Lớp 12 Toán 12

Bảng nguyên hàm và các phương pháp tính nguyên hàm

Bộ tài liệu Lí thuyết toán 12: Nguyên hàm (tiếp theo) bao gồm công thức nguyên hàm cơ bản, nâng cao cùng với đó là các phương pháp tính nguyên hàm và các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. 

A. Bảng nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm của hàm sơ cấp
\int 0 dx = C
\int 1 dx = x + C
\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C
\int {\sqrt x dx} = \frac{2}{3}x\sqrt x + C
\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C,\left( {x \ne 0} \right)
\int {\frac{1}{{{x^2}}}dx} = - \frac{1}{x} + C
\int {{e^x}dx} = {e^x} + C
\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C
\int {\sin xdx} = - \cos x + C
\int {\cos xdx} = \sin x + C
\int {\tan xdx} = - \ln \left| {\cos x} \right| + C
\int {\cot xdx} = \ln \left| {\sin x} \right| + C
\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \tan x + C,\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi } \right)
\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \cot x + C,\left( {x \ne k\pi } \right)
\int {\frac{1}{{2\sqrt x }}dx} = \sqrt x + C
Nguyên hàm của hàm hợp u = u(x)
\int 0 du = C
\int 1 du = u + C
\int {{u^\alpha }du} = \frac{{{u^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C
\int {\sqrt u du} = \frac{2}{3}u\sqrt u + C
\int {\frac{1}{u}du} = \ln \left| u \right| + C,\left( {u\left( x \right) \ne 0} \right)
\int {\frac{1}{{{u^2}}}du} = - \frac{1}{u} + C
\int {{e^u}du} = {e^u} + C
\int {{a^u}du} = \frac{{{a^u}}}{{\ln a}} + C
\int {\sin udu} = - \cos u + C
\int {\cos udu} = \sin u + C
\int {\tan udu} = - \ln \left| {\cos u} \right| + C
\int {\cot udu} = \ln \left| {\sin u} \right| + C
\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}u}}du} = \tan u + C,\left( {u\left( x \right) \ne \frac{\pi }{2} + k\pi } \right)
\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}u}}du} = - \cot u + C,\left( {u\left( x \right) \ne k\pi } \right)
\int {\frac{1}{{2\sqrt u }}du} = \sqrt u + C

B. Bảng nguyên hàm nâng cao

\int {d\left( {ax + b} \right)} = ax + b + C
\int {\frac{1}{{ax + b}}dx} = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C
\int {\sqrt {ax + b} dx} = \frac{1}{a}.\frac{2}{3}.\left( {ax + b} \right)\sqrt {ax + b} + C
\int {{e^{ax + b}}dx} = \frac{1}{a}.2\sqrt {ax + b} + C
\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx} = - \frac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right) + C
\int {\tan \left( {ax + b} \right)dx} = - \frac{1}{a}.\ln \left| {\cos \left( {ax + b} \right)} \right| + C
\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {ax + b} \right)}}dx} = - \frac{1}{a}.\cot \left( {ax + b} \right) + C
\int {\frac{1}{{\sin \left( {ax + b} \right)}}dx} = \frac{1}{a}.\ln \left| {\tan \frac{{ax + b}}{2}} \right| + C
\int {{{\left( {ax + b} \right)}^\alpha }dx} = \frac{1}{\alpha }\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C
\left( {\alpha \ne - 1} \right)
\int {\frac{1}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}dx} = - \frac{1}{a}.\frac{1}{{ax + b}} + C
\int {\frac{1}{{\sqrt {ax + b} }}dx} = \frac{1}{a}.2\sqrt {ax + b} + C
\int {{a^{mx + n}}dx} = \frac{1}{m}.\frac{{{a^{mx + n}}}}{{\ln a}} + C
\left( {a > 0;a \ne 1} \right)
\int {\cos \left( {ax + b} \right)dx} = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right) + C
\int {\cot \left( {ax + b} \right)dx} = \frac{1}{a}.\ln \left| {\sin \left( {ax + b} \right)} \right| + C
\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {ax + b} \right)}}dx} = \frac{1}{a}.\tan \left( {ax + b} \right) + C
\int {\frac{1}{{\cos \left( {ax + b} \right)}}dx}
Câu trắc nghiệm mã số: 24,23,22,19,18,16

C. Phương pháp tính nguyên hàm

a) Phương pháp đổi biến số

Định lí. Nếu \int {f\left( u \right)} du = F\left( u \right) + C và u = u\left( x \right) là hàm số có đạo hàm liên tục thì \int {f\left( {u\left( x \right)} \right)} .u'\left( x \right)dx = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C

Cách tính nguyên hàm đổi biến số

Xét hàm số I = \int {f\left( {u\left( x \right)} \right)u'\left( x \right)dx}

Bước 1: Đặt u = u\left( x \right) suy ra du = u'\left( x \right)dx

Bước 2: Chuyển nguyên hàm ban đầu về ẩn u ta được I = \int {f\left( u \right)du} = F\left( u \right) + C, trong đó F(u) là một nguyên hàm của hàm số f(u)

Bước 3: Trả về biến x ban đầu, ta có nguyên hàm cần tìm I = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C

Ví dụ: Tính nguyên hàm của hàm số f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x} là:

Hướng dẫn giải:

Đặt A = \int {\frac{{\ln x}}{x}dx} = \int {\ln x.\frac{1}{x}dx}

Đặt u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx

Do đó A = \int {udu} = \frac{{{u^2}}}{2} + C

Vậy A = \int {\frac{{\ln x}}{x}dx} = \frac{1}{2}{\ln ^2}x + C

b) Phương pháp nguyên hàm từng phần

Cho hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K ta có công thức nguyên hàm từng phần \int {udv} = uv - \int {vdu}

Cách tính nguyên hàm từng phần

Để tính nguyên hàm \int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx} từng phần ta làm như sau:

Bước 1: Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = f\left( x \right)} \\ {dx = g\left( x \right)dx} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = f'\left( x \right)dx} \\ {v = G\left( x \right)} \end{array}} \right. (trong đó G(x) là một nguyên hàm bất kì của hàm số g(x)

Bước 2: Khi đó theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

\int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx} = f\left( x \right).G\left( x \right) - \int {G\left( x \right).f'\left( x \right)dx}

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của các hàm số:

a) B = \int {x.\sin dx}

Hướng dẫn giải:

Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x} \\ {\sin xdx = dv} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx} \\ {v = - \cos x} \end{array}} \right.

=> B = \int {x.\sin dx} = - x.\cos x + \int {\cos xdx = } - x.\cos x + \sin x + C

b) C = \int {x.{e^{3x}}dx}

Hướng dẫn giải:

Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x} \\ {{e^{3x}}dx = dv} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx} \\ {v = \dfrac{1}{3}{e^{3x}}} \end{array}} \right.

=> C = \int {x.{e^{3x}}dx} = \frac{1}{3}x.{e^{3x}} - \frac{1}{3}\int {{e^{3x}}dx}

= \frac{1}{3}x.{e^{3x}} - \frac{1}{9}\int {{e^{3x}}d\left( {3x} \right) = } \frac{1}{3}x.{e^{3x}} - \frac{1}{9}{e^{3x}} + C

Câu trắc nghiệm mã số: 25,33,35,168
  • 27 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 12