Lớp 12 Toán 12

Phương trình đường thẳng

Bài học Lí thuyết toán 12: Phương trình đường thẳng bao gồm định nghĩa phương trình tham số của đường thẳng và điều kiện để xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng. 

1. Phương trình đường thẳng

Định nghĩa:

Cho đường thẳng \Delta đi qua điểm {M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) và nhận vectơ \overrightarrow {a\,} = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right) với {a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 \ne 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó \Delta có phương trình tham số là :

\left\{ \begin{gathered} x = {x_0} + {a_1}t \hfill \\ y = {y_0} + {a_2}t \hfill \\ z = {z_0} + {a_2}t \hfill \\ \end{gathered} \right.;{\text{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)

Ví dụ: Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M\left( { - 2;3;1} \right) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {1; - 2;2} \right) là \left\{ \begin{gathered} x = - 2 + t \hfill \\ y = 3 - 2t \hfill \\ z = 1 + 2t \hfill \\ \end{gathered} \right.

Nhận xét:

Cho đường thẳng \Delta đi qua điểm {M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) và nhận vectơ  \overrightarrow {a\,} = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right) sao cho {a_1}{a_2}{a_3} \ne 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó \Delta có phương trình chính tắc là :

\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}

Ví dụ: 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số \left\{ \begin{gathered} x = 2 + t \hfill \\ y = - 3t \hfill \\ z = - 1 + 5t \hfill \\ \end{gathered} \right..

Phương trình chính tắc của đường thẳng d  là?

Giải:

Cách 1:

d đi qua điểm A\left( {2;0; - 1} \right) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{a_d}} = \left( {1; - 3;5} \right)

Vậy phương trình chính tắc của d là \frac{{x - 2}}{1} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{5}.

Cách 2:

Theo đề bài, rút tham số t trong mỗi phương trình, ta được:

\left\{\begin{matrix} x=2+t \\ y=-3t \\ z=-1+5t \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-2=t \\ \dfrac {y}{-3}=t \\ \dfrac {z+1}{5}=t \end{matrix}\right.

Vậy phương trình chính tắc của d là \frac{{x - 2}}{1} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{5}.

Câu trắc nghiệm mã số: 338,336,334

2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

2.1. Vị trí tương đối

Cho 2 đường thẳng:

d:\left\{ \begin{gathered} x = {x_0} + {a_1}t \hfill \\ y = {y_0} + {a_2}t \hfill \\ z = {z_0} + {a_3}t \hfill \\ \end{gathered} \right.

d qua M, có VTCP {\vec u_d}

d':\left\{ \begin{gathered} x = {x'_0} + {a'_1}{t'} \hfill \\ y = {y'_0} + {a'_2}{t'} \hfill \\ z = {z'_0} + {a'_3}{t'} \hfill \\ \end{gathered} \right.

d' qua N, có VTCP {\vec u_{d'}}

Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng d và d' có 4 trường hợp xảy ra:

  • TH1: d và d' song song với nhau

d \parallel d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {{\vec u}_d} = k{{\vec u}_{d'}} \hfill \\ M \notin {d'} \hfill \\ \end{gathered} \right.

  • TH2: d và d' trùng nhau

d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {{\vec u}_d} = k{{\vec u}_{d'}} \hfill \\ M \in {d'} \hfill \\ \end{gathered} \right.

  • TH3: d và d'  cắt nhau

d \cap d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {{\vec u}_d}\, \mbox { không cùng phương } \,{{\vec u}_{d'}} \hfill \\ \left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MN} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.

  • TH4: d và d' chéo nhau

d chéo d' \Leftrightarrow \left[ {{{\vec a}_d},{{\vec a}_{d'}}} \right].\overrightarrow {MN} \ne 0

2.2. Nhận xét

Ngoài ra, vị trí tương đối của 2 đường thẳng còn có mối liên hệ mật thiết với hệ phương trình tại hoành độ, tung độ và cao độ của các giao điểm.

Xét hệ phương trình:

\left\{ \begin{gathered} {x_0} + {a_1}t = {{x'}_0} + {{a'}_1}{t'} \hfill \\ {y_0} + {a_2}t = {y'_0} + {{a'}_2}{t'} \hfill \\ {z_0} + {a_3}t = {z'_0} + {{a'}_3}{t'} \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,(*)

  • Hệ có nghiệm duy nhất \Leftrightarrow  d và d' cắt nhau
  • Hệ vô nghiệm \Leftrightarrow d và d'  song song hoặc chéo nhau
  • Hệ vô số nghiệm \Leftrightarrow d và d' và trùng nhau

Chú ý: Chỉ sử dụng cách này khi cần xác định giao điểm của  d và d' 

Ví dụ 1:

Trong không gian , cho hai đường thẳng d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-7}{1}=\frac{z-3}{4}và d^\prime:\frac{x-6}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+2}{1}. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng?

Giải:

+) Theo đề bài, ta có:

d có VTCP \vec{u}=(2;1;4) và đi qua M(1;7;3)

d'có VTCP \vec{u^\prime}=(3;-2;1) và đi qua M^\prime(6;-1;-2)

+) Từ đó ta có:

\vec{MM^\prime}=(5;-8;-5) và \left[\vec{u},\vec{u^\prime}\right]=(9;10;7)\neq\vec{0}

Lại có \left[\vec{u},\vec{u^\prime}\right]\cdot\vec{MM^\prime}=0

Suy ra d cắt d'

Ví dụ 2:

Trong không gian, cho hai đường thẳng d:\ \left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=2-2t\\z=t\\\end{matrix}\right. và d^\prime:\left\{\begin{matrix}x=-2t\\y=-5+3t\\z=4+t\\\end{matrix}\right.. 

Giải:

+) Theo đề bài, ta có:

d có VTCP \vec{u}=(2;-2;1) và đi qua M(1;2;0)

d' có VTCP \vec{u^\prime}=(-2;3;1) và đi qua M^\prime(0;-5;4)

+) Từ đó ta có

\overrightarrow{MM^\prime}=(-1;-7;4) và \left[\vec{u},\vec{u^\prime}\right]=(-2;1;6)\neq\vec{0}

Lại có \left[\vec{u},\vec{u^\prime}\right]\cdot\overrightarrow{MM^\prime}=19\neq0

Suy ra d chéo nhau với d'.

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng: d:\left\{ \begin{gathered} x = {x_0} + {a_1}t \hfill \\ y = {y_0} + {a_2}t \hfill \\ z = {z_0} + {a_3}t \hfill \\ \end{gathered} \right. và mp (\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0

Xét hệ phương trình:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = {x_0} + {a_1}t}&{(1)} \\ {y = {y_0} + {a_2}t}&{(2)} \\ {z = {z_0} + {a_3}t}&{(3)} \\ {Ax + By + Cz + D = 0}&{(4)} \end{array}} \right.\,\,\,(*)

  • (*) có nghiệm duy nhất \Leftrightarrow d cắt (\alpha )
  • (*) có vô nghiệm\Leftrightarrow d \, \parallel (\alpha)
  • (*) vô số nghiệm  \Leftrightarrow d \subset (\alpha)

Ví dụ: 

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{\begin{matrix}x=2-t\\y=-3+t\\z=1+t\\\end{matrix}\right. và mặt phẳng (P):m^2x-2my+(6-3m)z-5=0.

Tìm m để d\parallel (P)

Giải:

+) Ta có d đi qua M(2;-3;1) và có VTCP  \vec{u}(-1;1;1)

+) Mặt khác, xét (P) có VTPT \vec{n}\left(m^2;-2m;6-3m\right)

+) Để d song song với (P) thì \left\{\begin{matrix}\vec{u}\bot\vec{n}\\M\notin(P)\\\end{matrix}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\vec{u}\cdot\vec{n}=0\\M\notin(P)\\\end{matrix}\right.\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left(-1\right)\cdot m^2-2m+6-3m=0\\2m^2-2.\left(-3\right)m+6-3m\neq0\ \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}-m^2-5m+6=0\\2m^2-m-4\neq0\\\end{matrix}\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}m=1\\m=-6\\\end{matrix}\right.\right.

Câu trắc nghiệm mã số: 339,332,330,328,326
  • 15 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 12