Lớp 12 Toán 12

Mặt nón tròn xoay

Bài học Lí thuyết toán 12: Mặt nón tròn xoay là phần kiến thức trong Khái niệm mặt tròn xoay, giới thiệu cho các em về mặt nón tròn xoay, hình nón tròn xoay, công thức tính diện tích, thể tích hình nón và các thiết diện khi cắt mặt nón. 

1. Mặt nón tròn xoay

Định nghĩa:

Trong mặt phẳng (P), cho 2 đường thẳng d ,\, \Delta cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc \beta  với {0^0} < \beta < {90^0}. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh trục \Delta  với góc \beta không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O.

Chú ý:

  • Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón
  • Đường thẳng \Delta gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2\beta gọi là góc ở đỉnh.

2. Hình nón tròn xoay

Cho \triangle OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón).

  • Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh,OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.
  • Hình tròn tâm I, bán kính r=IM là đáy của hình nón

Ví dụ: 

Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a và AC = \sqrt 3 a. Tính độ dài đường sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.

Giải:

+) Độ dài đường sinh l bằng độ dài cạnh BC của tam giác vuông ABC.

+) Áp dụng định lý Pytago, ta có:

B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {a^2} + 3{a^2} = 4{a^2} \Rightarrow BC = 2a

Vậy độ dài đường sinh của hình nón là l = 2a.

3. Công thức diện tích và thể tích của hình nón

Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh là l thì có:

  • Diện tích xung quanh:

\boxed{{S_{xq}} = \pi .r.l}

  • Diện tích đáy (hình tròn):

\boxed{{S_\delta} = \pi .{r^2}}

  • Diện tích toàn phần hình nón:

\boxed{{S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_\delta}}

  • Thể tích khối nón:

\boxed{{V_{\mbox{nón}}} = \frac{1}{3}{S_\delta}.h = \frac{1}{3}\pi .{r^2}.h}

Ví dụ:

Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S, O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a\sqrt 2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60^0. Tính diện tích xung quanh {S_{xq}} của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng?

Giải:

+) Gọi A là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón.

+) Theo giải thiết ta có đường sinh SA = a\sqrt 2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là \widehat {SAO} = {60^0}. Trong tam giác vuông SAO, ta có:

OA = SA\cos {60^0} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

SO = SA.\sin {60^0} = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}

+) Áp dụng công thức, ta có diện tích xung quanh hình nón là:

{S_{xq}} = \pi rl = \pi .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 = \pi {a^2} (đvdt)

+) Áp dụng công thức, ta có thể tích của khối nón tròn xoay là:

V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}} (đvtt)

4. Tính chất:

Mặt nón tròn xoay được cắt bởi mặt phẳng chia làm 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1:

Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi (P) đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

  • Nếu (P) cắt mặt nón theo 2 đường sinh \Rightarrow Thiết diện là tam giác cân.
  • Nếu (P) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nó

Trường hợp 2:

Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp (Q) không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

  • Nếu (Q) vuông góc với trục hình nón \Rightarrow giao tuyến là một đường trò
  • Nếu (Q) song song với 2 đường sinh hình nón \Rightarrow giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
  • Nếu (Q) song song với 1 đường sinh hình nón \Rightarrow giao tuyến là 1 đường parabol.

Ví dụ: Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a, có thể tích V_1 và hình cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón, có thể tích V_2. Khi đó, tỉ số thể tích \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} bằng bao nhiêu?

Giải:

+) Theo đề bài, ta có hình nón có bán kính đáy là a, chiều cao a\sqrt 3 do đó, có thể tích là:

{V_1} = \frac{1}{3}\pi {a^2}a\sqrt 3 = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}

+) Mặt khác, hình cầu có bán kính \frac{{a\sqrt 3 }}{2} nên có thể tích là:

{V_2} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^3} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{2}

+) Từ đó suy ra \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{2}{3}.

Câu trắc nghiệm mã số: 1060,1059,1034,1033,1032,1031
  • 24 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 12