a{\rm{;}}b{\rm{]}}, với g(u) liên tục trên đoạn {\rm{[}}\alpha ;\beta {\rm{]}}. Khi đó, ta có

I = \int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {g(u)du}

Ví dụ: Tính tích phân I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 x \cos x dx.

Giải:

Đặt u=\sin x

Ta có du=\cos xdx

Đổi cận: x=0\Rightarrow u(0)=0;x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow u\left(\frac{\pi}{2}\right)=1

Khi đó I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 x\cos xdx=\int_0^1 u^2du=\left.\frac{1}{3}u^3\right|_0^1=\frac{1}{3}

3.2. Đổi biến số loại 2

Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = \varphi (t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [\alpha;\beta] sao cho \varphi (\alpha ) = a,\varphi (\beta ) = b và a \le \varphi (t) \le b với mọi  t\in[\alpha;\beta]. Khi đó:

\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t))\varphi^\prime(t)dt

Nhận xét: Để giải bài toán nhanh hơn, chính xác hơn khi đổi biến số, ta cần ghi nhớ một số dạng tích phân cụ thể và cách đổi biến như sau:

Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

  1. \sqrt{a^2-x^2}: đặt =|a|\sin t ;t\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]
  2. \sqrt{x^2-a^2}: đặt x=\frac{|a|}{\sin t};t\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\setminus{0}
  3. \sqrt{x^2+a^2}: đặt   x=|a|\tan t;t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)
  4. \sqrt{\frac{a+x}{a-x}} hoặc \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} : đặt x=a\cdot\cos2t

Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn.

Ví dụ, để tính tích phân I=\int_0^{\sqrt3}\frac{x^2dx}{\sqrt{x^2+1}} thì phải đổi biến loại 2 còn với tích phân I=\int_0^{\sqrt3}\frac{x^3dx}{\sqrt{x^2+1}} thì nên đổi biến loại 1.

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

a) I=\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx

Giải:

Đặt x=\sin t ta có dx=\cos tdt

Đổi cận: x=0\Rightarrow t=0;x=1\Rightarrow t=\frac{\pi}{2}..

Vậy I=\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\cos t|dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos tdt=\left.\sin t\right|_0^{\frac{\pi}{2}}=1

b) I=\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}

Giải:

Đặt x=\tan t ta có dx=\left(1+\tan^2 t\right)dt.

Đổi cận: \left\{\begin{matrix}x=0\rightarrow t=0\\x=1\rightarrow t=\frac{\pi}{4}\\\end{matrix}\right.

Vậy I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {dt} = t|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4}

 

4. Phương pháp tích phân từng phần

Nếu u=u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì \int\limits_a^b {u(x)v'(x)dx} = \left. {\left( {u(x)v(x)} \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {u'(x)v(x)dx}

hay viết gọn là

\int\limits_a^b {udv = uv|_a^b - } \int\limits_a^b {vdu}.

Chú ý: Cách xác định u và v: Để xác định chính xác hơn, ta cần ghi nhớ các trường hợp sau:

Giả sử cần tính: I = \int\limits_a^b {P(x).Q(x)dx}

Dạng hàm

P(x): Đa thức

Q(x): \sin(kx) hay \cos kx

P(x): Đa thức

Q(x): e^{kx}

P(x): Đa thức

Q(x): ln (ax+b)

P(x): Đa thức

Q(x): \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}hay \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}

Cách đặt

* u=P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

* u=P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

* u = \ln \left( {ax + b} \right)

* dv = {\rm{ }}P\left( x \right)dx

* u=P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

Cách ghi nhớ nhanh: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.

Ví dụ: Tính các tích phân sau :

a) I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\sin xdx

Giải:

Đặt: \left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \sin xdx \end{array} \right.  ta có \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = - \cos x \end{array} \right.

Do đó I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\sin xdx} = \left( { - x\cos x} \right)|_0^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} = 0 + \sin x|_0^{\frac{\pi }{2}}{\rm{ }} = {\rm{1}}

b)I=\int_0^{e-1} x \ln x+1)dx.

Đặt: \left\{ \begin{array}{l} u = \ln (x + 1)\\ dv = xdx \end{array} \right. ta có \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{{x + 1}}dx\\v = \dfrac{{{x^2} - 1}}{2}\end{array} \right.

Suy ra I = \int\limits_0^{e - 1} {x\ln (x + 1)dx} = \left. {\left[ {\ln (x + 1)\frac{{{x^2} - 1}}{2}} \right]} \right|_0^{e - 1} - \frac{1}{2}\int\limits_0^{e - 1} {(x - 1)dx}

= \frac{{{e^2} - 2e + 2}}{2} - \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)\left| {_0^{e - 1}} \right.\\ = \frac{{{e^2} - 2e + 2}}{2} - \frac{1}{2}\frac{{{e^2} - 4e + 3}}{2} = \frac{{{e^2} + 1}}{4}.

Câu trắc nghiệm mã số: 103,106,108,109,110,111
  • 33 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 12