Hướng dẫn:
Ta có:
x%20%2B%201%20%5Chfill%20%5C%5C%0A%20%20%20%5CRightarrow%20y'%20%3D%20%7Bm%5E2%7D%7Bx%5E4%7D%20-%20m%7Bx%5E2%7D%20%2B%2020x%20-%20%7Bm%5E2%7D%20%2B%20m%20%2B%2020%20%5Chfill%20%5C%5C%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D)
Hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi

Và dấu bằng xảy ra chỉ tại một số hữu hạn điểm.
Điều kiện cần
Ta thấy phương trình y ‘ = 0 có một nghiệm x = -1 nên để
thì y’ không đổi dấu qua khi x = -1 khi đó phương trình y’ = 0 có nghiệm kép là x = -1 (x = -1 không thể laf nghiệm bội 4 của phương trình y’ = 0 vì y’ không chứa số hạng x3)
Ta suy ra được y’’(-1) = 0
=> 
Điều kiện đủ:
Với m = - 2 ta có:
![y' = 4{x^4} + 2{x^2} + 20x + 14 = 4{\left( {x + 1} ight)^2}\left[ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + \frac{5}{2}} ight] \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}](https://tex.vdoc.vn?tex=y'%20%3D%204%7Bx%5E4%7D%20%2B%202%7Bx%5E2%7D%20%2B%2020x%20%2B%2014%20%3D%204%7B%5Cleft(%20%7Bx%20%2B%201%7D%20%5Cright)%5E2%7D%5Cleft%5B%20%7B%7B%7B%5Cleft(%20%7Bx%20-%201%7D%20%5Cright)%7D%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%7D%20%5Cright%5D%20%5Cgeqslant%200%2C%5Cforall%20x%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D)
=> Hàm số đồng biến trên R
=> m = -2 thỏa mãn điều kiện đề bài.
Với
ta có:
![y' = \frac{{25}}{4}{x^4} - \frac{5}{2}{x^2} + 20x + \frac{{65}}{4} = \frac{{25}}{4}{\left( {x + 1} ight)^2}\left[ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + \frac{8}{5}} ight] \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}](https://tex.vdoc.vn?tex=y'%20%3D%20%5Cfrac%7B%7B25%7D%7D%7B4%7D%7Bx%5E4%7D%20-%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%7Bx%5E2%7D%20%2B%2020x%20%2B%20%5Cfrac%7B%7B65%7D%7D%7B4%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7B25%7D%7D%7B4%7D%7B%5Cleft(%20%7Bx%20%2B%201%7D%20%5Cright)%5E2%7D%5Cleft%5B%20%7B%7B%7B%5Cleft(%20%7Bx%20-%201%7D%20%5Cright)%7D%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B8%7D%7B5%7D%7D%20%5Cright%5D%20%5Cgeqslant%200%2C%5Cforall%20x%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D)
=> Hàm số đồng biến trên R
=>
thỏa mãn điều kiện đề bài
Vậy
là các giá trị cần tìm.
=> Tổng các giá trị thực của m cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là 