Lớp 12 Toán 12

Góc và khoảng cách

Bài học Lí thuyết toán 12: Góc và khoảng cách  là phần kiến thức tiếp theo của phương trình đường thẳng, bao gồm góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau. Bên cạnh đó là các ví dụ bài tập có lời giải chi tiết, xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12.

1. Góc

1.1. Góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho:

{\Delta _1} có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{a_1}}

{\Delta _2} có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{a_2}}

Gọi \varphi  là góc giữa hai đường thẳng {\Delta _1} và {\Delta _2}. Ta có công thức tính cosin góc \varphi:

\boxed{\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{a_1}} .\overrightarrow {{a_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{a_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{a_2}} } \right|}}}

1.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho:

\Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{a_\Delta }}

\left( \alpha \right) có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{b_\alpha }}

Gọi \varphi là góc giữa hai đường thẳng \Delta và \left( \alpha \right). Ta có công thức tính sin góc \varphi:

\boxed{\sin \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{a_\Delta }} .\overrightarrow {{b_\alpha }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{a_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{b_\alpha }} } \right|}}}

Ví dụ:

Tính góc của hai đường thẳng \left( m \right):\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{{z + 2}}{4} và \left( d \right):x = 3 + 2t;\,\,y = 2t - 4;\,\,z = 2\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)

Giải:

  • Theo đề bài, hai đường thẳng (m) và (d) có vectơ chỉ phương tương ứng lần lượt là: \overrightarrow a = \left( {2,4,4} \right);\overrightarrow b = \left( {2,2,0} \right)
  • Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng, ta có:

\Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\left| {2.2 + 4.2 + 4.0} \right|}}{{6.2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = {45^0}

2. Khoảng cách

2.1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \Delta

Trong không gian Oxyz, cho \Delta đi qua điểm M_0 và có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{a_\Delta }}

Ta có công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng là:

\boxed{d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{a_\Delta }} ,\overrightarrow {{M_0}M} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{a_\Delta }} } \right|}}}

2.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Trong không gian Oxyz, cho:

{\Delta _1} đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{a_1}}

{\Delta _2} đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{a_2}}

Ta có công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là:

\boxed{d\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right){\text{ = }}\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right].\overrightarrow {MN} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]} \right|}}}

Ví dụ:

Tính khoảng cánh giữa hai đường thẳng :

({d_1}):\left\{ \begin{gathered} x + y = 0 \hfill \\ x - y + z + 4 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.  và  ({d_2}):\left\{ \begin{gathered} x + 3y - 1 = 0 \hfill \\ y + z - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. 

Giải:

  • Chuyển ({d_1})về dạng tham số, ta được: \left\{ \begin{gathered} x = t \hfill \\ y = - t \hfill \\ z = - 4 - 2t \hfill \\ \end{gathered} \right.

Suy ra:  A(0,0, - 4) \in (d_1) và vectơ chỉ phương của (d_1): \overrightarrow a = (1, - 1, - 2)

  • Chuyển ({d_2})về dạng tham số, ta được : \left\{ \begin{gathered} x = - 5 + 3t \hfill \\ y = 2 - t \hfill \\ z = t \hfill \\ \end{gathered} \right.

Suy ra:  B( - 5,2,0) \in (d_2) và vectơ chỉ phương của {(d_2}):\overrightarrow b (3, - 1,1)

  • Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta có khoảng cách  ({d_1}) và ({d_2}):

d((d_1),(d_2)) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]} \right|}} = \frac{9}{{\sqrt {62} }}

Vậy khoảng cách giữa 2 đường thẳng ({d_1}) và ({d_2}) cần tìm là d = \frac{9}{{\sqrt {62} }}.

Câu trắc nghiệm mã số: 422,420,418
  • 13 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

1 Bình luận
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
  • Nguyễn Đức Thi
    Nguyễn Đức Thi

    😍 
    Thích Phản hồi 01/12/22

Toán 12