Lớp 12 Toán 12

Phương trình Lôgarit

Bài học Lí thuyết toán 12: Phương trình Lôgarit giới thiệu cho các em khái niệm phương trình lôgarit cơ bản và cách giải phương trình lôgarit. Bên cạnh đó là các ví dụ bài tập có lời giải chi tiết giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.

1. Định nghĩa

  • Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.
  • Phương trình lôgarit cơ bản có dạng:

{\log _a}f(x) = b   (a > 0,\,\,a \ne 1 )

  • Để giải phương trình lôgarit cơ bản, ta có:

{\log _a}f(x) = b \Leftrightarrow x =a^b

Ví dụ: Điều kiện xác định của phương trình {\log _{2x - 3}}16 = 2 là:

Giải:

Biểu thức {\log _{2x - 3}}16 xác định \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x - 3 > 0 \hfill \\ 2x - 3 \ne 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{3}{2} \hfill \\ x \ne 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \frac{3}{2} < x \ne 2

2. Cách giải phương trình lôgarit đơn giản

2.1. Đưa về cùng cơ số

{\log _a}f(x) = {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} f(x) > 0 \hfill \\ f(x) = g(x) \hfill \\ \end{gathered} \right. , với mọi 0 < a \ne 1

Ví dụ: 

Phương trình {\log _2}(3x - 2) = 2 có nghiệm là?

Giải:

{\log _2}(3x - 2) = 2

\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x - 2 > 0 \hfill \\ 3x - 2 = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{3}{2} \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 2

Vậy phương trình có nghiệm là x=2

2.2. Đặt ẩn phụ

Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình sau: \frac{1}{{4 - \lg x}} + \frac{2}{{2 + \lg x}} = 1

Giải: 

Đặt t = \lg x

PT \Leftrightarrow \frac{1}{{4 - t}} + \frac{2}{{2 + t}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{2 + t + 2(4 - t)}}{{(4 - t)(2 + t)}} = 1

\Leftrightarrow 2 + t + 2(4 - t) = (4 - t)(2 + t)

\Leftrightarrow 10 - t = 8 + 2t - {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0

Nhẩm nghiệm có hệ số a+b+c=1-3+2=0 nên phương trình ẩn t có 2 nghiệm là 1 và 2.

Suy ra 1 = \lg x hoặc 2 = \lg x.

Do đó PT đã cho có nghiệm là x=e hoặc x = e^2.

Vậy PT có tập nghiệm là x = \{ e; e^2 \}.

2.3. Mũ hóa

Ví dụ: 

Phương trình {\log _2}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = 2x + 1 có bao nhiêu nghiệm?

Giải

Ta có: {\log _2}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = 2x + 1 \Leftrightarrow {3.2^x} - 1 = {2^{2x + 1}}

\Leftrightarrow {2.4^x} - {3.2^x} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {2^x} = 1 \hfill \\ {2^x} = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 2 nghiệm.

Câu trắc nghiệm mã số: 1929,1928,1924,1923,1917,1916
  • 5 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 12