Lớp 12 Toán 12

Phương trình mặt cầu

Bài học Lí thuyết toán 12: Phương trình mặt cầu bao gồm các dạng phương trình mặt cầu, vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng, đường thẳng. Bên cạnh đó, bài học kèm theo một số ví dụ bài tập có hướng dẫn giải chi tiết, xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia.

1. Khái niệm mặt cầu

Định nghĩa:

Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R. 

Kí hiệu:

S\left( {I;R} \right) \Rightarrow S\left( {I;R} \right) = \left\{ {M/IM = R} \right\}{\rm{ }}

phương trình mặt cầu

2. Các dạng phương trình mặt cầu

Dạng 1: Phương trình chính tắc

Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), bán kính R>0 có phương trình là:

\boxed{{\text{ }}\left( S \right):{\text{ }}{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} + {{\left( {z - c} \right)}^2} = {R^2}{\text{ }}}

Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:

a) (S) có tâm I\left( {2;2; - 3} \right) và bán kính R=3

Giải:

Mặt cầu (S) tâm I\left( {2;2; - 3} \right) và bán kính R=3 , có phương trình:(S): {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9

b) (S) qua A\left( {3;1;0} \right),{\text{ }}B\left( {5;5;0} \right) và tâm I thuộc trục Ox.

Giải:

Gọi I\left( {a;0;0} \right) \in Ox. Ta có: \overrightarrow {IA} = \left( {3 - a;1;0} \right),{\text{ }}\overrightarrow {IB} = \left( {5 - a;5;0} \right)

Do (S) đi qua A, B \Leftrightarrow IA = IB \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3 - a} \right)}^2} + 1} = \sqrt {{{\left( {5 - a} \right)}^2} + 25}

\Leftrightarrow 4a = 40 \Leftrightarrow a = 10

\Rightarrow I\left( {10;0;0} \right) và IA = 5\sqrt 2.

Mặt cầu tâm  I\left( {10;0;0} \right) và bán kính R = 5\sqrt 2, có phương trình (S):{\left( {x - 10} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 50

Dạng 2: Phương trình tổng quát

Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) có phương trình là:

\boxed{{\text{ }}(S):{\text{ }}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0{\text{ }}}

 

  • Điều kiện để có phương trình mặt cầu là:

\boxed{{\text{ }}{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0{\text{ }}}

  • (S) có tâm I(a;b;c)
  • (S) có bán kính: R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}

Ví dụ: 

Viết phương trình mặt cầu (S) biết :

(S) qua bốn điểm A\left( {1;2; - 4} \right),{\text{ }}B\left( {1; - 3;1} \right),{\text{ }}C\left( {2;2;3} \right),{\text{ }}D\left( {1;0;4} \right).

Giải:

Gọi phương trình mặt cầu (S) : {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0, \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right) .

Do  A\left( {1;2; - 4} \right) \in \left( S \right) \Leftrightarrow - 2a - 4b + 8c + d = - 21     (1)

Tương tự:

B\left( {1; - 3;1} \right) \in \left( S \right) \Leftrightarrow - 2a + 6b - 2c + d = - 11     (2)

C\left( {2;2;3} \right) \in \left( S \right) \Leftrightarrow - 4a - 4b - 6c + d = - 17     (3)

D\left( {1;0;4} \right) \in \left( S \right) \Leftrightarrow - 2a - 8c + d = - 17    (4)

Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a=-2; b= 1; c=0; d=-21, suy ra phương trình mặt cầu (S): {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2.(-2).x - 2.1.y - 2.0.z - 21 = 0

\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y - 21 = 0

hay {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 26

Câu trắc nghiệm mã số: 761,793,772

3. Vị trí tương đối

3.1. VTTĐ giữa mặt cầu và mặt phẳng :

Cho mặt cầu S(I;R) và mặt phẳng (P) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) \Rightarrow {\text{ }}d = IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P). Khi đó :
+ Nếu d>R: Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung.

mặt cầu
+ Nếu d=R: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. Lúc đó: (P) là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp điểm.

mặt cầu
+ Nếu d < R: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm I' và bán kính {\text{ }}r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} {\text{ }}


Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.

Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng: \left( \alpha \right):{\text{ }}16x - 15y - 12z + 75 = 0

Giải:

Do (S) tiếp xúc với (\alpha) \Leftrightarrow {\text{d}}\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = R \Leftrightarrow R = \frac{{75}}{{25}} = 3

Mặt cầu tâm O(0;0;0) và bán kính R=3, có phương trình (S) : {x^2} + {y^2} + {z^2} = 9

3.2. VTTĐ giữa mặt cầu và đường thẳng 

Cho mặt cầu S(I;R) và đường thẳng \Delta. Gọi H là hình chiếu của I lên \Delta. Khi đó :
+ IH > R: \Delta không cắt mặt cầu.


+ IH = R: \Delta tiếp xúc với mặt cầu. \Delta là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp điểm.


+ IH < R: \Delta cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.



* Lưu ý: Trong trường hợp \Delta cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:

+ Xác định: \boxed{d\left( {I;\Delta } \right) = IH}

+ Lúc đó:   {\text{ }}R = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {I{H^2} + {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} {\text{ }}

Câu trắc nghiệm mã số: 769,768,767

4. Đường tròn giao tuyến 

Cho đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng (\alpha).

{\text{ }}\left( S \right):{\text{ }}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0{\text{ }}

\left( \alpha \right):{\text{ }}Ax + By + Cz + D = 0

* Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C).

+ Tâm I' = d \cap \left( \alpha \right).

   Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp (\alpha)

+ Bán kính {\text{ }}R' = \sqrt {{R^2} - {{\left( {II'} \right)}^2}} = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right)} \right]}^2}} {\text{ }}

* Điều kiện tiếp xúc:

Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.

+ Đường thẳng \Delta là tiếp tuyến của (S) \Leftrightarrow \boxed{{\text{ }}d\left( {I;\Delta } \right) = R}

+ Mặt phẳng (\alpha) là tiếp diện của (S) \Leftrightarrow \boxed{{\text{ }}d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right) = R}

Lưu ý: Để tìm tiếp điểm {M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right), sử dụng tính chất:

\left[ \begin{gathered} I{M_0} \bot d \hfill \\ I{M_0} \bot \left( \alpha \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \overrightarrow {I{M_0}} \bot {{\vec a}_d} \hfill \\ \overrightarrow {I{M_0}} \bot {{\vec n}_\alpha } \hfill \\ \end{gathered} \right. Ví dụ: 

Chứng minh rằng: Mặt cầu (S):{\text{ }}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 3 = 0 cắt mặt phẳng (P):(P): x - 2 = 0 theo giao tuyến là một đường tròn (C) .

Xác định tâm và bán kính của (C).

Giải:

* Mặt cầu (S) có tâm I\left( {1;0;0} \right)  và bán kính R=2 .

Ta có : {\text{d}}\left( {I,\left( P \right)} \right) = 1 < 2 = R \Leftrightarrow mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn. (đpcm)

* Đường thẳng d qua I\left( {1;0;0} \right) và vuông góc với (P) nên nhận {\vec n_P} = \left( {1;0;0} \right)  làm 1 vectơ chỉ phương, có phương trình:  d:\left\{ \begin{gathered} x = 1 + t \hfill \\ y = 0 \hfill \\ z = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..

+ Tọa độ tâm I đường tròn là nghiệm của hệ : \left\{ \begin{gathered} x = 1 + t \hfill \\ y = 0 \hfill \\ z = 0 \hfill \\ x - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = 0 \hfill \\ z = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {I'}\left( {2;0;0} \right).

+ Ta có: d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 1.

Gọi r là bán kính của (C), ta có : r = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I,\left( P \right)} \right)} \right]}^2}} = \sqrt 3

Câu trắc nghiệm mã số: 808,787,786
  • 19 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 12