Lớp 12 Toán 12

Luyện tập Lôgarit (Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức T

    Cho hàm số f\left( x ight) = {\log _2}\left( {x - \frac{1}{2} + \sqrt {{x^2} - x + \frac{{17}}{4}} } ight). Tính giá trị của biểu thức T = f\left( {\frac{1}{{2019}}} ight) + f\left( {\frac{2}{{2019}}} ight) + ...f\left( {\frac{{2018}}{{2019}}} ight)

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} f\left( {1 - x} ight) = {\log _2}\left( {1 - x - \dfrac{1}{2} + \sqrt {{{\left( {1 - x} ight)}^2} - \left( {1 - x} ight) + \dfrac{{17}}{4}} } ight) \hfill \\ = {\log _2}\left( { - x + \dfrac{1}{2} + \sqrt {{x^2} - x + \dfrac{{17}}{4}} } ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó: f\left( x ight) + f\left( {1 - x} ight) = {\log _2}\left[ {{x^2} + x + \frac{{17}}{4} - {{\left( {x - \frac{1}{2}} ight)}^2}} ight] = {\log _2}4 = 2

    Vậy T = f\left( {\frac{1}{{2019}}} ight) + f\left( {\frac{2}{{2019}}} ight) + ...f\left( {\frac{{2018}}{{2019}}} ight) = 1009.2 = 2018

     

  • Câu 2: Vận dụng
    Học sinh giải toán sai từ bước nào?

    Cho biết a,b > 0,a e 1;b e 1;n \in {\mathbb{N}^*}. Một học sinh đã thực hiện tính giá trị biểu thức P = \frac{1}{{{{\log }_a}b}} + \frac{1}{{{{\log }_{{a^2}}}b}} + ... + \frac{1}{{{{\log }_{{a^n}}}b}} như sau:

    Bước 1: P = {\log _b}a + {\log _b}{a^2} + ... + {\log _b}{a^n}

    Bước 2: P = {\log _b}\left( {a.{a^2}...{a^n}} ight)

    Bước 3: P = {\log _b}\left( {{a^{1 + 2 + 3 + .... + n}}} ight)

    Bước 4: P = n\left( {n - 1} ight){\log _b}\sqrt a

    Hỏi bạn học sinh giải toán sai từ bước nào?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} P = \dfrac{1}{{{{\log }_a}b}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{a^2}}}b}} + ... + \dfrac{1}{{{{\log }_{{a^n}}}b}} \hfill \\ P = {\log _b}a + {\log _b}{a^2} + ... + {\log _b}{a^n} \hfill \\ P = {\log _b}\left( {a.{a^2}...{a^n}} ight) \hfill \\ P = {\log _b}\left( {{a^{1 + 2 + 3 + .... + n}}} ight) \hfill \\ P = n\left( {n + 1} ight){\log _b}\sqrt a \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Nhận biết
    Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Với a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt P = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6}. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} P = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6} \hfill \\ P = 3{\log _a}b + \dfrac{6}{2}{\log _a}b \hfill \\ P = 3{\log _a}b + 3{\log _a} \hfill \\ P = 6{\log _a}b \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức P

    Cho {\log _a}b = 2;{\log _a}c = 3. Tính giá trị của biểu thức P = {\log _a}\left( {a{b^3}{c^3}} ight)

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} P = {\log _a}\left( {a{b^3}{c^3}} ight) \hfill \\ = {\log _a}a + {\log _a}{b^3} + {\log _a}{c^3} \hfill \\ = 1 + 3{\log _a}b + 5{\log _a}c \hfill \\ = 1 + 3.2 + 5.3 = 22 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 5: Nhận biết
    Tính giá trị biểu thức

    Cho {\log _2}a = x;{\log _2}b = y biết , biểu thức {\log _2}\left( {4{a^2}{b^3}} ight) có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: 

    {\log _2}\left( {4{a^2}{b^3}} ight) = {\log _2}4 + {\log _2}{a^2} + {\log _2}{b^3} = 2 + 2{\log _2}a + 3{\log _2}b = 2x + 3y + 2

  • Câu 6: Thông hiểu
    Xác định giá trị của biểu thức logarit

    Với các số a, b > 0 thỏa mãn {a^2} + {b^2} = 6ab, biểu thức {\log _2}\left( {a + b} ight) bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: 

    \begin{matrix} {a^2} + {b^2} = 6ab \hfill \\ \Rightarrow {\left( {a + b} ight)^2} = 8ab \hfill \\ \Rightarrow {\log _2}{\left( {a + b} ight)^2} = {\log _2}\left( {8ab} ight) \hfill \\ \Rightarrow 2{\log _2}\left( {a + b} ight) = {\log _2}8 + {\log _2}a + {\log _2}b \hfill \\ \Rightarrow {\log _2}\left( {a + b} ight) = \dfrac{1}{2}\left( {{{\log }_2}8 + {{\log }_2}a + {{\log }_2}b} ight) \hfill \\ \Rightarrow {\log _2}\left( {a + b} ight) = \dfrac{1}{2}\left( {3 + {{\log }_2}a + {{\log }_2}b} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tính P = ab + 1

    Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn {\log _9}{a^4} + {\log _3}b = 8 và {\log _3}a + {\log _{\sqrt[3]{3}}}b = 9. Giá trị của biểu thức P = ab + 1 là:

    Hướng dẫn:

    Theo điều kiện ta có:

     \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_9}{a^4} + {{\log }_3}b = 8} \\ {{{\log }_3}a + {{\log }_{\sqrt[3]{3}}}b = 9} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{{\log }_9}a + {{\log }_3}b = 8} \\ {{{\log }_3}a + 3{{\log }_3}b = 9} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_9}a = 3} \\ {{{\log }_3}b = 2} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 27} \\ {b = 9} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow P = ab + 1 = 244 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Tìm tất cả các giá trị của a và b thỏa mãn đẳng thức

    Giả sử f\left( n ight) = \ln \frac{{1 - x}}{{1 + x}}. Tìm tất cả các giá trị của a và b thỏa mãn đẳng thức f\left( a ight) + f\left( b ight) = f\left( {\frac{{a + b}}{{1 + ab}}} ight)

    Hướng dẫn:

    Tập xác định của hàm số f\left( x ight) là D = \left( { - 1;1} ight) nên ta phải có a,b \in \left( { - 1;1} ight)

    \begin{matrix} f(a) + f(b) = \ln \dfrac{{1 - a}}{{1 + a}} + \ln \dfrac{{1 - b}}{{1 + b}} \hfill \\ = \ln \dfrac{{(1 - a)(1 - b)}}{{(1 + a)(1 + b)}} = \ln \dfrac{{1 - \dfrac{{a + b}}{{1 + ab}}}}{{1 + \dfrac{{a + b}}{{1 + ab}}}} = f\left( {\dfrac{{a + b}}{{1 + ab}}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy với a,b \in \left( { - 1;1} ight) thì f\left( a ight) + f\left( b ight) = f\left( {\frac{{a + b}}{{1 + ab}}} ight)

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức T

    Cho các số thức a, b thỏa mãn 1 < a < b và {\log _a}b + {\log _b}{a^2} = 3. Tính giá trị của biểu thức T = {\log _{ab}}\frac{{{a^2} + b}}{2}

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    {\log _a}b + {\log _b}{a^2} = 3 \Leftrightarrow {\log _a}b + 2{\log _b}a = 3\left( * ight)

    Đặt t = {\log _a}b. Do 1 < a < b \Rightarrow t > {\log _a}b \Rightarrow t > 1

    Khi đó t + \frac{2}{t} = 3 \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1\left( {ktm} ight)} \\ {t = 2\left( {tm} ight)} \end{array}} ight.

    Với t = 2 ta có: {\log _a}b = 2 \Rightarrow b = {a^2}

    => T = {\log _{ab}}\frac{{{a^2} + b}}{2} = {\log _{{a^3}}}{a^2} = \frac{2}{3}{\log _a}a = \frac{2}{3}

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Tìm tất cả các giá trị n thỏa mãn điều kiện đề bài

    Gọi a là giá trị nhỏ nhất của f\left( n ight) = \frac{{\left( {{{\log }_3}2} ight)\left( {{{\log }_3}3} ight)\left( {{{\log }_3}4} ight)...\left( {{{\log }_3}n} ight)}}{{{9^n}}};\left( {n \in \mathbb{N},n \geqslant 2} ight). Có bao nhiêu số n để f\left( n ight) = a?

    Hướng dẫn:

    Ta thấy f\left( n ight) bé nhất khi và chỉ khi:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f(n) \leqslant f(n + 1)} \\ {f(n) \leqslant f(n - 1)} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{\left( {{{\log }_3}2} ight)\left( {{{\log }_3}3} ight)\left( {{{\log }_3}4} ight)...\left( {{{\log }_3}n} ight)}}{{{9^n}}} \leqslant \dfrac{{\left( {{{\log }_3}2} ight)\left( {{{\log }_3}3} ight)\left( {{{\log }_3}4} ight)....\left( {{{\log }_3}(n + 1)} ight)}}{{{9^{n + 1}}}}} \\ {\dfrac{{\left( {{{\log }_3}2} ight)\left( {{{\log }_3}3} ight)\left( {{{\log }_3}4} ight)...\left( {{{\log }_3}n} ight)}}{{{9^n}}} \leqslant \dfrac{{\left( {{{\log }_3}2} ight)\left( {{{\log }_3}3} ight)\left( {{{\log }_3}4} ight)....\left( {{{\log }_3}(n - 1)} ight)}}{{{9^{n - 1}}}}} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {9 \leqslant {{\log }_3}(n + 1)} \\ { {{\log }_3}n \leqslant 9} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {n \geqslant {3^9} - 1} \\ {n \leqslant {3^9}} \end{array} \Leftrightarrow n \in \left\{ {{3^9} - 1,{3^9}} ight\}} ight.} ight.

    Vậy có hai giá trị của n thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 11: Vận dụng
    Tìm các chữ số p khi viết trong hệ thập phân

    Tìm các chữ số p khi viết trong hệ thập phân biết p = {2^{759839}} - 1 là một số nguyên tố (số nguyên tố lớn nhất được biết cho đến lúc đó.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \log p < \log {2^{756839}} = 756839\log 2 \approx 227831,2409 \hfill \\ \Rightarrow {10^{227831}} \leqslant p < {10^{227832}} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy p có 227832 chữ số

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Kết quả của biểu thức

    Cho {S_1} = {\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^{{2^2} + {4^2} + ... + {{2018}^2}}};{S_1} = {\left( {2 - \sqrt 3 } ight)^{{1^2} + {3^2} + ... + {{2017}^2}}}. Kết quả của {\log _{26 + 15\sqrt 3 }}\left( {{S_1}.{S_2}} ight)

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    \begin{matrix} {\left( {2k} ight)^2} - {\left( {2k - 1} ight)^2} = 4k - 1 \hfill \\ \Rightarrow {S_1}{S_2} = {(2 + \sqrt 3 )^{{2^2} - {1^2} + {4^2} - {3^2} + ... + {{2018}^2} - {{2017}^2}}} \hfill\\= {(2 + \sqrt 3 )^{4.1 - 1 + 4.2 - 1 + ... + 4.1009 - 1}} = {(2 + \sqrt 3 )^{2037171}} \hfill \\ \Rightarrow {\log _{26 + 15\sqrt 3 }}\left( {{S_1}.{S_2}} ight) = \dfrac{1}{3}{\log _{2 + \sqrt 3 }}{\left( {2 + \sqrt 3 } ight)^{2037171}} = 679057 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Tìm chữ số đầu tiên

    Biết số nguyên dương M sẽ có chữ số đầu tiên là k (khi biểu diễn thập phân) nếu \log k \leqslant \left\{ {\log M} ight\} < \log \left( {k + 1} ight) trong đó kí hiệu \left\{ a ight\} chỉ phần lẻ của số thập phân a (ví dụ \left\{ {300,2} ight\} = 0,2). Hỏi số M = {2^{400}} có chữ số đầu tiên là bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \begin{matrix} \left\{ {\log M} ight\} \approx 0,41 \hfill \\ \log 2 < \left\{ {\log M} ight\} < \log 3 \hfill \\ \end{matrix} nên chữ số đầu tiên của M là 2

  • Câu 14: Thông hiểu
    Biểu diễn biểu thức theo tham số

    Đặt a = {\log _7}11;b = {\log _2}7. Hãy biểu diễn {\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} theo a và b.

    Hướng dẫn:

    Ta có: 

    {\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = 3\left( {{{\log }_7}121 - {{\log }_7}8} ight) = 6{\log _7}11 - 9.\frac{1}{{{{\log }_2}7}} = 6a - \frac{9}{b}

  • Câu 15: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức logarit

    Với các số a, b, c là các số thực dương tùy ý khác 1 và {\log _a}c = x;{\log _b}c = y. Khi đó giá trị của {\log _a}\left( {ab} ight) bằng:

    Hướng dẫn:

     Với a, b, c là các số thực dương tùy ý khác 1 ta có: {\log _c}a = \frac{1}{x};{\log _c}b = \frac{1}{y}

    Khi đó ta có: {\log _c}\left( {ab} ight) = {\log _c}a + {\log _c}b = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}

  • Câu 16: Nhận biết
    Giá trị của biểu thức

    Giá trị của biểu thức A = {\log _{{2^{2018}}}}4 - \frac{1}{{1009}} + \ln {e^{2018}}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    A = {\log _{{2^{2018}}}}4 - \frac{1}{{1009}} + \ln {e^{2018}} = {\log _{{2^{2018}}}}{2^2} - \frac{1}{{1009}} + 2018.\ln e

    = \frac{1}{{1009}} - \frac{1}{{1009}} + 2018 = 2018

  • Câu 17: Nhận biết
    Chọn khẳng định sai?

    Cho hai số thực a và b với a > 0;a e 1;b e 0. Chọn khẳng định sai?

    Hướng dẫn:

    \frac{1}{2}{\log _a}{b^2} = {\log _a}b sai vì chưa biết b > 0 hay b < 0

  • Câu 18: Nhận biết
    Tìm x

    Cơ số x bằng bao nhiêu để {\log _x}\sqrt[{10}]{3} = - 0,1?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện x > 0;x e 1

    Ta có:

    \begin{matrix} {\log _x}\sqrt[{10}]{3} = - 0,1 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^{ - 0,1}} = {3^{0,1}} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^{ - 1}} = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 19: Vận dụng
    Chọn khẳng định nào đúng?

    Cho a{\log _6}3 + b{\log _6}2 + c{\log _6}5 = 5 với a,b,c là các số tự nhiên. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} a{\log _6}3 + b{\log _6}2 + c{\log _6}5 = 5 \hfill \\ \Leftrightarrow {3^a}{.2^b}{.5^c} = 5 \hfill \\ \end{matrix}

    Do a,b,c \in \mathbb{N} nên chỉ có một bộ số \left( {a,b,c} ight) = \left( {0,0,1} ight) thỏa mãn

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Tính tổng các tham số

    Hàm số f\left( x ight) = \ln \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} ight). Biết rằng f\left( 2 ight) + f\left( 3 ight) + ... + f\left( {2018} ight) = \ln a - \ln b + \ln c - \ln d với a,b,c,d \in \mathbb{Z}, trong đó a,b,d là các số nguyên tố và a < b < c < d. Tính T = a + b + c + d

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} f(2) + f(3) + ... + f(2018) \hfill \\ = \ln \left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} ight) + \ln \left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} ight) + ... + \ln \left( {1 - \dfrac{1}{{{{2018}^2}}}} ight) \hfill \\ = \ln \left[ {\left( {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} ight)\left( {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} ight)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{{2018}^2}}}} ight)} ight] \hfill \\ = \ln \dfrac{{\left( {{2^2} - 1} ight)\left( {{3^2} - 1} ight)....\left( {{{2018}^2} - 1} ight)}}{{{{(2.3....2018)}^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \ln \dfrac{{1.3.2.4.3.5...2017.2018}}{{{{(2.3...2018)}^2}}} \hfill \\ = \ln \dfrac{{(1.2.3...2017)(3.4.5...2019)}}{{{{(2.3...2018)}^2}}} \hfill \\ = \ln \dfrac{{2017!.\dfrac{{2019!}}{{1.2}}}}{{{{(2018!)}^2}}} = \ln \dfrac{{2019}}{{2018.2}} \hfill \\ = \ln \dfrac{{3.763}}{{{2^2}.1009}} = \ln 3 - \ln 4 + \ln 673 - \ln 1009 \hfill \\ \Rightarrow T = 1689 \hfill \\ \end{matrix}

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (25%):
    2/3
  • Thông hiểu (25%):
    2/3
  • Vận dụng (20%):
    2/3
  • Vận dụng cao (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 1 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 12

Đăng nhập