Lớp 12 Toán 12

Luyện tập Cực trị hàm số (Dễ)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'\left( x ight) = \left( {3 - x} ight)\left( {{x^2} - 1} ight) + 2x,\forall x \in \mathbb{R}. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} f'\left( x ight) = \left( {3 - x} ight)\left( {{x^2} - 1} ight) + 2x \hfill \\ \Rightarrow y' = f''\left( x ight) - 2x = - 3{x^2} + 4x + 3 \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{2 \pm \sqrt {13} }}{3} \hfill \\ y'' = - 6x + 4 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y''\left( {\dfrac{{2 + \sqrt {13} }}{3}} ight) = - 2\sqrt {13} < 0} \\ {y''\left( {\dfrac{{2 - \sqrt {13} }}{3}} ight) = 2\sqrt {13} > 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    => Hàm số có 1 cực trị

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 2x + 1. Giả sử hàm số đạt cứ đại tại x = a và đạt cực tiểu tại x = b thì giá trị biểu thức 2a – 5b là

    Hướng dẫn:

    Tập xác định D = \mathbb{R}

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = {x^2} - 3x + 2 \hfill \\ y' = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng xét dấu như sau:

    Tính giá trị biểu thức

    Do y’ thay đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm x = 1

    => x = 1 là điểm cực đại của hàm số

    y’ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x = 2

    => x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số

    => 2a – 5b = -8

  • Câu 3: Nhận biết
    Xác định điểm cực đại của hàm số

    Số nào sau đây là điểm cực đại của hàm số y = {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 2?

    Hướng dẫn:

     Tập xác định D = \mathbb{R}

    Ta có: y' = 4{x^3} - 6{x^2} + 2x

    \begin{matrix} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {2{x^2} - 3x + 1} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Xác định điểm cực đại của hàm số

    Từ bảng biến thiên ta có điểm cực đại của hàm số đã cho là x = \frac{1}{2}

  • Câu 4: Thông hiểu
    Xác định số cực trị của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có f'\left( x ight) = x\left( {x - 1} ight){\left( {x + 2} ight)^2}. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

    Hướng dẫn:

    Ta có: f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = - 2} \end{array}} ight.

    Nhận thấy {\left( {x + 2} ight)^2} > 0,\forall x e - 2

    => f’(x) không đổi dấu khi qua nghiệm x = -2 nên x = -2 không là điểm cực trị của hàm số

    Ngoài ra f’(x) cùng dấu với tam thức bậc hai x2(x - 1) = x2 – x nên suy ra x = 0, x = 1 là hai điểm cực trị của hàm số.

     

  • Câu 5: Nhận biết
    Xác định cực tiểu của hàm số

    Hàm số y = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 3x + 1 đạt cực tiểu tại điểm 

    Hướng dẫn:

     Ta có: y = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 3x + 1 có tập xác định D = \mathbb{R}

    \begin{matrix} y' = {x^2} + 2x - 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = - 3} \end{array}} ight. \hfill \\ y'' = 2x + 2 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y''\left( { - 3} ight) = - 4 < 0} \\ {y''\left( 1 ight) = 4 > 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    => Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1

  • Câu 6: Vận dụng
    Tìm số phần tử của tập hợp S

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = {x^3} - 3\left( {m + 1} ight){x^2} + 3\left( {7m - 3} ight)x không có cực trị. Số phần tử của S là:

    Hướng dẫn:

    Xét hàm số y = {x^3} - 3\left( {m + 1} ight){x^2} + 3\left( {7m - 3} ight)x ta có:

    \begin{matrix} y' = 3{x^2} - 6\left( {m + 1} ight)x + 3\left( {7m - 3} ight) \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} ight)x + 7m - 3 = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Hàm số đã cho không có cực trị

    => Phương trình y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

    => \Delta ' \leqslant 0 \Rightarrow {\left( {m + 1} ight)^2} - 1\left( {7m - 3} ight) \leqslant 0 \Rightarrow 1 \leqslant m \leqslant 4

    Do m là số nguyên nên m \in \left\{ {1;2;3;4} ight\}

    Vậy tập S có 4 phần tử.

  • Câu 7: Thông hiểu
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hàm số y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Tập xác định D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}

    \begin{matrix} y' = \dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {x = 3} \end{array}} ight. \hfill \\ y'' = \frac{8}{{{{\left( {x - 1} ight)}^3}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y''\left( { - 1} ight) = - 1 < 0} \\ {y''\left( 3 ight) = 1 > 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_{CD}} = y\left( { - 1} ight) = - 2} \\ {{y_{CT}} = y\left( 3 ight) = 3} \end{array}} ight. \Rightarrow {y_{CD}} < {y_{CT}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Nhận biết
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số y = {x^4} - 2{x^2} + 1. Xét các mệnh đề sau, những những mệnh đề nào đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có: y' = 4{x^3} - 4x

    \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0 \Rightarrow y = 1} \\ {x = 1 \Rightarrow y = 0} \\ {x = - 1 \Rightarrow y = 0} \end{array}} ight.

    Ta có bảng xét dấu như sau:

    Chọn mệnh đề đúng

    Quan sát bảng xét dấu ta thấy:

    - Hàm số có 3 điểm cực trị

    - Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0), (1; +∞) và nghịch biến trên khoảng (-∞; -1), (0; 1)

  • Câu 9: Vận dụng
    Số điểm cực trị của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị -2; -1; 0 và có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R}. Khi đó hàm số y = f\left( {{x^2} - 2x} ight) có bao nhiêu điểm cực trị?

    Hướng dẫn:

    Ta có hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị -2; -1; 0 và có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} nên f’(x) = 0 có ba nghiệm x = -2; x = -1, x = 0

    Đặt  g\left( x ight) = f\left( {{x^2} - 2x} ight) \Rightarrow g'\left( x ight) = \left( {2x - 2} ight)f\left( {{x^2} - 2x} ight)

    Vì f’(x) liên tục trên \mathbb{R} nên g’(x) cũng liên tục trên \mathbb{R}. Do đó những điểm g’(x) có thể đổi dấu thuộc tập các điểm thỏa mãn.

    \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x - 2 = 0} \\ {{x^2} - 2x = - 2} \\ {{x^2} - 2x = - 1} \\ {{x^2} - 2x = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 0} \\ {x = 2} \end{array}} ight.

    Ba nghiệm trên đều là nghiệm đơn hoặc bội lẻ nên hàm số g(x) có ba điểm cực trị.

     

  • Câu 10: Nhận biết
    Tìm tọa độ cực tiểu của hàm số

    Cho hàm số y = {x^3} - 3x + 2. Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = 3{x^2} - 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ y'' = 6x \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y''\left( 1 ight) = 6 > 0} \\ {y''\left( { - 1} ight) = - 6 < 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (1; 0)

  • Câu 11: Thông hiểu
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'\left( x ight) = \left( {{x^2} - 9} ight){\left( {{x^2} - 3x} ight)^2},\forall x \in \mathbb{R}. Gọi M là giá trị cực đại của hàm số đã cho. Chọn khẳng định đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có: 

    \begin{matrix} f'\left( x ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 9} ight){\left( {{x^2} - 3x} ight)^2} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2}{\left( {x - 3} ight)^3}\left( {x + 3} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \pm 3} \\ {x = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Chọn khẳng định đúng

    Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số là M = f(-3)

  • Câu 12: Nhận biết
    Số điểm cực trị của hàm số

    Hàm số y = \frac{{2x + 5}}{{x + 1}} có bao nhiêu điểm cực trị?

    Hướng dẫn:

    Tập xác định D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} ight\}

    Ta có:

    y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} < 0,\forall x \in D

    Do y’ không đổi dấu nên hàm số không có cực trị.

  • Câu 13: Vận dụng
    Xác định số điểm cực trị của hàm số

    Cho hàm số f\left( x ight) = 1 + C_{10}^1x + C_{10}^2{x^2} + ... + C_{10}^{10}{x^{10}}. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

    Hướng dẫn:

    Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) = 1 + C_{10}^1x + C_{10}^2{x^2} + ... + C_{10}^{10}{x^{10}} = {\left( {1 + x} ight)^{10}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 10{\left( {1 + x} ight)^9} \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Xác định số điểm cực trị của hàm số

    Vậy hàm số đã cho có duy nhất một điểm cực trị x = -1

  • Câu 14: Thông hiểu
    Số điểm cực đại của hàm số

    Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu đạo hàm f’(x) như sau:

    Số điểm cực đại của hàm số

    Hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực đại?

    Hướng dẫn:

    Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm f’(x) ta thấy đạo hàm f’(x) đổi dấu từ dương sang âm 2 lần nên f(x) có 2 điểm cực đại.

  • Câu 15: Vận dụng
    Xác định số cực trị của hàm số

    Hàm số f\left( x ight) = C_{2019}^0 + C_{2019}^1x + C_{2019}^2{x^2} + C_{2019}^3{x^3} + ... + C_{2019}^{2019}{x^{2019}} có bao nhiêu điểm cực trị?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) = C_{2019}^0 + C_{2019}^1x + C_{2019}^2{x^2} + C_{2019}^3{x^3} + ... + C_{2019}^{2019}{x^{2019}} = {\left( {1 + x} ight)^{2019}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 2019.{\left( {1 + x} ight)^{2018}} \hfill \\ f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Vì x = -1 là nghiệm bội chẵn nên x = -1 không phải là điểm cực trị của hàm số.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tìm cực trị của hàm số

    Đồ thị hàm số y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1 có hai điểm cực trị là A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB?

    Hướng dẫn:

     Cách 1: Xét hàm số f\left( x ight) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1

    Ta có: f\left( x ight) = \left( {\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}} ight).f'\left( x ight) - 8x - 2

    Đồ thị hàm số f(x) có hai điểm cực trị A và B nên f’(A) = f’(B) = 0

    Suy ra \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_A} = f\left( {{x_A}} ight) = - 8{x_A} - 2} \\ {{y_B} = f\left( {{x_B}} ight) = - 8{x_B} - 2} \end{array}} ight.

    Do đó phương trình đường thẳng AB là y = -8x – 2

    Khi đó ta có điểm có tọa độ (1; -10) thuộc đường thẳng AB.

    Cách 2: Xét hàm số y = f\left( x ight) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1

    \begin{matrix} f'\left( x ight) = 3{x^2} - 6x - 9 \hfill \\ f'\left( x ight) = 0 \Rightarrow 3{x^2} - 6x - 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3} \\ {x = - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    => Tọa độ hai điểm cực trị của hàm số là A(3; -26) và B(-1; 6)

    Ta có: \overrightarrow {AB} = \left( { - 4;32} ight) \Rightarrow \overrightarrow u = \left( { - 1;8} ight)

    Phương trình đường thẳng AB đ qua B(-1; 6) nhận vecto \overrightarrow u làm vecto chỉ phương là \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1 - t} \\ {y = 6 + 8t} \end{array}} ight.;\left( {t \in \mathbb{R}} ight)

    Khi đó ta có điểm có tọa độ (1; -10) thuộc đường thẳng AB.

  • Câu 17: Nhận biết
    Tìm cực đại của hàm số

    Hàm số y = 2{x^3} - {x^2} + 5 có cực đại là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = 6{x^2} - 2x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = \dfrac{1}{3}} \end{array}} ight. \hfill \\ y'' = 12x - 2 \Rightarrow y''\left( 0 ight) = - 2 < 0 \hfill \\ \end{matrix}

    => x = 0 là điểm cực đại của hàm số

  • Câu 18: Vận dụng
    Tìm số cực trị của hàm số

    Cho hàm số f\left( x ight) = {x^2}\left( {x - 1} ight).{e^{3x}} có một nguyên hàm là hàm số F(x). Số điểm cực trị của hàm số F(x) là

    Hướng dẫn:

    TXĐ: D = \mathbb{R} có một nguyên hàm là hàm số F(x)

    => F’(x) = f(x), \forall x \in \mathbb{R}

    => F'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow f\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} ight){e^{3x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \end{array}} ight.

    Ta có bảng xét dấu F’(x) như sau:

    Tìm số cực trị của hàm số

    Dựa vào bảng trên ta thấy hàm số F(x) có một điểm cực trị.

  • Câu 19: Vận dụng
    Tinh số điểm cực đại của hàm số

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có đạo hàm f'\left( x ight) = \left( {{x^2} - 1} ight)\left( {x - 4} ight),\forall x \in \mathbb{R}. Hàm số g\left( x ight) = f\left( {3 - x} ight) có bao nhiêu điểm cực đại?

    Hướng dẫn:

    Từ giả thiết ta có bảng biến thiên của hàm số f(x)

    Tinh số điểm cực đại của hàm số

    Ta có:

    g(x) = f(3 – x)

    => g’(x) = -f’(3 – x)

    Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) ta có:

    g'\left( x ight) \geqslant 0 \Leftrightarrow f'\left( {3 - x} ight) \leqslant 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - x \leqslant 1} \\ {1 \leqslant 3 - x \leqslant 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 4} \\ { - 1 \leqslant x \leqslant 2} \end{array}} ight.

    => Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) là:

    Tinh số điểm cực đại của hàm số

    Từ bảng biến thiên ta nhận thấy hàm số g(x) có một điểm cực đại.

  • Câu 20: Vận dụng
    Tìm số điểm cực trị của hàm số

    Số điểm cực trị của hàm số y = \left| {\sin x - \frac{\pi }{4}} ight|,x \in \left( { - \pi ;\pi } ight) là?

    Hướng dẫn:

    Xét hàm số y = f\left( x ight) = \sin x - \frac{x}{4};x \in \left( { - \pi ;\pi } ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} f'\left( x ight) = \cos x - \dfrac{1}{4} \hfill \\ f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {x_1} \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};0} ight)} \\ {x = {x_1} \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} f\left( {{x_1}} ight) = \sin {x_1} - \dfrac{{{x_1}}}{4} = - \dfrac{{\sqrt {15} }}{4} - \dfrac{{{x_1}}}{4} < - \dfrac{{\sqrt {15} }}{4} + \dfrac{\pi }{8} < 0 \hfill \\ f\left( {{x_2}} ight) = \sin {x_2} - \dfrac{{{x_2}}}{4} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{4} - \dfrac{{{x_1}}}{4} < \dfrac{{\sqrt {15} }}{4} - \dfrac{\pi }{8} < 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên:

    Tìm số điểm cực trị của hàm số

    Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có hai điểm cực trị và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khác x1; x2

    => Hàm số y = \left| {\sin x - \frac{x}{4}} ight|,x \in \left( { - \pi ,\pi } ight) có 5 điểm cực trị

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (30%):
    2/3
  • Vận dụng (40%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 67 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

1 Bình luận
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
  • Nguyễn Đức Thi
    Nguyễn Đức Thi

    hi ae 
    Thích Phản hồi 02/12/22

Toán 12

Đăng nhập