Đề Ôn tập chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu (Trung bình)

Ta chứng minh: .

Lấy điểm E sao cho tứ giác BCDE là hình bình hành.

Khi đó  .

Mà góc giữa và bằng nên ta có:

Ta có

Suy ra

Vậy

Chiều cao của lăng trụ bằng

Áp dụng CT thể tích lăng trụ là:

Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.

Theo giả thiết, ta có và .

Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có

Vậy diện tích toàn phần:

(đvdt).

Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có .

Diện tích toàn phần là: (đvdt).

Diện tích xung quanh của hình trụ: (đvdt).

Diện tích toàn phần của hình trụ:

(đvdt).

Vì I là hình chiếu của O trên nên  mà  nên I là tiếp điểm của và .

Đường thẳng OM cắt tại N nên IN vuông góc với OI tại I.

Suy ra IN tiếp xúc với .

Tam giác OIN vuông tại I nên .

Hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có

Suy ra và

Thể tích khối nón (đvtt).

Thể tích khối cầu   (đvtt).

Suy ra

  tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương tại trung điểm của mỗi cạnh.

Tâm là trung điểm chng của 6 đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện đôi một có độ dài bằng

Bán kính

Vì góc ở đỉnh là nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R.

Suy ra đường cao của hình nón là .

Tam giác SAB là thiết diện qua đỉnh, chắn trên đáy cung AB có số đo bằng nên IAB là tam giác vuông cân tại I, suy ra .

Gọi M là trung điểm của AB thì và .

Trong tam giác vuông SIM, ta có

Vậy (đvdt).

 Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.

Bán kính đáy . Do đó thể tích khối trụ (đvtt).

Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S.

Gọi E là trung điểm AB, suy ra  và .

Ta có

.

Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .

Ta có

Từ đó suy ra nên

Trong tam giác vuông SOE, ta có

Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao , bán kính đáy

Do đó diện tích toàn phần:

Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.

Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên

Gọi E là trung điểm của BC, dựng tại H.

Chứng minh được nên suy ra .

Trong tam giác đều ABC, ta có

và 

Trong tam giác vuông SOE, ta có

.

Vậy thể tích khối nón   (đvtt).

Gọi I là trung điểm AB, suy ra và .

Trong tam giác vuông SOA, ta có

Trong tam giác vuông SIA, ta có

Trong tam giác vuông OIA, ta có:

Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi I là trung điểm SC, suy ra nên .

Do đó IM là trục của , suy ra     (1)

Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên .  (2)

Từ (1) và (2) , ta có

hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .

Vậy bán kính .

 Gọi bán kính đáy là R.

Từ giả thiết suy ra và chu vi đáy bằng a .

Do đó .

Mặt phẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F nên

cân tại A , trung tuyến AM nên   (1)

Ta có

Do đó    (2)

Từ (1) và (2), suy ra   (*)

Lại có  (**)

Từ (*) và (**), suy ra . Tương tự ta cũng có

Do đó nên năm điểm cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính .

 Gọi bán kính đáy là R.

Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có .

Suy ra hình trụ này có đường cao .

Vậy thể tích khối trụ (đvtt).

Gọi là trung điểm của , tam giác cân đỉnh O nên   và suy ra

Dựng .

Theo trên có nên .

Vậy góc tạo bởi giữa trục và mặt phẳng là . Tam giác vuông cân có diện tích bằng suy ra

.

Xét tam giác vuông có .

Cuối cùng .

Vậy diện tích xung quanh của hình nón bằng .

Điều kiện để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh là một mặt cầu là trục quay phải cố định và hai điểm A, B cũng cố định trên .

Theo đề bài, ta xác định các hệ số của : 

Suy ra ta gọi được tâm I của mặt cầu có tọa độ là

Xét là mặt cầu

Vậy tập hợp các điểm I là phân đường thẳng 

tương ứng với .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của (O) trên (P) thì

● H là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S).

●

Bán kính của đường tròn giao tuyến: .

Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến: .

Gọi lần lượt là trung điểm của và là trung điểm của . Suy ra góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy là  .

Ta có .

Xét vuông tại O, ta có:

;

Xét vuông tại M, có

.

Vậy .

Gọi M là trung điểm AC, suy ra

Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S.

Ta có , suy ra tam giác SAC đều.

Gọi G là trọng tâm , suy ra .    (1)

Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lại có nên SM là trục của tam giác ABC.

Mà G thuộc SM nên suy ra .

Từ (1) và (2), suy ra hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

Bán kính mặt cầu .

Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.

Gọi E là trung điểm AB, suy ra và .

Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .

Ta có

Từ đó suy ra nên

Trong tam giác vuông SOE, ta có  

 Gọi H là hình chiếu của O lên BC.

Ta có , suy ra H là trung điểm của BC nên

Suy ra

Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; .

Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' . Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.

Do .

Gọi H là trung điểm của DC.

.

Ta có .

Suy ra .

Vậy thể tích của khối trụ là .