Lớp 12 Toán 12

Hàm số lôgarit

Bài học Lí thuyết toán 12: Hàm số lôgarit giới thiệu cho các em khái niệm về hàm số lôgarit, công thức tính đạo hàm và khảo sát hàm số lôgarit. Bên cạnh đó là các ví dụ bài tập có lời giải chi tiết giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.

1. Định nghĩa

Cho a là số thực dương và a \ne 1.

Hàm số y = \log_{a}x được gọi là hàm số lôgarit cơ số a. 

Ví dụ: 

Hàm số y = \log_{2}x được gọi là hàm số lôgarit cơ số 2. 

2. Đạo hàm 

  • Hàm số y = \log_{a}x (a>0, a \ne 1) có đạo hàm tại mọi x>0 

(\log_{a}x)' = \frac{1}{x \ln a}

(\ln x)'=\frac{1}{x}

  • Ngoài ra, đối với hàm hợp y = \log_{a}u(x), ta có công thức tính đạo hàm:

(\log_{a}u)'=\frac {u'}{u\ln a }

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = ({x^2} + 2x){e^{ - x}}?

Giải:

Ta có:  y = \left( {{x^2} + 2x} \right){e^{ - x}} \Rightarrow {y^/} = {\left( {{x^2} + 2x} \right)^/}{e^{ - x}} + {\left( {{e^{ - x}}} \right)^/}\left( {{x^2} + 2x} \right)

\Rightarrow {y^/} = \left( {2x + 2} \right){e^{ - x}} - {e^{ - x}}\left( {{x^2} + 2x} \right) = \left( { - {x^2} + 2} \right){e^{ - x}}

3. Khảo sát hàm số y = \log_{a}x (a>0, a \ne 1)

y = \log_{a}x, a>1 y = \log_{a}x, 0 < a < 1

1.Tập xác định

(0; + \infty )

1.Tập xác định

(0; + \infty )

2. Sự biến thiên

y'=\frac{1}{x \ln a} >0, \forall x>0

Giới hạn đặc biệt:

\lim_{x\rightarrow 0^+} \log_{a}(x)= - \infty

\lim_{x\rightarrow + \infty} \log_{a}(x)= + \infty

Tiệm cận:

Trục Oy là tiệm cận đứng

2. Sự biến thiên

y'=\frac{1}{x \ln a} < 0, \forall x>0

Giới hạn đặc biệt:

\lim_{x\rightarrow 0^+} \log_{a}(x)= + \infty

\lim_{x\rightarrow + \infty} \log_{a}(x)= - \infty

Tiệm cận:

Trục Oy là tiệm cận đứng

3. Bảng biến thiên

3. Bảng biến thiên

4. Đồ thị

Đi qua các điểm (1;0) và (a;1) nằm phía bên phải trục tung.

4. Đồ thị

Đi qua các điểm (1;0) và (a;1) nằm phía bên phải trục tung.

Ví dụ:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số nào?

Giải:

Ta xét đồ thị hàm số đã cho là đồ thị  của  y = \log_{a}x.

Vì điểm A(2;-1) thuộc đồ thị hàm số nên - 1 = {\log _a}2 \Rightarrow {a^{ - 1}} = 2 \Rightarrow \frac{1}{a} = 2 \Rightarrow a = 0,5.

Suy ra đồ thị trên là đồ thị của hàm số y = {\log _{0,5}}x.

Câu trắc nghiệm mã số: 2115, 2056,2052,2051,2050
  • 6 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 12