Luyện tập Mặt cầu (Khó)

Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là

Với điểm I bất kỳ, hạ lần lượt vuông góc với ba mặt phẳng thì ta luôn có: (1) .

Thật vậy , ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với , ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là ba giao tuyến của ba mặt phẳng .

Khi đó tọa độ I(a;b;c) thì:

hay .

Vậy (1) được chứng minh.

Áp dụng giải bài:

Mặt cầu (S) có tâm và có bán kính .

.

Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là  và cắt mặt cầu (S) theo ba đường tròn lần lượt là.

Gọi và   lần lượt là tâm và bán kính của .

Khi đó : .

Tương tự có:   và  .

Theo nhận xét ở trên ta có:

Ta có tổng diện tích các đường tròn là :

.

 Phương trình là:

Phương trình là:.

Phương trình là:

Phương trình là: .

Gọi là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện .

Do đó:

nằm cùng phía với A đối với suy ra: .

nằm cùng phía với B đối với suy ra: .

nằm cùng phía với C đối với suy ra: .

nằm cùng phía với O đối với suy ra: .

Suy ra:

Suy ra:  ,

cùng phương với .

Suy ra có một VTPT là .

Vậy: .

Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):

Suy ra tâm I của cầu có tọa độ là .

tiếp xúc (S) khi: 

   (loại)

Gọi M là trung điểm AB , suy ra và .

Do đó SM là trục của tam giác ABC.

Trong mặt phẳng , kẻ đường trung trực d của đoạn SB cắt SM tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp , bán kính

Ta có

Trong tam giác vuông SMB, ta có .

Ta có , suy ra

 Gọi H là hình chiếu của O lên BC.

Ta có , suy ra H là trung điểm của BC nên

Suy ra

Gọi O là tâm , suy ra và

Trong SOA, ta có

Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I, suy ra:

• nên .
• nên

Do đó nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

Gọi M là tung điểm SA, ta có nên

Vậy

Gọi H là hình chiếu của O xuống .

Ta có nên cắt theo đường tròn .

Bán kính đường tròn là

Suy ra đường kính bằng .

Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên .

Suy ra

Gọi , suy ra .

Ta có .

Trong , ta có .

Ta có SO là trục của hình vuông ABCD.

Trong mặt phẳng SOB, kẻ đường trung trực d của đoạn B.

Gọi

Xét có     đều.

Do đó d cũng là đường trung tuyến của . Suy ra I là trọng tâm .

Bán kính mặt cầu .

Suy ra

 Theo đề bài, mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn .

Vậy .

Gọi M là trung điểm B’C’, ta có

.

Trong , có ;

.

Gọi G’ là trọng tâm tam giác đều A’B’C’, suy ra G’ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Vì lặng trụ đứng nên .

Do đó là trục của tam giác .

Trong mặt phẳng , kẻ trung trực d của đoạn thẳng cắt tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp , bán kính

Ta có

.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của (O) trên (P) thì

● H là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S).

●

Bán kính của đường tròn giao tuyến: .

Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến: .

Theo đề bài, ta xác định các hệ số của : 

Suy ra ta gọi được tâm I của mặt cầu có tọa độ là

Xét là mặt cầu

Vậy tập hợp các điểm I là phân đường thẳng 

tương ứng với .

Mặt phẳng đi qua ba điểm nên có phương trình là:

Ta có nên .

Mặt cầu (S) có tâm và bán kính .

tiếp xúc với  (S)

Gọi , suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông .

Gọi I là trung điểm SC, suy ra

Do đó IO là trục của hình vuông , suy ra   (1)

Xét tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm cạnh huyền SC nên .   (2)

Từ (1) và (2), ta có:

Vậy diện tích mặt cầu (đvdt).

Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi I là trung điểm SC, suy ra nên .

Do đó IM là trục của , suy ra     (1)

Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên .  (2)

Từ (1) và (2) , ta có

hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .

Vậy bán kính .

Ta có .

Trong , ta có

Trong , ta có

Gọi N là trung điểm AC , suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Gọi  là trung điểm A'C, suy ra  .

Do đó IN là trục của , suy ra   (1)

Hơn nữa, tam giác vuông tại A có là trung điểm A'C nên . (2)

Từ (1) và (2), ta có hay là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp với bán kính .