Lớp 12 Toán 12

Luyện tập Hàm số lũy thừa (Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tính đạo hàm hàm số lũy thừa

    Cho hàm số y = {x^\pi }. Tính y''\left( 1 ight)

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \pi .{x^{\pi - 1}} \Rightarrow y'' = \pi \left( {\pi - 1} ight).{x^{\pi - 2}} \hfill \\ y''\left( 1 ight) = \pi \left( {\pi - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng

    Biết rằng tập tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} ight){x^2} - \left( {m - 3} ight) + 2017m đồng biến trên khoảng \left( { - 3; - 1} ight) và \left( {0;3} ight) là đoạn T = \left[ {a;b} ight]. Tính {a^2} + {b^2}

    Hướng dẫn:

     Tập xác định D = \mathbb{R}

    y' = {x^2} - 2\left( {m - 1} ight)x - \left( {m - 3} ight)

    Hàm số đã cho đồng biến trên \left( {0;3} ight) tức là

    \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{2x + 1}} \geqslant m;\forall x \in \left( {0;3} ight)

    Xét f\left( x ight) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{2x + 1}};\forall x \in \left( {0;3} ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} f'\left( x ight) = \dfrac{{2{x^2} + 2x - 4}}{{{{\left( {2x + 1} ight)}^2}}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = - 2\left( L ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên

    Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng

    Từ bảng biến thiên suy ra f\left( x ight) \geqslant m;\forall x \in \left( {0;3} ight) \Rightarrow m \leqslant 2

    Hàm số đã cho đồng biến trên \left( { - 3; - 1} ight) tức là y' \leqslant 0;\forall x \in \left( { - 3;1} ight)

    \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{2x + 1}} \geqslant m;\forall x \in \left( { - 3;1} ight)

    Xét f\left( x ight) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{2x + 1}};\forall x \in \left( { - 3;1} ight) ta có:

    f'\left( x ight) = \frac{{2{x^2} + 2x - 4}}{{{{\left( {2x + 1} ight)}^2}}} \Rightarrow f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1\left( L ight)} \\ {x = - 2} \end{array}} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng

    Từ bảng biến thiên suy ra f\left( x ight) \leqslant m \Leftrightarrow m \geqslant 1

    Kết hợp kết quả ta được - 1 \leqslant m \leqslant 2 \Rightarrow a = - 1;b = 2

  • Câu 3: Thông hiểu
    Khẳng định nào sau đây sai?

    Cho hàm số y = {x^{\frac{{ - 3}}{4}}}. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hướng dẫn:

    Hàm số y = {x^{\frac{{ - 3}}{4}}} có các tính chất như sau:

    Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận đứng

    Đồ thị hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

    Là hàm số nghịch biến trên \left( {0; + \infty } ight)

  • Câu 4: Nhận biết
    Tập xác định của hàm số f(x)

    Tập xác định của hàm số f\left( x ight) = {\left( {{x^2} - 1} ight)^{ - 2}} là:

    Hướng dẫn:

    Hàm số f\left( x ight) = {\left( {{x^2} - 1} ight)^{ - 2}} xác định khi {x^2} - 1 e 0 \Rightarrow x e \pm 1

    Vậy tập xác định của hàm số là D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} ight\}

  • Câu 5: Vận dụng
    Đạo hàm của hàm số y

    Đạo hàm của hàm số y = {\left( {{x^2} + x + x} ight)^{\frac{1}{3}}}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \dfrac{1}{3}.{\left( {{x^2} + x + 1} ight)^{\frac{1}{3} - 1}}.\left( {{x^2} + x + 1} ight)\prime \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{1}{3}.{\left( {{x^2} + x + 1} ight)^{ - \frac{2}{3}}}.\left( {2x + 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{2x + 1}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + x + 1} ight)}^2}}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Nhận biết
    Tập xác định của hàm số lũy thừa

    Tập xác định của hàm số f\left( x ight) = {\left( {x - 2} ight)^{ - 1}} là:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định của hàm số là:

    x - 2 e 0 \Rightarrow x e 2

    => Tập xác định của hàm số là: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 ight\}

  • Câu 7: Vận dụng
    Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Cho biểu thức P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}.{{\left( {{a^2}{b^2}} ight)}^{\frac{2}{3}}}} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} với a và b là các số thực dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Hướng dẫn:

     Thực hiện thu gọn biểu thức như sau:

    \begin{matrix} P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}.{{\left( {{a^2}{b^2}} ight)}^{\frac{2}{3}}}} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}.\left( {{a^{\frac{4}{3}}}{b^{\frac{4}{3}}}} ight)} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{5}{6}}}.b} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{a^{\frac{{ - 5}}{{12}}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{{ - 1}}{{12}}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{ - 3}} = \dfrac{1}{{{b^3}\sqrt a }} = \dfrac{{\sqrt a }}{{a{b^3}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Tìm các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f\left( x ight) = {\left( {2{x^2} + mx + 2} ight)^{\frac{3}{2}}} xác định với mọi x \in \mathbb{R}?

    Hướng dẫn:

    Hàm số f\left( x ight) = {\left( {2{x^2} + mx + 2} ight)^{\frac{3}{2}}} xác định với mọi x \in \mathbb{R}

    => \Delta < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 16 < 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 4

    Vì m nguyên nên m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2;3} ight\}

    Vậy có tất cả 7 giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính số dân của tỉnh A năm 2025

    Cho biết năm 2018, tỉnh A có 2 triệu người và tỉ lệ dân số là 1,4%/năm. Hỏi đến năm 2025 tỉnh A có bao nhiêu người, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi?

    Gợi ý:

    Công thức ước tính dân số S = A.{e^{n.i}}

    Trong đó A là dân số của nam lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, i là tỉ lệ tăng dân số hằng năm.

    Hướng dẫn:

    Ta có: A = 2, n = 7; I = 0,014

    Số dân tỉnh A đến năm 2025 là S = 2.{e^{7.0,014}} \approx 2,2059 triệu người.

  • Câu 10: Thông hiểu
    Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?

    Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?

    Hướng dẫn:

    Ta có: y = {x^{ - \frac{5}{2}}} \Rightarrow y' = - \frac{5}{2}.{x^{ - \frac{7}{2}}};\forall x > 0 nên hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.

  • Câu 11: Nhận biết
    Tập xác định của hàm số y

    Tập xác định của hàm số y = {\left( {x + 3} ight)^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[4]{{5 - x}} là:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 3 > 0} \\ {5 - x \geqslant 0} \end{array}} ight. \Rightarrow - 3 < x \leqslant 5

    => Tập xác định của hàm số là D = \left( { - 3;5} ight]

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tính tổng S

    Cho biết f\left( n ight) = \frac{{{2^n}}}{{{2^n} + 1}};\left( {n \in \mathbb{Z}} ight). Tính

    S = f\left( { - 100} ight) + f\left( { - 99} ight) + ... + f\left( { - 1} ight) + f\left( 0 ight) + f\left( 1 ight) + ... + f\left( {1000} ight)

    Hướng dẫn:

    Ta có: 

    \begin{matrix} f\left( n ight) + f\left( { - n} ight) = \dfrac{{{2^n}}}{{{2^n} + 1}} + \dfrac{{{2^{ - n}}}}{{{2^{ - n}} + 1}} = 1 \hfill \\ \Rightarrow S = \left[ {f\left( {1000} ight) + f\left( { - 1000} ight)} ight] + ... + \left[ {f\left( 1 ight) + f\left( { - 1} ight)} ight] + \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2001}}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Vận dụng
    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = {x^{\frac{\pi }{2}}} tại điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng 1 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: y = {x^{\frac{\pi }{2}}} \Rightarrow y' = \frac{\pi }{2}.{x^{\frac{\pi }{2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( 1 ight) = 1} \\ {y'\left( 1 ight) = \dfrac{\pi }{2}} \end{array}} ight.

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = {x^{\frac{\pi }{2}}} tại điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng 1 là:

    y = y'\left( 1 ight)\left( {x - 1} ight) + y\left( 1 ight) = \frac{\pi }{2}x - \frac{\pi }{2} + 1

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Cho đồ thị ba hàm số trên khoảng như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Từ đồ thị ta thấy

    Với 0 < x < 1 thì {x^\gamma } < {x^\beta } < {x^\alpha } < {x^1} \Rightarrow \alpha > \beta > \gamma > 1

    Với x > 1 thì {x^1} < {x^\gamma } < {x^\beta } < {x^\alpha } \Rightarrow 1 < \gamma < \beta < \alpha

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Tìm m để đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện

    Đồ thị hàm số y = {x^3} - \left( {3m + 1} ight){x^2} + \left( {{m^2} + 3m + 2} ight)x + 3 có điểm cực tiểu và điểm cực đại nằm về hai phía trục tung khi:

    Hướng dẫn:

    Ta có: y' = 3{x^2} - 2\left( {3m + 1} ight)x + {m^2} + 3m + 2

    Đồ thị có điểm cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y’ = 0 có hai nghiệm {x_1};{x_2}

    \Delta ' = {\left( {3m + 1} ight)^2} - 3\left( {{m^2} + 3m + 2} ight) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < \dfrac{{3 - \sqrt {129} }}{{12}}} \\ {m > \dfrac{{3 - \sqrt {129} }}{{12}}} \end{array}} ight.

    Theo định lí Vi – et ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = \dfrac{{{m^2} + 3m + 2}}{3}} \\ {{x_1}.{x_2} = \dfrac{{6m + 2}}{3}} \end{array}} ight.

    Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung khi và chỉ khi

    \begin{matrix} a.c < 0 \hfill \\ \Rightarrow {m^2} + 3m + 2 < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} + 3m + 2 < 0 \hfill \\ \Leftrightarrow - 2 < m < - 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 16: Thông hiểu
    Đạo hàm bậc nhất của hàm lũy thừa

    Cho hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x - 3} ight)^{\frac{5}{6}}} . Tính f'\left( 2 ight)

    Hướng dẫn:

    Tập xác định \left( {\frac{2}{3}; + \infty } ight)

    Ta có: f\left( x ight) = {\left( {2x - 3} ight)^{\frac{5}{6}}} \Rightarrow f'\left( x ight) = \frac{5}{3}.{\left( {2x - 3} ight)^{\frac{{ - 1}}{6}}} \Rightarrow f'\left( 2 ight) = \frac{5}{3}

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Bài toán lãi kép

    Bố bạn Nam gửi 15000 USD vào trong ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,73% một tháng để dành cho Nam học đại học. Nếu cuối cùng mỗi tháng kể từ ngày gửi Nam rút tiền đều đặn 300USSD (trừ tháng cuối) thì sai bao nhiêu tháng số tiền để dành cho Nam sẽ được rút hết? (tháng cuối là tháng mà số tiền còn trong ngân hàng không vượt 300USSD và khi đó Nam rút hết toàn bộ số tiền còn lại).

    Hướng dẫn:

     Gọi An là số tiền còn lại sau khi nam rút đến tháng thứ n, A là số tiền gủi vào, r là lãi suất hàng tháng và X là số tiền rút ra hàng tháng

    Ta có:

    \begin{matrix} {A_1} = A\left( {1 + r} ight) - X \hfill \\ {A_2} = A{\left( {1 + r} ight)^2} - X\left( {\left( {1 + r} ight) + 1} ight) \hfill \\ {A_3} = A{\left( {1 + r} ight)^3} - X\left( {{{\left( {1 + r} ight)}^2} + \left( {1 + r} ight) + 1} ight) \hfill \\ ..... \hfill \\ {A_n} = A{\left( {1 + r} ight)^n} - X\left( {{{\left( {1 + r} ight)}^{n - 1}} + {{\left( {1 + r} ight)}^{n - 2}} + ... + \left( {1 + r} ight) + 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy {A_n} = A{\left( {1 + r} ight)^n} - X\frac{{{{\left( {1 + r} ight)}^n} - 1}}{r} \Rightarrow n = {\log _{1 + r}}.\frac{{{A_n}r - X}}{{{A_r} - X}}

    Áp dụng vào bài toán ta có: n \approx 62,43641729

  • Câu 18: Nhận biết
    Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có nghĩa?

    Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có nghĩa?

    Hướng dẫn:

    Tập xác định của hàm số y = {x^\alpha } tùy thuộc vào \alpha

    Với \alpha nguyên dương, tập xác định \mathbb{R} 

    Với \alpha nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\}

    Với \alpha không nguyên, tập xác định là \left( {0; + \infty } ight)

    Ta có: {\left( { - 3} ight)^{ - 6}} có \alpha = - 6 là số nguyên âm nên cơ số x e 0

    => {\left( { - 3} ight)^{ - 6}} có nghĩa

  • Câu 19: Thông hiểu
    Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

    Cho một số thực \alpha tùy ý. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

    Hướng dẫn:

     Theo tính chất đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số y = {x^\alpha } có đạo hàm với mọi x > 0 và \left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}

  • Câu 20: Nhận biết
    Đạo hàm của hàm số lũy thừa

    Đạo hàm của hàm số y = \frac{{{e^{4x}}}}{5}

    Hướng dẫn:

    Ta có: y' = \frac{1}{5}\left( {{e^{4x}}} ight)' = \frac{1}{5}\left( {4x} ight)'.{e^{4x}} = \frac{4}{5}.{e^{4x}}

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (25%):
    2/3
  • Thông hiểu (25%):
    2/3
  • Vận dụng (20%):
    2/3
  • Vận dụng cao (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 6 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 12

Đăng nhập