Lớp 12 Toán 12

Luyện tập Phương trình mũ và phương trình lôgarit (Trung bình)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Nhận biết
    Đếm số nghiệm

    Số nghiệm của phương trình {\log _2}x.{\log _3}(2x - 1) = 2{\log _2}x là:

    2 || hai nghiệm || Hai nghiệm || 2 nghiệm

    Đáp án là:

    Số nghiệm của phương trình {\log _2}x.{\log _3}(2x - 1) = 2{\log _2}x là:

    2 || hai nghiệm || Hai nghiệm || 2 nghiệm

     PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ 2x - 1 > 0 \hfill \\ {\log _2}x.{\log _3}(2x - 1) = 2{\log _2}x \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{2} \hfill \\ {\log _2}x\left[ {{{\log }_3}(2x - 1) - 2} ight] = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. 

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{2} \hfill \\ \left[ \begin{gathered} {\log _2}x = 0 \hfill \\ {\log _3}(2x - 1) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{1}{2} \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 5 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 5 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy PT có hai nghiệm.

  • Câu 2: Thông hiểu
    Điều kiện xác định

    Điều kiện xác định của phương trình \log ({x^2} - 6x + 7) + x - 5 = \log (x - 3) là:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện phương trình xác định:  

    \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 6{\text{x + 7}} > 0 \hfill \\ x - 3 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x > 3 + \sqrt 2 \hfill \\ x < 3 - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ x > 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x > 3 + \sqrt 2

  • Câu 3: Nhận biết
    Giải PT Logarit

    Phương trình {\log _2}(x + 3) + {\log _2}(x - 1) = {\log _2}5 có nghiệm là:

    2 || hai || x=2 || Hai

    Đáp án là:

    Phương trình {\log _2}(x + 3) + {\log _2}(x - 1) = {\log _2}5 có nghiệm là:

    2 || hai || x=2 || Hai

     PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - 1 > 0 \hfill \\ (x + 3)(x - 1) = 5 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ {x^2} + 2x - 8 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = - 8 \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x = 2

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tìm tập nghiệm của PT

    Tập nghiệm của phương trình {\log _2}\frac{1}{x} = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - 1} ight) là:

    Hướng dẫn:

     Điều kiện: x > 0 và {x^2} - x - 1 > 0

    Với điều kiện đó thì {\log _2}\frac{1}{x} = {\log _{\frac{1}{2}}}x.

    Khi đó, phương trình đã cho tương đương phương trình:

    {\log _{\frac{1}{2}}}x = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - 1} ight) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x = {x^2} - x - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 1 + \sqrt 2 \hfill \\ x = 1 - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2

  • Câu 5: Nhận biết
    Tìm tập nghiệm PT Logarit

    Phương trình \log _2^{}x + {\log _2}(x - 1) = 1 có tập nghiệm là:

    {2} || T={2}

    Đáp án là:

    Phương trình \log _2^{}x + {\log _2}(x - 1) = 1 có tập nghiệm là:

    {2} || T={2}

     PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x - 1 > 0 \hfill \\ {\log _2}\left[ {x(x - 1)} ight] = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ {x^2} - x - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x = 2.

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của phương trình - {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 2} ight).{\log _5}x = 2{\log _3}\left( {x - 2} ight) là?

    3 || ba || Ba

    Đáp án là:

    Nghiệm nguyên nhỏ nhất của phương trình - {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 2} ight).{\log _5}x = 2{\log _3}\left( {x - 2} ight) là?

    3 || ba || Ba

    Điều kiện: x>2

    Ta có: - {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 2} ight).{\log _5}x = 2{\log _3}\left( {x - 2} ight)

    \Leftrightarrow - 2{\log _3}\left( {x - 2} ight).{\log _5}x = 2{\log _3}\left( {x - 2} ight)

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {\log _3}\left( {x - 2} ight) = 0 \hfill \\ {\log _5}x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. 

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {\log _3}\left( {x - 2} ight) = 0 \hfill \\ {\log _5}x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ x = \frac{1}{5} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    So điều kiện suy ra phương trình có nghiệm x=3.

  • Câu 7: Vận dụng
    Chọn phát biểu đúng

    Phương trình {2^{x - 3}} = {3^{{x^2} - 5x + 6}} có hai nghiệm x_1, x_2 trong đó x_1 < x_2, hãy chọn phát biểu đúng?

    Hướng dẫn:

     Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được:

    {2^{x - 3}} = {3^{{x^2} - 5x + 6}} \Leftrightarrow {\log _2}{2^{x - 3}} = {\log _2}{3^{{x^2} - 5x + 6}}

    \Leftrightarrow \left( {x - 3} ight){\log _2}2 = \left( {{x^2} - 5x + 6} ight){\log _2}3

    \Leftrightarrow \left( {x - 3} ight) - \left( {x - 2} ight)\left( {x - 3} ight){\log _2}3 = 0

    \Leftrightarrow \left( {x - 3} ight).\left[ {1 - \left( {x - 2} ight){{\log }_2}3} ight] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 3 = 0 \hfill \\ 1 - \left( {x - 2} ight){\log _2}3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ \left( {x - 2} ight){\log _2}3 = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ x - 2 = \frac{1}{{{{\log }_2}3}} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ x = {\log _3}2 + 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ x = {\log _3}2 + {\log _3}9 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ x = {\log _3}18 \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 8: Thông hiểu
    Tìm x là nghiệm của PT

    Phương trình \ln \frac{{x - 1}}{{x + 8}} = \ln x có nghiệm là: 

    Hướng dẫn:

    Ta có:  \ln \frac{{x - 1}}{{x + 8}} = \ln x \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \frac{{x - 1}}{{x + 8}} = x \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ x = - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x = 4

  • Câu 9: Nhận biết
    Giải PT Logarit

    Phương trình {\log _3}({x^2} - 6) = {\log _3}(x - 2) + 1 có tập nghiệm là:

    Hướng dẫn:

     PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 6 > 0 \hfill \\ x - 3 > 0 \hfill \\ {x^2} - 6 = 3(x - 3) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x < - \sqrt 6 \vee x > \sqrt 6 \hfill \\ x > 3 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x \in \emptyset.

  • Câu 10: Vận dụng
    Đếm số nghiệm thực

    Phương trình {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } ight)^x} + {\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } ight)^x} = {\left( {\sqrt {10} } ight)^x} có tất cả bao nhiêu nghiệm thực ?

    Hướng dẫn:

     Ta có: {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } ight)^x} + {\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } ight)^x} = {\left( {\sqrt {10} } ight)^x}\Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} ight)^x} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} ight)^x} = 1

    Xét hàm số f\left( x ight) = {\left( {\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} ight)^x} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }}} ight)^x}

    Ta có: f\left( 2 ight) = 1

    Hàm số f (x) nghịch biến trên R do các cơ số \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }} < 1;\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {10} }} < 1.

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x=2.

  • Câu 11: Vận dụng
    Đếm số nghiệm không âm

    Phương trình {3^{2x}} + 2x\left( {{3^x} + 1} ight) - {4.3^x} - 5 = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm ?

    Hướng dẫn:

     Ta có: {3^{2x}} + 2x\left( {{3^x} + 1} ight) - {4.3^x} - 5 = 0 \Leftrightarrow \left( {{3^{2x}} - 1} ight) + 2x\left( {{3^x} + 1} ight) - \left( {{{4.3}^x} + 4} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left( {{3^x} - 1} ight)\left( {{3^x} + 1} ight) + \left( {2x - 4} ight)\left( {{3^x} + 1} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left( {{3^x} + 2x - 5} ight)\left( {{3^x} + 1} ight) = 0 \Leftrightarrow {3^x} + 2x - 5 = 0

    Xét hàm số f\left( x ight) = {3^x} + 2x - 5, ta có:f(1)=0.

    f'\left( x ight) = {3^x}\ln 3 + 2 > 0;\forall x \in \mathbb{R}. Do đó hàm số f(x) đồng biến trên R.

    Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x=1.

  • Câu 12: Thông hiểu
    Nghiệm lớn nhất

    Nghiệm lớn nhất của phương trình - {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 - \log x  là:

    100 || 1 trăm || một trăm || Một trăm || x=100

    Đáp án là:

    Nghiệm lớn nhất của phương trình - {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 - \log x  là:

    100 || 1 trăm || một trăm || Một trăm || x=100

     Điều kiện: x>0

    - {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 - \log x \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \log x = - 1 \hfill \\ \log x = 2 \hfill \\ \log x = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{{10}} \hfill \\ x = 100 \hfill \\ x = 10 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy nghiệm lớn nhất là x =100.

  • Câu 13: Nhận biết
    Số nghiệm của PT logarit

    Phương trình \log _2^2(x + 1) - 6{\log _2}\sqrt {x + 1} + 2 = 0 có số nghiệm là:

    2 || hai || 2 nghiệm || Hai nghiệm

    Đáp án là:

    Phương trình \log _2^2(x + 1) - 6{\log _2}\sqrt {x + 1} + 2 = 0 có số nghiệm là:

    2 || hai || 2 nghiệm || Hai nghiệm

     PT\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 1 > 0 \hfill \\ {\log ^2}_2(x + 1) - 3{\log _2}(x + 1) + 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > - 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} {\log _2}(x + 1) = 1 \hfill \\ {\log _2}(x + 1) = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > - 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy PT có 2 nghiệm.

  • Câu 14: Vận dụng
    Tính tổng 2 nghiệm

    Gọi x_1, x_2 là 2 nghiệm của phương trình {\log _2}\left[ {x\left( {x + 3} ight)} ight] = 1. Khi đó x_1 + x_2 bằng: 

    -3

    Đáp án là:

    Gọi x_1, x_2 là 2 nghiệm của phương trình {\log _2}\left[ {x\left( {x + 3} ight)} ight] = 1. Khi đó x_1 + x_2 bằng: 

    -3

    Điều kiện: \left[ \begin{gathered} x < - 3 \hfill \\ x > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    {\log _2}\left[ {x\left( {x + 3} ight)} ight] = 1 \Leftrightarrow x\left( {x + 3} ight) = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = 0

    Vậy {x_1} + {x_2} = - 3.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Tìm m để PT vô nghiệm

    Với giá trị nào của tham số m thì phương trình {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} + {\left( {2 - \sqrt 3 } ight)^x} = m{\text{ }}vô nghiệm?

    m<2 || m nhỏ hơn 2

    Đáp án là:

    Với giá trị nào của tham số m thì phương trình {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} + {\left( {2 - \sqrt 3 } ight)^x} = m{\text{ }}vô nghiệm?

    m<2 || m nhỏ hơn 2

     Ta có nhận xét: \left( {2 + \sqrt 3 } ight)\left( {2 - \sqrt 3 } ight) = 1 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x}{\left( {2 - \sqrt 3 } ight)^x} = 1.

    Đặt t = {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} \Rightarrow {\left( {2 - \sqrt 3 } ight)^x} = \frac{1}{t},\forall t \in \left( {0, + \infty } ight).

    Khi đó: \left( 1 ight) \Leftrightarrow t + \frac{1}{t} = m \Leftrightarrow f\left( t ight) = t + \frac{1}{t} = m{\text{ }}\left( {1'} ight),\forall t \in \left( {0, + \infty } ight).

    Xét hàm số f\left( t ight) = t + \frac{1}{t} xác định và liên tục trên \left( {0, + \infty } ight).

    Ta có: f'\left( t ight) = 1 - \frac{1}{{{t^2}}} = \frac{{{t^2} - 1}}{{{t^2}}}. Cho f'\left( t ight) = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1.

    Bảng biến thiên:

    Dựa vào bảng biến thiên:

    Phương trình (1') vô nghiệm khi và chỉ khi m < 2.

    Vậy Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi Phương trình (1') vô nghiệm khi và chỉ khi m < 2.

  • Câu 16: Vận dụng
    Khẳng định đúng?

    Cho phương trình {\left( {7 + 4\sqrt 3 } ight)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} = 6. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Hướng dẫn:

     Ta có: {\left( {7 + 4\sqrt 3 } ight)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} = 6

    \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)}^2}} ight]^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} - 6 = 0

    \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)}^x}} ight]^2} + {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} - 6 = 0{\text{ }}\left( {*} ight)

    Đặt t = {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} > 0.

    Khi đó \left( {*} ight) \Leftrightarrow {t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t = 2{\text{ }}\left( TM ight) \hfill \\ t = - 3{\text{ }}\left( L ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với t = 2 \Rightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^x} = 2 \Leftrightarrow \boxed{x = {{\log }_{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)}}2}.

  • Câu 17: Vận dụng
    Tìm họ nghiệm

    Phương trình {9^{{{\sin }^2}x}} + {9^{{{\cos }^2}x}} = 6 có họ nghiệm là ?

    Hướng dẫn:

     Ta có: {9^{{{\sin }^2}x}} + {9^{{{\cos }^2}x}} = 6

    \Leftrightarrow {9^{1 - {{\cos }^2}x}} + {9^{{{\cos }^2}x}} = 6 \Leftrightarrow \frac{9}{{{9^{{{\cos }^2}x}}}} + {9^{{{\cos }^2}x}} - 6 = 0{\text{ }}\left( * ight)

    Đặt t = {9^{{{\cos }^2}x}},{\text{ }}\left( {1 \leqslant t \leqslant 9} ight).

    Khi đó: \left( * ight) \Leftrightarrow \frac{9}{t} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 6t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3.

    Với t = 3 \Rightarrow {9^{{{\cos }^2}x}} = 3 \Leftrightarrow {3^{2{{\cos }^2}x}} = {3^1} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 = 0

    \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}},{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight).

  • Câu 18: Nhận biết
    Đếm số nghiệm

    Số nghiệm của phương trình {\log _2}({x^3} + 1) - {\log _2}({x^2} - x + 1) - 2{\log _2}x = 0 là:

    0 || PT không có nghiệm || không có nghiệm || vô nghiệm || PT vô nghiệm

    Đáp án là:

    Số nghiệm của phương trình {\log _2}({x^3} + 1) - {\log _2}({x^2} - x + 1) - 2{\log _2}x = 0 là:

    0 || PT không có nghiệm || không có nghiệm || vô nghiệm || PT vô nghiệm

     PT \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ {x^3} + 1 > 0 \hfill \\ {x^2} - x + 1 > 0 \hfill \\ {\log _{{2^{}}}}({x^3} + 1) - {\log _2}({x^2} - x + 1) - 2{\log _{{2^{}}}}x = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}({x^2} - x + 1)}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.  \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ \frac{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}}{{{x^2}({x^2} - x + 1)}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x + 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow x \in \emptyset

    Vậy số nghiệm của PT là 0.

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Tính tổng các nghiệm

    Phương trình {3^{3 + 3x}} + {3^{3 - 3x}} + {3^{4 + x}} + {3^{4 - x}} = {10^3} có tổng các nghiệm là ?

    0 || không || Tổng các nghiệm bằng 0

    Đáp án là:

    Phương trình {3^{3 + 3x}} + {3^{3 - 3x}} + {3^{4 + x}} + {3^{4 - x}} = {10^3} có tổng các nghiệm là ?

    0 || không || Tổng các nghiệm bằng 0

    Ta có: {3^{3 + 3x}} + {3^{3 - 3x}} + {3^{4 + x}} + {3^{4 - x}} = {10^3} (*)

    Khi đó: \left( * ight) \Leftrightarrow {27.3^{3x}} + \frac{{27}}{{{3^{3x}}}} + {81.3^x} + \frac{{81}}{{{3^x}}} = {10^3}

    \Leftrightarrow 27.\left( {{3^{3x}} + \frac{1}{{{3^{3x}}}}} ight) + 81.\left( {{3^x} + \frac{1}{{{3^x}}}} ight) = {10^3}{\text{ }}\left( {**} ight)

    Đặt t = {3^x} + \frac{1}{{{3^x}}}\mathop \geqslant \limits^{Cauchy} 2\sqrt {{3^x}.\frac{1}{{{3^x}}}} = 2 (Áp dụng theo BĐT Cauchy cho 2 số không âm).

    \Rightarrow {t^3} = {\left( {{3^x} + \frac{1}{{{3^x}}}} ight)^3} = {3^{3x}} + {3.3^{2x}}.\frac{1}{{{3^x}}} + {3.3^x}.\frac{1}{{{3^{2x}}}} + \frac{1}{{{3^{3x}}}}

    \Leftrightarrow {3^{3x}} + \frac{1}{{{3^{3x}}}} = {t^3} - 3t

    Khi đó: \left( {**} ight) \Leftrightarrow 27\left( {{t^3} - 3t} ight) + 81t = {10^3} \Leftrightarrow {t^3} = \frac{{{{10}^3}}}{{27}} \Leftrightarrow t = \frac{{10}}{3} > 2{\text{ }}

    Với t = \frac{{10}}{3} \Rightarrow {3^x} + \frac{1}{{{3^x}}} = \frac{{10}}{3}{\text{ }}\left( {***} ight)

    Đặt y = {3^x} > 0. Khi đó: \left( {***} ight) \Leftrightarrow y + \frac{1}{y} = \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow 3{y^2} - 10y + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} y = 3{\text{ }} \hfill \\ y = \frac{1}{3}{\text{ }} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với y = 3 \Rightarrow {3^x} = 3 \Leftrightarrow \boxed{x = 1}

    Với y = \frac{1}{3} \Rightarrow {3^x} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \boxed{x = - 1}.

  • Câu 20: Thông hiểu
    Tìm tập nghiệm của PT logarit

    Phương trình \log _2^2x - 4{\log _2}x + 3 = 0 có tập nghiệm là?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện: x > 0

    \log _2^2x - 4{\log _2}x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {\log _2}x = 1 \hfill \\ {\log _2}x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ x = 8 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy PT có tập nghiệm là S={8;2}.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (30%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Vận dụng cao (10%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 2 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 12

Đăng nhập