Bộ tài liệu Lí thuyết toán 12: Tích phân bao gồm định nghĩa, tính chất tích phân và các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia.
Cho là hàm số liên tục trên đoạn
. Giả sử
là một nguyên hàm của
trên
.
Hiệu số được gọi là tích phân từ
đến
(hay tích phân xác định trên đoạn
của hàm số
, kí hiệu là
Ta dùng kí hiệu để chỉ hiệu số
.
Vậy:
Trong đó: là dấu tích phân,
là cận dưới,
là cận trên
là biểu thức dưới dấu tích phân,
là hàm số dưới dấu tích phân
Ví dụ:
a)
Vậy Tích phân của hàm số đi từ 1 đến 2 là bằng
.
b)
Vậy Tích phân của hàm số đi từ 0 đến 1 là bằng
.
Tích phân của hàm số từ
đến
có thể kí hiệu bởi
hay
.
Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào các cận mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Nếu hàm số liên tục và không âm trên đoạn
thì tích phân
là diện tích
của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục
và hai đường thẳng
.
Vậy .
Chứng minh:
Chứng minh:
Ta có:
Vậy
;
Chứng minh:
Giả sử là một nguyên hàm của
trên
. Khi đó
cũng là một nguyên hàm của
trên
và
với
Suy ra
Vậy ;
Chứng minh:
Nếu thì Tính chất 4 luôn đúng
Nếu thì
Do đó, ta có:
Mặt khác, ta được
Vậy .
Chứng minh:
Giả sử F(x) và G(x) lần lượt là các nguyên hàm của f(x) và g(x).
Ta có
Do đó
(1)
Ta xét
(2)
Từ (1) và (2) ta có đpcm!
a)
Giải:
b)
Giải:
c)
Giải: