Đề Ôn tập chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian (Dễ)

Câu 1: Vận dụng

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Khoảng cánh giữa hai đường thẳng : ${(d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - y + z + 4 = 0\end{array} ight.$ và $({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 1 = 0\\y + z - 2 = 0\end{array} ight.$ là:

A. $\frac{3}{{\sqrt {31} }}$
B. $\frac{9}{{\sqrt {62} }}$
C. $\frac{9}{{\sqrt {31} }}$
D. $\frac{6}{{\sqrt {62} }}$

Hướng dẫn:

Chuyển d₁ về dạng tham số : $({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - y + z + 4 = 0\end{array} ight. \Rightarrow ({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - t\\z = - 4 - 2t\end{array} ight.$

Qua đó, ta có $A(0,0, - 4) \in ({d_1})$ và 1 vectơ chỉ phương của (d₁): $\overrightarrow a = (1, - 1, - 2)$ .

Chuyển (d₂) về dạng tham số : $({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 1 = 0\\y + z - 2 = 0\end{array} ight. \Rightarrow ({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x = - 5 + 3t\\y = 2 - t\\z = t\end{array} ight.$

Qua đó, ta có $B( - 5,2,0) \in ({d_2})$ và 1 vectơ chỉ phương của $({d_2}):\overrightarrow b (3, - 1,1).$

Áp dụng công thức tính Khoảng cách d₁và d₂ , ta được:

$d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {AB} } ight|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight]} ight|}} = \frac{9}{{\sqrt {62} }}$

.

Câu 2: Thông hiểu

Tính S tam giác

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC, biết $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3, - 1,1} ight);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {2, - 6,6} ight)$ .

Diện tích tam giác ABC bằng?

A. $5\sqrt 2$
B. $20\sqrt 2$
C. $40\sqrt 2$
D. $10\sqrt 2$

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } ight]} ight|$ ,

ta có $\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } ight]} ight| = (0;20;20)$

Suy ra ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{20}^2} + {{20}^2}} = \frac{1}{2}.20\sqrt 2 = 10\sqrt 2$ .

Câu 3: Vận dụng

ABCD là hình gì?

Cho bốn điểm $A\left( { - 1,5, - 10} ight);B\left( {5, - 7,8} ight),C\left( {2,2, - 7} ight)$ và $D\left( {5, - 4,2} ight)$ . Câu nào sau đây đúng? ABDC là:

A. Hình thang
B. Hình chóp
C. Tứ diện đều
D. Hình bình hành

Hướng dẫn:

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {6. - 12,18} ight);\,\,\overrightarrow {CD} = \left( {3, - 6,9} ight) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {CD}$

Do đó $\overrightarrow {AB}$ cùng phương $\overrightarrow {CD} \Rightarrow$ ABDC là hình thang.

Câu 4: Thông hiểu

PT mp qua 2 điểm

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua hai điểm $A(\,\, - 2,\,\,3,\,\,5);\,\,\,B\left( {\, - 4,\,\, - 2,\,\,3\,} ight)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {\,2,\,\, - 3,\,\,4\,} ight)$ .

A. $9x\,\, + \,\,3y\,\, - \,\,z\,\, - \,\,4 = \,\,0$
B. $9x\,\, + \,\,3y\,\, - \,\,z\,\, + \,\,4 = \,\,0$
C. $13x\,\, + \,\,2y\,\, + \,\,8z\,\, + \,\,72 = \,\,0$
D. $13x\,\, - \,\,2y\,\, - \,\,8z\,\, + \,\,72 = \,\,0$

Hướng dẫn:

Theo đề bài ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2, - 5, - 2} ight)$

Như vậy, VTPT của (P) là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương $\Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} } ight] = 2\left( {13, - 2, - 8} ight)$

Mp (P) đi qua $A (-2,3,5)$ và nhận vecto $\vec{n_P}(13, -2, -8)$ làm 1 VTPT có phương trình là:

$\Rightarrow \left( P ight):\left( {x + 2} ight)13 + \left( {y - 3} ight)\left( { - 2} ight) + \left( {z - 5} ight)\left( { - 8} ight) = 0$

$\Leftrightarrow 13x - 2y - 8z + 72 = 0$

Câu 5: Nhận biết

Vecto chỉ phương của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có:

A. 3 vectơ chỉ phương
B. 2 vectơ chỉ phương
C. Vô số vectơ chỉ phương
D. 1 vectơ chỉ phương duy nhất

Hướng dẫn:

Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có vô số vecto chỉ phương.

Câu 6: Vận dụng

Tìm tọa độ điểm D

Cho tam giác ABC có $A\left( { - 3,7,2} ight);\,\,B\left( {3, - 1,0} ight);\,\,\,C\left( {2,2, - 4} ight)$ . Gọi BD và BE lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc B với D và E là chân của hai phân giác này trên AC. Tính tọa độ vectơ $\overrightarrow {BE}$

A. $\left( {4,2,10} ight)$
B. $\left( {4, - 2, - 10} ight)$
C. $\left( { - 2,6, - 8} ight)$
D. $\left( {2, - 6,8} ight)$

Hướng dẫn:

Gọi tọa độ điểm E là $E(x_E; y_E; z_E)$ .

Ta có $\overrightarrow {EA} = 2\overrightarrow {EC} \Rightarrow C$ là trung điểm của AE nên ta tính được tọa độ điểm E lần lượt là:

$\Rightarrow {x_E} = 2{x_C} - {x_A} = 4 + 3 = 7;\,$

$\,{y_E} = 4 - 7 = - 3;\,$

$\,{z_E} = - 8 - 2 = - 10$

$\Rightarrow \overrightarrow {BE} = \left( {7 - 3, - 3 + 1, - 10 - 0} ight) = \left( {4, - 2, - 10} ight)$

Câu 7: Thông hiểu

Mặt phẳng chứa giao tuyến

Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(\alpha)$ chứa giao tuyến của hai mặt phẳng $2x - y + 3z + 4 = 0$ và $x + 3y - 2z + 7 = 0$ , chứa điểm $M\left( { - 1,2,4} ight)$ là:

A. $x + 10y + 9z - 17 = 0$
B. $x + 10y - 9z + 17 = 0$
C. $x - 10y + 9z + 17 = 0$
D. $x - 10y - 9z - 17 = 0$

Hướng dẫn:

Vì mặt phẳng $(\alpha)$ chứa giao tuyến của hai mặt phẳng $2x - y + 3z + 4 = 0$ và $x + 3y - 2z + 7 = 0$ nên thuộc chùm mặt phẳng $2x - y + 3z + 4 + m\left( {x + 3y - 2z + 7} ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {m + 2} ight)x + \left( {3m - 1} ight)y - \left( {2m - 3} ight)z + 7m + 4 = 0\left( * ight)$

Mặt khác, ta có $M \in (\alpha)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (*) \Leftrightarrow \left( {m + 2} ight).\left( { - 1} ight) + \left( {3m - 1} ight).2 - \left( {2m - 3} ight).4 + 7m + 4 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 4m + 12 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m = - 3\end{array}$

Thế vào $(*):\,\,\,\,\,x + 10y - 9z + 17 = 0$ .

Câu 8: Nhận biết

Phương trình tổng quát

Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(\alpha)$ qua điểm $B (3, 4, -5)$ và có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {3,1, - 1} ight),\,\,\,\overrightarrow b = \left( {1, - 2,1} ight)$ là:

A. $x - 4y - 7z - 16 = 0$
B. $x - 4y + 7z + 16 = 0$
C. $x + 4y + 7z + 16 = 0$
D. $x + 4y - 7z - 16 = 0$

Hướng dẫn:

Vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a \overrightarrow {,b} } ight] = \left( { - 1, - 4, - 7} ight)$ có thể thay thế bởi $\overrightarrow n = \left( {1,4,7} ight)$

Phương trình $(\alpha)$ có dạng $x + 4y + 7z + D = 0$

$B \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow 3 + 16 - 35 + D = 0 \Leftrightarrow D = 16$

Vậy $(\alpha): x + 4y +7z +16 = 0$

Câu 9: Thông hiểu

Viết phương trình tham số

Đường thẳng (d): $\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{4}$ có phương trình tham số là:

A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3m\\y = - 1 + 2m\\z = 4 - 4m\end{array} ight.\,\,;m \in \mathbb{R}$
B. $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 3t\\y = 1 - 2t\\z = - 4 + 4t\end{array} ight.\,\,;t \in \mathbb{R}$
C. $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 3\tan t\\y = 1 - 2\tan t\\z = - 4 + 4\tan t\end{array} ight.\,\,;t \in \mathbb{R}$
D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3\cos t\\y = - 1 + 2\cos t\\z = - 4 - 4\cos t\end{array} ight.\,\,;t \in \mathbb{R}$

Hướng dẫn:

Ta có đường thẳng (d) qua A ( 2, -1, 4) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a = \left( {3, - 2,4} ight) = - \left( { - 3,2, - 4} ight)$ có phương trình tham số là:

=> (d) $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3m\\y = - 1 + 2m\\z = 4 - 4m\end{array} ight.\,\,;m \in \mathbb{R}$

Câu 10: Vận dụng

Viết PT mp

Cho hai điểm $A\left( { - 2,3, - 1} ight),B\left( {1, - 2, - 3} ight)$ và mặt phẳng $\left( \beta ight):3x - 2y + z + 9 = 0.$ Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng $(\beta)$ có phương trình:

A. $x + y - z - 2 = 0$
B. $x + y + z - 2 = 0$
C. $x - y - z - 2 = 0$
D. $x - y + z - 2 = 0$

Hướng dẫn:

Theo đề bài, ta có: $A\left( { - 2,3, - 1} ight),B\left( {1, - 2, - 3} ight)$ ; $\left( \beta ight):3x - 2y + z + 9 = 0.$

Suy ra $\overrightarrow {AB} = \left( {3, - 5, - 2} ight)$ ; $(\beta)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {3, - 2,1} ight)$

Ta có $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } ight] = \left( { - 9, - 9,9} ight)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow p = \left( {1,1, - 1} ight)$

Chọn $\vec{p}$ làm 1 vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng $(\alpha)$ .

Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng: $x + y - z + D = 0$

$A \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow - 2 + 3 + 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 2$

Mặt phẳng : $(\alpha): x + y - z - 2 = 0$

Câu 11: Nhận biết

Chọn câu đúng?

Cho 3 vectơ $\vec a,\,\,\vec b,\,\,\,\vec c$ đều khác $\vec{0}$ . Ba vectơ $\vec a,\,\,\vec b,\,\,\,\vec c$ đồng phẳng khi và chỉ khi:

A. Cả 3 đáp án trên đều sai
B. $\vec{a}$ trong mặt phẳng (R), $\vec{b}$ và $\vec{c}$ có giá cùng vuông góc với (R)
C. $\vec a,\,\,\vec b,\,\,\,\vec c$ có giá chéo nhau
D. $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có giá cùng vuông góc với $\vec{c}$

Hướng dẫn:

Áp dụng Điều kiện để 3 vecto đồng phẳng là:

$\vec a,\,\,\vec b,\,\,\,\vec c$ cùng vuông góc với $\vec{d} eq\vec{0}$ và $\vec{d}$ có giá vuông góc với mp(P)

Câu 12: Thông hiểu

PT Mặt phẳng trung trực

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB với $A\left( {\,1,\,\,4,\,\,3\,} ight);\,\,B\left( {\,3,\,\, - 6,\,\,5\,} ight).$

A. $x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,z\,\, + 11 = \,\,0$
B. $x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,z\,\, - 11 = \,\,0$
C. $x\,\, - \,\,5y\,\, + \,\,z\,\, - 1 = \,\,0$
D. $x\,\, - \,\,5y\,\, + \,\,z\,\, - 11 = \,\,0$

Hướng dẫn:

Vì I là trung điểm của đoạn AB nên ta có tọa độ điểm I là: $I\left( {2, - 1,4} ight)$

Mặt khác, ta lại có (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB nên (P) nhận $\vec{AB}$ làm 1 VTPT. Ta có VTPT của $\left( P ight):\,\,\overrightarrow {AB} = 2\left( {1, - 5,1} ight)$

$\Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 2} ight)1 + \left( {y + 1} ight)\left( { - 5} ight) + \left( {z - 4} ight).1 = 0$

$\Leftrightarrow x - 5y + z - 11 = 0$

Câu 13: Vận dụng

Tọa độ của D

Cho tam giác ABC có $A\left( { - 3,7,2} ight);\,\,B\left( {3, - 1,0} ight);\,\,\,C\left( {2,2, - 4} ight)$ . Gọi BD và BE lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc B với D và E là chân của hai phân giác này trên AC. Tính tọa độ của D.

A. $\left( { - \frac{2}{3},2, - \frac{8}{3}} ight)$
B. $\left( {\frac{2}{3}, - 2,\frac{8}{3}} ight)$
C. $\left( { - \frac{1}{3},\frac{{11}}{3},2} ight)$
D. $\left( {\frac{1}{3},\frac{{11}}{3}, - 2} ight)$

Gợi ý:

Áp dụng kiến thức: Bình phương tích vô hướng bằng bình phương độ dài

Hướng dẫn:

Theo đề bài, ta có: . $\overrightarrow {AB} (6, - 8, - 2);\,\,\overrightarrow {BC} ( - 1,3, - 4)$

Áp dụng kiến thức: Bình phương tích vô hướng bằng bình phương độ dài, được:

$\left. \begin{array}{l}\overrightarrow {A{B^2}} = A{B^2} = 36 + 64 + 4 = 104 \Rightarrow AB = 2\sqrt {26} \\{\overrightarrow {BC} ^2} = B{C^2} = 1 + 9 + 16 = 26 \Rightarrow BC = \sqrt {26} \end{array} ight\} \Rightarrow \frac{{BA}}{{BC}} = 2$

Mặt khác, D chia đoạn AC theo tỉ số $k = - 2$

Tọa đô của D là:

$x = \frac{{{x_A} - k{x_C}}}{{1 - k}} = \frac{{ - 3 + 4}}{3} = \frac{1}{3};\,$

$\,y = \frac{{7 + 4}}{3} = \frac{{11}}{3};\,$

$\,z = \frac{{2 - 8}}{3} = - 2$ .

Câu 14: Nhận biết

Điều kiện 3 vecto đồng phẳng

Cho 3 vectơ $\vec a,\,\,\vec b,\,\,\,\vec c$ đều khác $\vec{0}$ . Ba vectơ $\vec a,\,\,\vec b,\,\,\,\vec c$ đồng phẳng khi và chỉ khi:

A. $\exists m,\,\,n,\,\,p\,\, \in \mathbb{R} :\,\,m\vec a + n\vec b + p\vec c = 0$
B. $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng nằm trong mặt phẳng (Q) và $\vec c$ có giá vuông góc (Q)
C. $\vec a,\,\,\vec b,\,\,\,\vec c$ cùng vuông góc với $\vec{d} eq\vec{0}$ và $\vec{d}$ có giá vuông góc với mp(P)
D. Cả 3 điều kiện trên thỏa mãn

Gợi ý:

Áp dụng điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ trong không gian.

Hướng dẫn:

Ta có: $m, n, p eq 0$ theo điều kiện để 3 vectơ nên suy ra này sai.

Theo điều kiện đồng phẳng, nếu $\vec a,\,\,\vec b,\,\,\,\vec c$ cùng vuông góc với $\vec{d}$ và $\vec{d}$ vuông góc với thì giá của $\vec a,\,\,\vec b,\,\,\,\vec c$ cùng song song với (P) . Suy ra đáp án này đúng.

Từ đây ta loại tiếp được đáp án: Cả 3 điều kiện trên thỏa mãn

Nếu xét tiếp đáp án:

$\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng nằm trong mặt phẳng (Q) và $\vec c$ có giá vuông góc (Q)

thì khi có và cùng nằm trong mặt phẳng (Q) và có giá vuông góc (Q) nên sẽ nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa và là mặt phẳng (Q).

Suy ra chúng không đồng phẳng.

Câu 15: Nhận biết

Viết phương trình chính tắc

Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) qua $M\left( {\,{x_0},\,\,{y_0},\,\,{z_0}} ight)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {\,{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3}} ight)$ với ${a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3} e 0$ có phương trình chính tắc là:

A. $\frac{{{x_0}\, - \,x}}{{{a_1}}} = \frac{{{y_0}\, - \,y}}{{{a_2}}} = \frac{{{z_0}\, - \,z}}{{{a_3}}}$
B. $\frac{{x\, + \,{x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y\, + \,{y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z\, + \,{z_0}}}{{{a_3}}}$
C. $\frac{{x\, - \,{x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_0}}}{{{a_3}}}$
D. $\frac{{x\, - \,{x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_0}}}{{{a_3}}}$

Hướng dẫn:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) qua $M\left( {\,{x_0},\,\,{y_0},\,\,{z_0}} ight)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {\,{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3}} ight)$ với ${a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3} e 0$ có phương trình chính tắc là:

$\frac{{x\, - \,{x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_0}}}{{{a_3}}}$

Câu 16: Nhận biết

Chọn câu đúng?

Cho 3 vectơ $\vec a,\,\,\vec b,\,\,\,\vec c$ đều khác $\vec{0}$ . Ba vectơ $\vec a,\,\,\vec b,\,\,\,\vec c$ đồng phẳng khi và chỉ khi (có thể chọn 2 đáp án):

A. Hệ phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}m{b_1} + n{c_1} = {a_1}\\m{b_2} + n{c_2} = {a_2}\\m{b_3} + n{c_3} = {a_3}\end{array} ight.$ có nghiệm m, n
B. $\forall \vec V,\,\,\exists \alpha ,\,\beta ,\,\,\gamma \in \mathbb{R}:\vec V = \alpha \vec a + \beta \vec b + \gamma \vec c$
C. Không có câu nào đúng
D. Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}m{b_1} + n{c_1} + p{c_1} = 0\\m{b_2} + n{c_2} + p{c_2} = 0\\m{b_3} + n{c_3} + p{c_3} = 0\end{array} ight.$ có nghiệm m, n, p khác 0

Hướng dẫn:

Áp dụng Điều kiện để 3 vecto đồng phẳng là:

$\vec a,\,\,\vec b,\,\,\,\vec c$ cùng vuông góc với $\vec{d} eq \vec{0}$ và có giá vuông góc với mp(P)

Câu 17: Vận dụng

Hình lăng trụ ABCDEF

Cho hình lăng trụ ABCDEF.

Gọi M, N, G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của DE, DF, AE, CE, CD, BC, BE.

Có nhận xét gì về bộ ba vecto $\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {GI} ,\overrightarrow {KH}$ ?

Bằng nhau || Đồng phẳng || Bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau, đồng phẳng

Đáp án là:

Cho hình lăng trụ ABCDEF.

Gọi M, N, G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của DE, DF, AE, CE, CD, BC, BE.

Có nhận xét gì về bộ ba vecto $\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {GI} ,\overrightarrow {KH}$ ?

Bằng nhau || Đồng phẳng || Bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau, đồng phẳng

Hình lăng trụ

Theo giả thiết đề bài đã cho, M và N lần lượt là trung điểm của DE và DF

Suy ra, MN là đường trung bình trong tam giác DEF: $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {EF} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}$

Tương tự: $\overrightarrow {GI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}$ và $\overrightarrow {KH} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}$

Vậy $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {GI} = \overrightarrow {KH} \Rightarrow$ $\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {GI} ,\overrightarrow {KH}$ đồng phẳng và bằng nhau.

Câu 18: Vận dụng

Viết PT mp qua giao tuyến 2 mp

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( Q ight):2x - y + z + 2 = 0;\,\,\,\,\,\,\left( R ight):x + y - z - 3 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( S ight):x - 3y + z - 4 = 0$

A. $x + 4y - z - 4 = 0$
B. $4x - y - z + 4 = 0$
C. $4x + y - z - 4 = 0$
D. $x - 4y - z + 4 = 0$

Hướng dẫn:

Theo đề bài, $(P)$ qua giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( Q ight):2x - y + z + 2 = 0;\,\,\,\,\,\,\left( R ight):x + y - z - 3 = 0$ nên $(P)$ có dạng là

$\begin{array}{l}\left( P ight):2x - y + z + 2 + m\left( {x + y - z - 3} ight) = 0,\,\,m \in \mathbb{R} \\ \Leftrightarrow \left( P ight):\left( {m + 2} ight)x + \left( {m - 1} ight)y + \left( {1 - m} ight)z + 2 - 3m = 0\end{array}$

Chọn $\vec{n}$ làm vectơ pháp tuyến của $(P)$ , ta có: $\left( P ight):\overrightarrow n = \left( {m + 2,m - 1,1 - m} ight) \bot \overrightarrow {{n_s}} = \left( {1, - 3,1} ight)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {m + 2} ight)1 + \left( {m - 1} ight)\left( { - 3} ight) + \left( {1 - m} ight)1 = 0 \Leftrightarrow m = 2\\ \Rightarrow \left( P ight):4x + y - z - 4 = 0\end{array}$

Câu 19: Thông hiểu

Viết phương trình tham số

Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua I (-1, 5, 2) và song song với trục x'Ox:

A. Hai câu A và C
B. $\left\{ \begin{array}{l}x = - m\\y = 5m\\z = 2m\end{array} ight.\,\,;m \in \mathbb{R}$
C. $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = 10t\\z = 4t\end{array} ight.\,\,\,;t \in \mathbb{R}$
D. $\left\{ \begin{array}{l}x = t - 1\\y = 5\\z = 2\end{array} ight.\,\,\,;t \in \mathbb{R}$

Hướng dẫn:

Theo đề bài, ta có (d) // x’Ox nên (d) có vecto chỉ phương là $\overrightarrow {{e_1}} = \left( {1,0,0} ight)$

Như vậy, (d) qua I (-1, 5, 2) và nhận làm 1 VTCP $\overrightarrow {{e_1}} = \left( {1,0,0} ight)$ có PTTS là:

(d): $\left\{ \begin{array}{l}x = t - 1\\y = 5\\z = 2\end{array} ight.\,\,\,;t \in \mathbb{R}$

Câu 20: Vận dụng

Viết PT tổng quát

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a; AD = b; AE = c trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với $O;\,\,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE}$ lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, DH. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng MN.

A. $\left\{ \begin{array}{l}2ax - 2by - ab = 0\\2ax - cz + 2ac = 0\end{array} ight.\,\,$
B. $\left\{ \begin{array}{l}2bx - 2ay - ab = 0\\2cx - az - ac = 0\end{array} ight.\,\,$
C. $\left\{ \begin{array}{l}2bx + 2ay - ab = 0\\2cx - az - 2ac = 0\end{array} ight.\,\,$
D. $\left\{ \begin{array}{l}2bx - 2ay - ab = 0\\2cx + az - 2ac = 0\end{array} ight.\,\,$

Hướng dẫn:

Theo đề bài, ta biểu diễn được tọa độ các trung điểm M và N theo a, b, c lần lượt là:

$M\left( {a,\frac{b}{2},0} ight);\,\,\,N\left( {\frac{a}{2},0,c} ight) = > \,\,\overrightarrow {MN} = \left( { - \frac{a}{2}, - \frac{b}{2},c} ight)$

(MN) là đường thẳng đi qua M và nhận vecto $\overrightarrow {MN}$ là 1 VTCP có PT là:

$= > \frac{{2\left( {x - a} ight)}}{{ - a}} = \frac{{2y - b}}{{ - b}} = \frac{z}{c} = > \left\{ \begin{array}{l}2bx - 2ay - ab = 0\\2cx + az - 2ac = 0\end{array} ight.$

Câu 21: Thông hiểu

Tọa độ của D

Xét trong không gian Oxyz cho tam giác ABC.

Biết $A\left( {2,4, - 3} ight);\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 3, - 1,1} ight);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {2, - 6,6} ight)$ , hãy tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành?

A. $\left( {7 - ,1,2} ight)$
B. $\left( {1, - 3,4} ight)$
C. $\left( {-1, 3,-4} ight)$
D. $\left( { - 7,1, - 2} ight)$

Hướng dẫn:

Gọi $D\left( {x,y,z} ight)$ là tọa độ của điểm cần tìm.

Để ABCD là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - {x_A} = 2 + 3\\y - {y_A} = - 6 + 1\\z - {z_A} = 6 - 1\end{array} ight. \Rightarrow D\left( {7; - 1;2} ight)$

Câu 22: Nhận biết

Phương trình tổng quát

Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua $A(2,-1,3), B (3, 1, 2)$ và song song với vectơ $\overrightarrow a = \left( {3, - 1, - 4} ight)$ là:

A. $9x+y-7z+40=0$
B. $9x+y+7z-40=0$
C. $9x-y+7z-40=0$
D. $9x-y-7z+40=0$

Hướng dẫn:

Theo đề bài, ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1,2, - 1} ight);\left[ {\overrightarrow {AB} \overrightarrow {,a} } ight] = \overrightarrow n = \left( { - 9,1, - 7} ight)$

Chọn $\overrightarrow n = \left( {9, - 1,7} ight)$ làm 1 vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng : $9x - y + 7z + D = 0$

Mà mp lại qua A nên $9.2 - ( - 1) + 7.3 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 40$

Phương trình cần tìm là: $9x - y + 7z - 40 = 0$ .

Câu 23: Thông hiểu

Tam giác ABC đều cần?

Cho ba điểm $A\left( {3,1,0} ight);\,\,\,B\left( {2,1, - 1} ight);\,\,\,C\left( {x,y, - 1} ight)$ . Tìm tọa độ của C để ABC là tam giác đều?

A. $\left( {3,0, - 1} ight)$
B. $\left( {-3,-2, 1} ight)$ ; $\left( {3,0, - 1} ight)$
C. $\left( {3,2, - 1} ight)$
D. $\left( {3,2, - 1} ight)$ ; $\left( {3,0, - 1} ight)$

Gợi ý:

Áp dụng tích chất tam giác ABC đều có $AB=AC=BC$ rồi xét hệ.

Hướng dẫn:

Tam giác ABC đều

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = AB\\BC = AB\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 9 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 ight)\\{x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 ight)\end{array} ight.\\\left( 2 ight) - \left( 1 ight):2x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \Rightarrow {y^2} - 2y = 0 \Leftrightarrow y = 2 \vee y = 0\end{array}$

Suy ra tọa độ điểm C là có 2 nghiệm C thỏa mãn:

$C\left( {3;2; - 1} ight);C'\left( {3;0; - 1} ight)$

Câu 24: Thông hiểu

Hai đường thẳng cắt nhau

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng:

A. (4, 1, 0)
B. (0, - 4, 0)
C. (0, 4, 1)
D. (0, - 4, - 1)

Hướng dẫn:

Theo đề bài, ta biến đổi được (b) có dạng:

$\begin{array}{l}\left( b ight):\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\\ \Rightarrow \frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 1}}{2} = t\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 2t\\y + 3 = t\\z - 1 = 2t\end{array} ight.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 3 + t\\z = 1 + 2t\end{array} ight.\end{array}$

Thay x, y, z vào phương trình x+2y+z =9 , ta có:

=> Tọa độ giao điểm của (a) và (b): A (0, - 4, - 1)

Câu 25: Vận dụng

Góc giữa 2 đường thẳng

Tính góc của hai đường thẳng $\left( {d'} ight):\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{{z + 2}}{4}$ và $\left( d ight):x = 3 + 2t;\,\,y = 2t - 4;\,\,z = 2\,\,\,\left( {t \in R} ight)$ .

A. $30^0$
B. $45^0$
C. $75^0$
D. $60^0$

Hướng dẫn:

Theo đề bài, ta có (d’) và (d) có vec-tơ chỉ phương lần lượt là: $\overrightarrow a = \left( {2,4,4} ight);\overrightarrow b = \left( {2,2,0} ight)$

Áp dụng công thức cosin của góc giữa 2 đường thẳng, ta có:

$\Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\left| {2.2 + 4.2 + 4.0} ight|}}{{6.2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = {45^0}$

Câu 26: Vận dụng

Phương trình đường trung trực

Cho tam giác ABC có $A\left( {3, - 1, - 1} ight);\,\,\,\,B\left( {1,2, - 7} ight);\,\,\,\,C\left( { - 5,14, - 3} ight)$ . Viết phương trình tổng quát của đường trung trực (d) của cạnh BC của tam giác ABC.

A. $\left\{ \begin{array}{l}42x + 22y - 3z - 107 = 0\\3x - 6y - 2z + 44 = 0\end{array} ight.$
B. $\left\{ \begin{array}{l}42x + 22y - 3z + 107 = 0\\3x + 6y - 2z + 44 = 0\end{array} ight.$
C. $\left\{ \begin{array}{l}42x + 22y + 3z + 107 = 0\\3x + 6y + 2z - 44 = 0\end{array} ight.$
D. $\left\{ \begin{array}{l}42x - 22y - 3z + 107 = 0\\3x + 6y - 2z - 44 = 0\end{array} ight.$

Hướng dẫn:

Theo đề bài, ta tính được $\overrightarrow {BA} = \left( {2, - 3,6} ight),\overrightarrow {BC} = 2\left( { - 3,6,2} ight)$

Từ đó, suy ra VTPT của mặt phẳng (ABC) là: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } ight] = - \left( {42,22, - 3} ight)$

Phương trình (ABC) là:

$\begin{array}{l}\left( {x - 3} ight)42 + \left( {y + 1} ight)22 + \left( {z + 1} ight)\left( { - 3} ight) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {ABC} ight):42x + 22y - 3z - 107 = 0\end{array}$

Mặt khác, ta có M là trung điểm của BC nên M có tọa độ là M (-2, 8, -5)

Phương trình mặt phẳng trung trực (P) của cạnh BC là:

$\left( P ight):\,\,\left( {x + 2} ight)\left( { - 3} ight) + \left( {y - 8} ight)6 + \left( {z + 5} ight)2 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( P ight):3x - 6y - 2z + 44 = 0\\ \Rightarrow \left( d ight):42x + 22y - 3z - 107 = 0;\,\,3x - 6y - 2z + 44 = 0\end{array}$

Phương trình tổng quát của đường trung trực (d) của cạnh BC:

$(d):\,\,\left\{ \begin{array}{l}42x + 22y - 3z - 107 = 0\\3x - 6y - 2z + 44 = 0\end{array} ight.$

Câu 27: Nhận biết

Hai đường thẳng cắt nhau

Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz: $\left( D ight):\,\frac{{x\, - \,{x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_1}}}{{{a_3}}}$ , $\left( d ight):\,\frac{{x\, - \,{x_2}}}{{{b_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_2}}}{{{b_3}}}$ . Với ${a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3},\,\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3} e \,0$ . Gọi $\overrightarrow a = \left( {\,{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3}} ight);\,\,\overrightarrow b = \left( {\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3}} ight)$ và $\overrightarrow {AB} = \left( {\,{x_2}\, - \,{x_1},\,\,{y_2}\, - \,{y_1},\,\,{z_2}\, - \,{z_1}} ight)$ . (D) và (d) cắt nhau khi và chỉ khi:

A. $\left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b } ight].\,\overrightarrow {AB} \, = \,\,0\\{a_1} e {a_2} e {a_3} e \,{b_1} e {b_2} e {b_3}\end{array} ight.$
B. $\left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b } ight].\,\overrightarrow {AB} \, e \,\,0\\{a_1}:\,{a_2}:{a_3} = \,\,{b_1}:{b_2}:{b_3}\end{array} ight.$
C. $\left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b } ight].\,\overrightarrow {AB} \, = \,\,0\\{a_1}:\,{a_2}:{a_3} e \,\,{b_1}:{b_2}:{b_3}\end{array} ight.$
D. $\left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b } ight].\,\overrightarrow {AB} \, e \,\,0\\{a_1} = \,{a_2} = {a_3} = \,{b_1} = {b_2} = {b_3}\end{array} ight.$

Hướng dẫn:

Để xét điều kiện (D) và (d) cắt nhau ta cẩn kiểm tra rằnng (D) và d cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:

$\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {AB} = 0 \Rightarrow \left( D ight)$ và (d) cùng nằm trong một mặt phẳng

Để (D) và d cắt nhau, ta sẽ xét tỉ số sau:

${a_1}:{a_2}:{a_3} e {b_1}:{b_2}:{b_3} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} e \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} e \frac{{{a_3}}}{{{b_3}}} \Rightarrow \left( D ight)$

và (d) cắt nhau.

Câu 28: Nhận biết

Mệnh đề đúng

Câu nào sau đây đúng? Trong không gian Oxyz:

A. Hai mặt phẳng (P) và (Q) có cùng một vecto pháp tuyến thì chúng song song .
B. Mỗi mặt phẳng chỉ có một vecto pháp tuyến duy nhất.
C. Hai câu A và B
D. Một mặt phẳng được xác định nếu biết một điểm và một vecto pháp tuyến của nó.

Hướng dẫn:

A sai và có thể (P) và (Q) trùng nhau

B sai, vì mỗi mặt phẳng có vô số vecto pháp tuyến. Suy ra D sai.

C đúng vì 1 mặt phẳng được xác định nếu biết một điểm và một VTPT của nó.

Câu 29: Vận dụng

Viết PT mp

Cho tam giác ABC với $A\left( {\,1,\,\, - 2,\,\,6\,} ight);\,\,B\left( {\,2,\,\,5,\,\,1} ight);\,\,C\left( {\, - 1,\,\,8,\,\,4} ight)$ . Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $(R)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ song song phân giác ngoài AF của góc A?

A. $x\,\, - \,\,23y\,\, + \,\,10z\,\, - 108 = \,\,\,0$
B. $x\,\, - \,\,3y\,\, - \,\,z = \,\,0$
C. $x\,\, + \,\,3y\,\, + \,\,z = \,\,0$
D. $3x\,\, - \,\,z = \,\,0$

Hướng dẫn:

Một vecto chỉ phương của $(R)$ là $\overrightarrow n = 12\left( {3,1,2} ight)$

Ta có :

$\begin{array}{l}A{B^2} = 75 \Rightarrow AB = 5\sqrt 3 ;A{C^2} = 108 \Rightarrow AC = 6\sqrt 3 \\6\overrightarrow {FB} = 5\overrightarrow {FC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6\left( {2 - x} ight) = 5\left( { - 1 - x} ight)\\6\left( {5 - y} ight) = 5\left( {8 - y} ight)\\6\left( {1 - z} ight) = 5\left( {4 - z} ight)\end{array} ight. \Rightarrow F\left\{ \begin{array}{l}x = 17\\y = - 10\\z = - 14\end{array} ight.\end{array}$

Vecto chỉ phương thứ hai $\overrightarrow {AF} = 4\left( {4, - 2, - 5} ight)$

Suy ra vecto pháp tuyến của $(R)$ là $\overrightarrow N = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {AF} } ight] = \left( { - 1,23, - 10} ight)$

Mp $(R)$ đi qua $A (1, -2, 6)$ và nhận vecto $(-1, 23, -10)$ làm 1 VTPT có phương trình là:

$\Rightarrow \left( R ight):\left( {x - 1} ight)\left( { - 1} ight) + \left( {y + 2} ight)23 + \left( {z - 6} ight)\left( { - 10} ight) = 0$

$\Leftrightarrow x - 23y + 10z - 108 = 0$

Câu 30: Vận dụng

Viết PT mp chứa BC và song song AD

Cho tứ diện ABCD có $A\left( {5,1,3} ight),B\left( {1,6,2} ight),C\left( {5,0,4} ight),D\left( {4,0,6} ight)$ . Mặt phẳng chứa BC và song song với AD có phương trình :

A. $8x - 7y + 5z - 60 = 0$
B. $8x - 7y - 5z - 60 = 0$
C. $8x + 7y - 5z - 60 = 0$
D. $8x + 7y + 5z - 60 = 0$

Hướng dẫn:

Theo đề bài, từ các điểm $A\left( {5,1,3} ight),B\left( {1,6,2} ight),C\left( {5,0,4} ight),D\left( {4,0,6} ight)$ , ta tính được các vecto tương ứng là: $\overrightarrow {BC} = \left( {4, - 6,2} ight);\overrightarrow {AD} = \left( { - 1, - 1,3} ight)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} } ight] = \left( { - 16, - 14, - 10} ight)$ cùng phương với $\overrightarrow n = \left( {8,7,5} ight)$

Chọn $\vec{n}$ làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa BC và song song với AD.

Phương trình (P) có dạng: $8x + 7y + 5z + D = 0$

Mặt khác, điểm $B \in \left( P ight) \Leftrightarrow 8 + 42 + 10 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 60$

Vậy phương trình $(P): 8x + 7y + 5z - 60 = 0$ .

Đề Ôn tập chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian (Dễ)

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Nội dung cùng chủ đề

Đề Ôn tập chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian (Khó)

Đề Ôn tập chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian (Trung bình)

Toán 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Luyện tập (Dễ)

Luyện tập (Trung bình)

Luyện tập (Khó)

Bài 2: Cực trị của hàm số

Cực trị của hàm số

Công thức tính nhanh cực trị

Luyện tập (Dễ)

Luyện tập (Trung bình)

Luyện tập (Khó)

Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Luyện tập (Dễ)

Luyện tập (Trung bình)

Luyện tập (Khó)

Bài 4: Đường tiệm cận

Đường tiệm cận

Luyện tập (Dễ)

Luyện tập (Trung bình)

Luyện tập (Khó)

Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Sự tương giao giữa các đồ thị và các phương pháp giải

Luyện tập (Dễ)

Luyện tập (Trung bình)

Luyện tập (Khó)

Trắc nghiệm Ôn tập Chương 1

Đề Ôn tập chương 1 (Dễ)

Đề Ôn tập chương 1 (Trung bình)

Đề Ôn tập chương 1 (Khó)

Đề kiểm tra 15 phút

Đề kiểm tra 45 phút

Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 1: Lũy thừa

Lũy thừa

Luyện tập (Dễ)

Luyện tập (Trung bình)

Luyện tập (Khó)

Bài 2: Hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa

Luyện tập (Dễ)

Luyện tập (Trung bình)

Luyện tập (Khó)

Bài 3: Lôgarit

Lôgarit

Luyện tập (Dễ)

Luyện tập (Trung bình)

Luyện tập (Khó)

Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Hàm số mũ

Hàm số lôgarit

Luyện tập (Dễ)

Luyện tập (Trung bình)

Luyện tập (Khó)

Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Phương trình mũ

Phương trình Lôgarit

Luyện tập (Dễ)

Luyện tập (Trung bình)

Luyện tập (Khó)

Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Bất phương trình mũ

Bất phương trình lôgarit

Luyện tập (Dễ)

Luyện tập (Trung bình)

Luyện tập (Khó)

Trắc nghiệm Ôn tập Chương 2

Đề Ôn tập chương 2 (Dễ)

Đề Ôn tập chương 2 (Trung bình)

Đề Ôn tập chương 2 (Khó)

Đề kiểm tra 15 phút Hàm số lũy thừa

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng