Lớp 12 Toán 12

Luyện tập Hàm số mũ và hàm số lôgarit (Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Một người gửi vào ngân hàng 200 triệu đồng vào tài khoản tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 0,6%/ tháng, cứ sau mỗi tháng người đó rút ra 500 nghìn đồng. Hỏi sau đúng 36 lần rút tiền thì số tiền còn lại trong tài khoản của người đó gần nhất với phương án nào sau đây? (Biết rằng lãi suất không thay đổi và tiền lại mỗi tháng tính theo số tiền thực tế trong tài khoản của tháng đó?

    Hướng dẫn:

    Số tiền còn lại trong tài khoản sau tháng thứ 1 là: 200.1,006 - 0,5 (triệu đồng)

    Số tiền còn lại trong tài khoản sau tháng thứ 2 là:

    \left( {200.1,006 - 0,5} ight).1,006 - 0,5 = 200.{\left( {1,006} ight)^2} - 0,5\left( {1 + 1,006} ight) (triệu đồng)

    Số tiền còn lại trong tài khoản sau tháng thứ 3 là:

    200.{\left( {1,006} ight)^3} - 0,5\left[ {1 + 1,006 + {{\left( {1,006} ight)}^2}} ight] (triệu đồng)

    Cứ tiếp tục quá trình thì số tiền còn lại trong tài khoản sau tháng thứ 36 là:

    200.{\left( {1,006} ight)^3} - 0,5\left[ {1 + 1,006 + {{\left( {1,006} ight)}^2} + ... + {{\left( {1,006} ight)}^{35}}} ight]

    = 200.{\left( {1,006} ight)^{36}} - 0,5.\frac{{1 - {{\left( {1,006} ight)}^{36}}}}{{1 - 1,006}} = 228,035 (triệu đồng) 

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức P

    Xét các số thực dương x;y thỏa mãn {\log _{\frac{1}{2}}}x + {\log _{\frac{1}{2}}}y - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {y^2}} ight) \leqslant 0. Tìm giá trị nhỏ nhất {P_{\min }} của biểu thức P=x+3y

    Hướng dẫn:

    Theo bài ta có:

    \begin{matrix} {\log _{\frac{1}{2}}}x + {\log _{\frac{1}{2}}}y - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {y^2}} ight) \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}x + {\log _{\frac{1}{2}}}y \leqslant {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {y^2}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {xy} ight) \leqslant {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {y^2}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow xy \geqslant x + {y^2} \hfill \\ \Leftrightarrow x\left( {y - 1} ight) \geqslant {y^2} > 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Mà x > 0 \Rightarrow y - 1 > 0 \Rightarrow y > 1

    => x \geqslant \frac{{{y^2}}}{{y - 1}}. Khi đó ta có:

    P = x + 3y \geqslant \frac{{{y^2}}}{{y - 1}} + 3y;{\text{ }}\left( {y > 1} ight)

    Xét hàm số f\left( y ight) = \frac{{{y^2}}}{{y - 1}} + 3y;{\text{ }}\left( {y > 1} ight) ta có:

    \begin{matrix} f'\left( y ight) = \dfrac{{2y\left( {y - 1} ight) - {y^2}}}{{{{\left( {y - 1} ight)}^2}}} + 3 = \dfrac{{{y^2} - 2y + 3{y^2} - 6y + 3}}{{{{\left( {y - 1} ight)}^2}}} = \dfrac{{4{y^2} - 8y + 3}}{{{{\left( {y - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ f'\left( y ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = \dfrac{3}{2}} \\ {y = \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức P

    Từ bảng biến thiên ta thấy \mathop {\min f\left( y ight)}\limits_{y > 1} = f\left( {\frac{3}{2}} ight) = 9 \Rightarrow P \geqslant 9 \Rightarrow {P_{\min }} = 9

  • Câu 3: Vận dụng
    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Cho các hàm số y = {\log _a}x;{\text{ }}y = {\log _b}x có đồ thị như hình vẽ. Đường thẳng x = 5 cắt trục hoành, đồ thị hàm số y = {\log _a}x và y = {\log _b}x lần lượt tại A,B,C. Biết rằng CB = 2AB. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Mệnh đề nào sau đây đúng

    Hướng dẫn:

    Ta có: A\left( {5;0} ight),B\left( {5;{{\log }_a}5} ight),C\left( {5;{{\log }_b}5} ight)

    Theo bài ra ta có: CB = 2AB

    \begin{matrix} \Leftrightarrow {\log _b}5 - {\log _a}5 = 2{\log _a}5 \hfill \\ \Leftrightarrow {\log _b}5 = 3{\log _a}5 \hfill \\ \Leftrightarrow {\log _b}5 = \dfrac{1}{3}{\log _5}a \hfill \\ \Leftrightarrow a = {b^3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Thông hiểu
    Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương x?

    Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương x?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left( {\log x} ight)' = \frac{1}{{x\ln 10}};\forall x > 0

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Tình thời gian tiêu thụ hết thức ăn dự trữ

    Theo dự định số lượng thức ăn dự trữ của nông trại B sẽ hết sau 100 ngày, nhưng thực tế mức tiêu thụ của vật nuôi tăng thêm 4% mỗi ngày (ngày sau tăng 4% so với ngày trước đó). Hỏi lượng thức ăn dữ trữ thực tế sẽ hết sau khoảng bao nhiêu ngày? (làm tròn đến hàng đơn vị)

    Hướng dẫn:

    Theo dự định, mỗi ngày lượng thức ăn tiêu thụ là:  (lượng thức ăn)

    Lượng thức ăn mà vật nuôi ăn hết ở ngày thứ k là: \frac{1}{{100}}{\left( {1 + 4\% } ight)^{k - 1}};\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} ight) (lượng thức ăn)

    Xác định số tự nhiên n nhỏ nhất để:

    \begin{matrix} \dfrac{1}{{100}} + \dfrac{1}{{100}}{\left( {1 + 4\% } ight)^1} + \dfrac{1}{{100}}{\left( {1 + 4\% } ight)^2} + ... + \dfrac{1}{{100}}{\left( {1 + 4\% } ight)^{n - 1}} \geqslant 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{100}} + \dfrac{1}{{100}}1,04 + \dfrac{1}{{100}}.1,{04^2} + ... + \dfrac{1}{{100}}.1,{04^{n - 1}} \geqslant 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{100}}.\left( {1,04 + 1,{{04}^2} + ... + 1,{{04}^{n - 1}}} ight) \geqslant 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{100}}.\left( {\dfrac{{1,{{04}^{n - 1}} - 1}}{{1,04 - 1}}} ight) \geqslant 1 \hfill \\ \Leftrightarrow 1,{04^{n - 1}} - 1 \geqslant 4 \hfill \\ \Leftrightarrow n - 1 \geqslant {\log _{1,04}}5 \hfill \\ \Leftrightarrow n \geqslant {\log _{1,04}}5 + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow n \geqslant 42,03 \to {n_{\min }} = 43 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Nhận biết
    Tập xác định của hàm số

    Tập xác định của hàm số y = \log {\left( {x - 2} ight)^2} là:

    Hướng dẫn:

    Hàm số y = \log {\left( {x - 2} ight)^2} xác định nếu {\left( {x - 2} ight)^2} > 0 \Leftrightarrow x e 2

    Vậy tập xác định D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 ight\}

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Tính tổng m + n

    Cho a,b,c > 1, biết rằng biểu thức H = {\log _a}\left( {bc} ight) + {\log _b}\left( {ac} ight) + 4{\log _c}\left( {ab} ight) đạt giá trị nhỏ nhất bằng m khi {\log _b}c = n. Tính giá trị của m+n.

    Hướng dẫn:

    Do a,b,c > 1 nên {\log _a}b;{\log _b}c;{\log _c}a > 0

    Ta có:

    \begin{matrix} H = {\log _a}\left( {bc} ight) + {\log _b}\left( {ac} ight) + 4{\log _c}\left( {ab} ight) \hfill \\ H = {\log _a}b + {\log _a}c + {\log _b}a + {\log _b}c + 4{\log _c}a + 4{\log _a}b \hfill \\ H = \left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} ight) + \left( {{{\log }_a}c + 4{{\log }_c}a} ight) + \left( {{{\log }_b}c + 4{{\log }_a}b} ight) \hfill \\ H = \left( {{{\log }_a}b + \dfrac{1}{{{{\log }_a}b}}} ight) + \left( {\dfrac{1}{{{{\log }_c}a}} + 4{{\log }_c}a} ight) + \left( {\dfrac{1}{{{{\log }_b}c}} + 4{{\log }_a}b} ight) \hfill \\ H \geqslant 2\sqrt {{{\log }_a}b.\dfrac{1}{{{{\log }_a}b}}} + 2\sqrt {\dfrac{1}{{{{\log }_c}a}}.4{{\log }_c}a} + 2\sqrt {\dfrac{1}{{{{\log }_b}c}}.4{{\log }_a}b} = 2 + 4 + 4 = 10 \hfill \\ \end{matrix}

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_a}b}}} \\ {\dfrac{1}{{{{\log }_c}a}} = 4{{\log }_c}a} \\ {\dfrac{1}{{{{\log }_b}c}} = 4{{\log }_a}b} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_a}b = 1} \\ {{{\log }_c}a = \dfrac{1}{2}} \\ {{{\log }_b}c = 2} \end{array}} ight.

    Vậy H đạt giá trị nhỏ nhất là 10 khi {\log _b}c = 2 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 10} \\ {n = 2} \end{array}} ight. \Rightarrow m + n = 12

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức N

    Cho hai số thực dương x và y thỏa mãn \ln x + \ln y \geqslant \ln \left( {{x^2} + y} ight). Tính giá trị nhỏ nhất của N = x + y

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \ln x + \ln y \geqslant \ln \left( {{x^2} + y} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow xy \geqslant {x^2} + y \hfill \\ \Leftrightarrow y\left( {x - 1} ight) \geqslant {x^2} \hfill \\ \end{matrix}

    Nếu 0 < x \leqslant 1 \Rightarrow y \geqslant xy \geqslant {x^2} + y \Rightarrow 0 \geqslant {x^2}\left( {ktm} ight)

    Nếu x > 1 thì

    \begin{matrix} \left( {x - 1} ight)y \geqslant {x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow y \geqslant \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}} \Rightarrow N = x + y \geqslant x + \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét hàm số f\left( x ight) = x + \frac{{{x^2}}}{{x - 1}};{\text{ }}\left( {\forall x \in \left( {1; + \infty } ight)} ight) ta có:

    f'\left( x ight) = \frac{{2{x^2} - 4x + 1}}{{{x^2} - 2x + 1}} \Rightarrow f'\left( x ight) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\left( {ktm} ight)} \\ {x = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\left( {tm} ight)} \end{array}} ight.

    Lập bảng biến thiên ta suy ra được \mathop {\min f\left( x ight)}\limits_{\left( {1; + \infty } ight)} = f\left( {\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}} ight) = 2\sqrt 2 + 3

  • Câu 9: Nhận biết
    Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

    Cho hình vẽ:

    Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

    Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

    Hướng dẫn:

     Đồ thị hàm số đi xuống nên hàm số đã cho nghịch biến nên loại hhai hàm số y = {\left( {\sqrt 2 } ight)^x};y = {\left( {\sqrt 3 } ight)^x}

    Đồ thị hàm số đi qua điểm \left( { - 1;3} ight) nên hàm số y = {\left( {\frac{1}{3}} ight)^x} thảo mãn

  • Câu 10: Thông hiểu
    Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

    Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

    Hướng dẫn:

    Ta thấy: y = {2^{ - x}} = {\left( {\frac{1}{2}} ight)^x}

    Do vậy đồ thị của hàm số y = {2^{ - x}} không có tiệm cận đứng

  • Câu 11: Vận dụng
    Có tất cả bao nhiêu cách phân tích số

    Có tất cả bao nhiêu cách phân tích số {15^9} thành tích của ba số nguyên dương, biết rằng các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ được tính một lần?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} {15^9} = {3^9}{.5^9} \hfill \\ \Rightarrow {15^9} = \underbrace {3...3}_9.\underbrace {5...5}_9 \hfill \\ \Rightarrow {15^9} = \underbrace {\underbrace {3...3}_{{a_1}}.\underbrace {5...5}_{{b_1}}}_x.\underbrace {\underbrace {3...3}_{{a_2}}.\underbrace {5...5}_{{b_2}}}_y.\underbrace {\underbrace {3...3}_{{a_3}}.\underbrace {5...5}_{{b_3}}}_z \hfill \\ \end{matrix}

    Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {3^{{a_1}}}{5^{{b_1}}}} \\ {y = {3^{{a_2}}}{5^{{b_2}}}} \\ {z = {3^{{z_1}}}{5^{{z_2}}}} \end{array}} ight. suy ra ta có hệ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} + {a_2} + {a_3} = 9} \\ {{b_1} + {b_2} + {b_3} = 9} \end{array}} ight.

    Xét ba trường hợp:

    Trường hợp 1: Các số x,y,z bằng nhau

    => chỉ có 1 cách chọn

    Trường hợp 2: Trong ba số x,y,z có hai số bằng nhau, giả sử x = y

    =>\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} = {a_2}} \\ {{b_1} = {b_2}} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{a_1} + {a_3} = 9} \\ {2{b_a} + {b_3} = 9} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3} = 9 - 2{a_1}} \\ {{b_3} = 9 - 2{a_1}} \end{array}} ight.

    => Có 5 cách chọn {a_1} và 5 cách chọn {b_1}

    Trường hợp 3: Số cách chọn ba số phân biệt:

    Số cách chọn \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} + {a_2} + {a_3} = 9} \\ {{b_1} + {b_2} + {b_3} = 9} \end{array}} ight. là C_{11}^2.C_{11}^2

    => Số cách chọn ba số phân biệt là C_{11}^2.C_{11}^2 - 24.3 - 1

    Vậy số cách phân tích {15^9} thành tích ba số nguyên dương là \frac{{C_{11}^2.C_{11}^2 - 24.3 - 1}}{{3!}} + 25 = 517

  • Câu 12: Vận dụng
    Bài toán lãi suất

    Bác Thu có 600 triệu đồng mang đi gửi tiết kiện ở hai loại kì hạn khác nhau đều theo thể thức lãi kép. Bác gửi 300 triệu đồng theo kì hạn quý với lãi suất 2,1% một quý, 300 triệu đồng còn lại bác gửi theo kì hạn tháng với lãi suất 0,73%/tháng. Sau khi gửi được đúng một năm, bác rút ra một nửa số tiền ở loại kì hạn quý và gửi vào loại kì hạn theo tháng. Hỏi sau đúng hai năm kể từ khi gửi tiền lần đầu, bác Thu thu về tất cả bao nhiêu tiền lãi (làm tròn đến chữ số hàng nghìn)?

    Hướng dẫn:

     Số tiền bác Thu thu được ở năm thứ nhất là:

    + Gửi kì hạn theo quý: 300.{\left( {1 + {r_1}} ight)^4} = A (triệu đồng)

    + Gửi kì hạn theo tháng: 300.{\left( {1 + {r_2}} ight)^{12}} = B (triệu đồng)

    Số tiền bác Thu thu được ở sau năm thứ hai là:

    + Gửi kì hạn theo quý: \frac{A}{2}{\left( {1 + {r_1}} ight)^4} (triệu đồng)

    + Gửi kì hạn theo tháng: \left( {\frac{A}{2} + B} ight){\left( {1 + {r_2}} ight)^{12}} (triệu đồng)

    Số tiền lãi bác Thu thu được là

    \frac{A}{2}{\left( {1 + {r_1}} ight)^4} + \left( {\frac{A}{2} + B} ight){\left( {1 + {r_2}} ight)^{12}} - 600 \approx 112,219 (triệu đồng)

  • Câu 13: Thông hiểu
    Tìm hàm số tương ứng với đồ thị hàm số

    Hàm số nào sau đây phù hợp với hình vẽ:

    Tìm hàm số tương ứng với đồ thị hàm số

    Hướng dẫn:

     Ta có: y\left( 1 ight) = 0 và hàm số đồng biến trên \left( {0; + \infty } ight) nên chỉ có hàm số y = {\log _{\sqrt 6 }}x thỏa mãn

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tìm tập xác định của hàm số logarit

    Tìm tập xác định của hàm số {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định {x^2} - 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < 1} \\ {x > 2} \end{array}} ight.

    => Tập xác định của hàm số là D = \left( { - \infty ;1} ight) \cup \left( {2; + \infty } ight)

  • Câu 15: Nhận biết
    Hàm số nào nghịch biến trên tập số thực?

    Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực?

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    y = {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2{x^2} + 1} ight);y = {\log _{\frac{1}{2}}}x là các hàm số không xác định trên \mathbb{R}

    Vì \frac{2}{e} < 1 \Rightarrow y = {\left( {\frac{2}{e}} ight)^x} nghịch biến trên \mathbb{R}

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu?

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \left( {m + 3} ight){.16^x} + \left( {2m - 1} ight){.4^x} + m + 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu?

    Hướng dẫn:

     Đặt t = {4^x};t > 0 thì phương trình trở thành \left( {m + 3} ight){t^2} + \left( {2m - 1} ight)t + m + 1 = 0\left( * ight)

    Phương trình ban đầu có hai nghiệm trái dấu tương đương với (*) có hai nghiệm 0 < {t_1} < 1 < {t_2}

    Đặt P\left( t ight) = \left( {m + 3} ight){t^2} + \left( {2m - 1} ight)t + m + 1 khi đó:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 3 e 0} \\ {\left( {m + 3} ight).P\left( 1 ight) < 0} \\ {\left( {m + 3} ight).P\left( 0 ight) > 1} \\ {\dfrac{{{t_1} + {t_2}}}{2} > 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {m + 3} ight)\left( {4m + 3} ight) < 0} \\ {\left( {m + 3} ight)\left( {m + 1} ight) > 0} \\ {\dfrac{{ - \left( {2m - 1} ight)}}{{2\left( {m + 3} ight)}} > 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3 < m < - \dfrac{4}{3}} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < - 3} \\ {m > - 1} \end{array}} ight.} \\ { - 3 < m < \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow - 1 < m < - \frac{3}{4}

     

  • Câu 17: Thông hiểu
    Tìm điều kiện của x để hàm số có nghĩa?

    Tìm điều kiện của x để hàm số y = {\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^\pi } có nghĩa?

    Hướng dẫn:

     Ta có điều kiện xác định {x^2} - 3x + 2 > 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < 1} \\ {x > 2} \end{array}} ight.

  • Câu 18: Nhận biết
    Chọn số mệnh đề đúng

    Cho các mệnh đề sau:

    (i) Cơ số của logarit phải là số dương.

    (ii) Chỉ số thực dương mới có logarit.

    (iii) \ln \left( {A + B} ight) = \ln A + \ln B với mọi A > 0;B > 0.

    (iv) {\log _a}b.{\log _b}c.{\log _c}a = 1 với mọi a,b,c \in \mathbb{R}.

    Số mệnh đề đúng là:

    Hướng dẫn:

    (i) Sai vì cơ số của {\log _a}b chỉ cần thỏa mãn 0 < a e 0

    (ii) Đúng vì điều kiện có nghĩa của {\log _a}b là b > 0

    (iii) Sai vì \ln \left( {A + B} ight) = \ln A.\ln B với mọi A > 0;B > 0

    (iv) Sai vì nếu a,b,c < 0 thì các biểu thức {\log _a}b;{\log _b}c;{\log _c}a không có nghĩa.

  • Câu 19: Nhận biết
    Tìm đạo hàm của hàm số

    Tìm đạo hàm của hàm số y = \ln \left( {1 + {e^{2x}}} ight)

    Hướng dẫn:

    Ta có: y' = \left( {\ln \left( {1 + {e^{2x}}} ight)} ight)' = \frac{{\left( {1 + {e^{2x}}} ight)'}}{{1 + {e^{2x}}}} = \frac{{2{e^{2x}}}}{{{{\left( {{e^{2x}} + 1} ight)}^2}}}

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức T

    Cho a,b là các số thực và hàm số f\left( x ight) = a{\log ^{2019}}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} ight) + b.\sin x.\cos 2018x + 6. Biết f\left( {{{2018}^{\ln 2019}}} ight) = 10. Giá trị của biểu thức T = f\left( { - {{2019}^{\ln 2018}}} ight) là bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

     Xét hàm số g\left( x ight) = f\left( x ight) - 6 = a{\log ^{2019}}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} ight) + b.\sin x.\cos 2018x

    Do \sqrt {{x^2} + 1} + x \geqslant \left| x ight| + x \geqslant 0 nên hàm số g\left( x ight) có tập xác định D = \mathbb{R}

    Với \forall x \in D \Rightarrow - x \in D

    Ta lại có

    \begin{matrix} g\left( { - x} ight) = a{\log ^{2019}}\left( {\sqrt {{{\left( { - x} ight)}^2} + 1} - x} ight) + b.\sin \left( { - x} ight).\cos 2018\left( { - x} ight) \hfill \\ \Rightarrow g\left( { - x} ight) = a{\log ^{2019}}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} ight) - b.\sin x.\cos 2018x \hfill \\ \Rightarrow g\left( { - x} ight) = a{\log ^{2019}}\left( {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}}} ight) - b.\sin x.\cos 2018x \hfill \\ \Rightarrow g\left( { - x} ight) = - a{\log ^{2019}}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} ight) - b.\sin x.\cos 2018x = - g\left( x ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy hàm số g(x) là hàm số lẻ

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{2018}^{\ln 2019}} = {{2019}^{\ln 2018}}} \\ {f\left( {{{2018}^{\ln 2019}}} ight) = 10} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g\left( {{{2018}^{\ln 2019}}} ight) = 4} \\ {g\left( { - {{2018}^{\ln 2018}}} ight) = - g\left( {{{2019}^{\ln 2018}}} ight) = - 4} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow f\left( {{{2019}^{\ln 2018}}} ight) = 2 \hfill \\ \end{matrix}

     

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (25%):
    2/3
  • Thông hiểu (25%):
    2/3
  • Vận dụng (20%):
    2/3
  • Vận dụng cao (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 2 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 12

Đăng nhập