Lớp 12 Toán 12

Luyện tập Lôgarit (Trung bình)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức T

    Choba số thực dương x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi số thực dương a,\left( {a e 1} ight) thì {\log _a}x;{\log _{\sqrt a }}y;{\log _{\sqrt[3]{a}}}z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức T = \frac{{1959x}}{y} + \frac{{2019y}}{z} + \frac{{60z}}{x}

    Hướng dẫn:

     Theo đề bài ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {xz = {y^2}} \\ {{{\log }_a}x + {{\log }_{\sqrt[3]{a}}}z = 2{{\log }_{\sqrt a }}y} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {xz = {y^2}} \\ {x{z^3} = {y^4}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow x = y = z

    Khi đó:

    T = \frac{{1959x}}{y} + \frac{{2019y}}{z} + \frac{{60z}}{x} = 1959 + 2019 + 60 = 4038

     

  • Câu 2: Thông hiểu
    Khẳng định nào sau đây đúng?

    Cho các số thực dương a, b với a e 1;{\log _a}b > 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Trường hợp 1: 0 < a < 1 \Rightarrow {\log _a}b > 0 = {\log _a}1 \Rightarrow 0 < b < 1

    Trường hợp 2: a > 1 \Rightarrow {\log _a}b > 0 = {\log _a}1 \Rightarrow b > 1

    Vậy \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 < a,b < 1} \\ {1 < a;b} \end{array}} ight.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tính P = ab + 1

    Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn {\log _9}{a^4} + {\log _3}b = 8 và {\log _3}a + {\log _{\sqrt[3]{3}}}b = 9. Giá trị của biểu thức P = ab + 1 là:

    Hướng dẫn:

    Theo điều kiện ta có:

     \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_9}{a^4} + {{\log }_3}b = 8} \\ {{{\log }_3}a + {{\log }_{\sqrt[3]{3}}}b = 9} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{{\log }_9}a + {{\log }_3}b = 8} \\ {{{\log }_3}a + 3{{\log }_3}b = 9} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_9}a = 3} \\ {{{\log }_3}b = 2} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 27} \\ {b = 9} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow P = ab + 1 = 244 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Nhận biết
    Mệnh đề nào dưới đây sai?

    Cho a và b là hai số dương bất kì. Mệnh đề nào dưới đây sai?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} {\log _2}{\left( {3ab} ight)^3} = 3.\left( {{{\log }_3}3 + {{\log }_3}a + {{\log }_3}b} ight) \hfill \\ = 3.\left( {1 + {{\log }_3}a + {{\log }_3}b} ight) \hfill \\ = 3 + 3{\log _3}ab \hfill \\ = 3 + {\log _3}{\left( {ab} ight)^3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 5: Nhận biết
    Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Với a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt P = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6}. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} P = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6} \hfill \\ P = 3{\log _a}b + \dfrac{6}{2}{\log _a}b \hfill \\ P = 3{\log _a}b + 3{\log _a} \hfill \\ P = 6{\log _a}b \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Cho các số thực x, y, z thỏa mãn {\log _{16}}\left( {\frac{{x + y + z}}{{2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1}}} ight) = x\left( {x - 2} ight) + y\left( {y - 2} ight) + z\left( {z - 2} ight). Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \ = \frac{{x - y - z}}{{x + y + z}} bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện x + y + z > 0

    Ta có:

    \begin{matrix} {\log _{16}}\left( {\dfrac{{x + y + z}}{{2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1}}} ight) = x\left( {x - 2} ight) + y\left( {y - 2} ight) + z\left( {z - 2} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 2{\log _{16}}\left[ {4\left( {x + y + z} ight)} ight] + 4.\left( {x + y + z} ight) = 2{\log _{16}}\left[ {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1} ight]\left( * ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Xét hàm số f\left( t ight) = 2{\log _{16}}t + t trên \left( {0; + \infty } ight) ta có:

    f'\left( t ight) = \frac{2}{{t.\ln 16}} + 1 > 0;\forall t \in \left( {0; + \infty } ight)

    => Hàm số f\left( t ight) = 2{\log _{16}}t + t đồng biến trên \left( {0; + \infty } ight)

    Từ (*) ta có: 

    \begin{matrix} 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1 = 4\left( {x + y + z} ight) \hfill \\ \Rightarrow \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z + \frac{1}{2} = 0 \hfill \\ F = \dfrac{{x - y - z}}{{x + y + z}} \Leftrightarrow F.\left( {x + y + z} ight) = x - y - z \hfill \\ \Rightarrow \left( P ight):\left( {F - 1} ight)x + \left( {F + 1} ight)y + \left( {F + 1} ight)z = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Mặt phẳng \left( P ight) có điểm chung với mặt cầu \left( S ight) nên ta có:

    \begin{matrix} d\left( {I;\left( P ight)} ight) \leqslant R \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3F + 1} ight|}}{{\sqrt {{{\left( {F - 1} ight)}^2} + {{\left( {F + 1} ight)}^2} + {{\left( {F + 1} ight)}^2}} }} \leqslant \sqrt {\dfrac{5}{2}} \hfill \\ \Leftrightarrow 3{F^2} + 2F - 13 \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{ - 1 - \sqrt {10} }}{3} \leqslant F \leqslant \frac{{ - 1 + 2\sqrt {10} }}{3} \hfill \\ \Leftrightarrow \min F + \max F = - \frac{2}{3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức logarit

    Với các số a, b, c là các số thực dương tùy ý khác 1 và {\log _a}c = x;{\log _b}c = y. Khi đó giá trị của {\log _a}\left( {ab} ight) bằng:

    Hướng dẫn:

     Với a, b, c là các số thực dương tùy ý khác 1 ta có: {\log _c}a = \frac{1}{x};{\log _c}b = \frac{1}{y}

    Khi đó ta có: {\log _c}\left( {ab} ight) = {\log _c}a + {\log _c}b = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}

  • Câu 8: Nhận biết
    Tính giá trị biểu thức

    Tính giá trị của {a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}} với  a > 0;a e 1

    Hướng dẫn:

     Ta có: {a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}} = {a^{2{{\log }_a}4}} = {a^{{{\log }_a}16}} = 16

  • Câu 9: Thông hiểu
    Biểu diễn biểu thức theo a

    Đặt {\log _5}2 = a. Khi đó {\log _{25}}800 biểu diễn là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    {\log _{25}}800 = \frac{{{{\log }_5}800}}{{{{\log }_5}25}} = \frac{{{{\log }_5}{2^5}{{.5}^2}}}{{{{\log }_5}{5^2}}} = \frac{{5{{\log }_5}2 + 2}}{2} = \frac{{5a + 2}}{2}

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Cho các số thực a và b thỏa mãn \sqrt[3]{{{a^{14}}}} > \sqrt[3]{{{a^7}}};{\log _b}\left( {2\sqrt {a + 1} } ight) < {\log _b}\left( {\sqrt a + \sqrt {a + 2} } ight). Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện để các căn thức có nghĩa là a > 1

    Ta có: \sqrt[3]{{{a^{14}}}} > \sqrt[3]{{{a^7}}} \Leftrightarrow {a^{\frac{{14}}{3}}} > {a^{\frac{7}{4}}} \Rightarrow a > 1\left( * ight)

    Xét hiệu

    \begin{matrix} {\left( {2\sqrt {a + 1} } ight)^2} - {\left( {\sqrt a + \sqrt {a + 2} } ight)^2} \hfill \\ = 4a + 4 - \left( {2a + 2 + 2\sqrt {a\left( {a + 2} ight)} } ight) \hfill \\ = 2a + 2 - 2\sqrt {a\left( {a + 2} ight)} \hfill \\ \end{matrix}

    Vì a > 1 nên 2a + 2 = a + a + 2 \geqslant 2\sqrt {a\left( {a + 2} ight)}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow {\left( {2\sqrt {a + 1} } ight)^2} - {\left( {\sqrt a + \sqrt {a + 2} } ight)^2} > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {2\sqrt {a + 1} } ight)^2} > {\left( {\sqrt a + \sqrt {a + 2} } ight)^2} \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sqrt {a + 1} > \sqrt a + \sqrt {a + 2} \hfill \\ \end{matrix}

    Từ đó ta có: {\log _b}\left( {2\sqrt {a + 1} } ight) < {\log _b}\left( {\sqrt a + \sqrt {a + 2} } ight) \Rightarrow 0 < b < 1\left( {**} ight)

    Từ (*) và (**) suy ra 0 < b < 1 < a

  • Câu 11: Thông hiểu
    Xác định giá trị của biểu thức logarit

    Với các số a, b > 0 thỏa mãn {a^2} + {b^2} = 6ab, biểu thức {\log _2}\left( {a + b} ight) bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: 

    \begin{matrix} {a^2} + {b^2} = 6ab \hfill \\ \Rightarrow {\left( {a + b} ight)^2} = 8ab \hfill \\ \Rightarrow {\log _2}{\left( {a + b} ight)^2} = {\log _2}\left( {8ab} ight) \hfill \\ \Rightarrow 2{\log _2}\left( {a + b} ight) = {\log _2}8 + {\log _2}a + {\log _2}b \hfill \\ \Rightarrow {\log _2}\left( {a + b} ight) = \dfrac{1}{2}\left( {{{\log }_2}8 + {{\log }_2}a + {{\log }_2}b} ight) \hfill \\ \Rightarrow {\log _2}\left( {a + b} ight) = \dfrac{1}{2}\left( {3 + {{\log }_2}a + {{\log }_2}b} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Nhận biết
    Tính giá trị biểu thức

    Cho a = {\log _3}2;b = {\log _3}5. Khi đó \log 60 có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \log 60 = \dfrac{{{{\log }_3}60}}{{{{\log }_3}10}} \hfill \\ = \dfrac{{{{\log }_3}{2^2} + {{\log }_3}3 + {{\log }_3}5}}{{{{\log }_3}2 + {{\log }_3}5}} \hfill \\ = \dfrac{{{{\log }_3}{2^2} + 1 + {{\log }_3}5}}{{{{\log }_3}2 + {{\log }_3}5}} = \dfrac{{2a + b + 1}}{{a + b}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Thông hiểu
    Biểu diễn biểu thức theo tham số

    Đặt a = {\log _7}11;b = {\log _2}7. Hãy biểu diễn {\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} theo a và b.

    Hướng dẫn:

    Ta có: 

    {\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8} = 3\left( {{{\log }_7}121 - {{\log }_7}8} ight) = 6{\log _7}11 - 9.\frac{1}{{{{\log }_2}7}} = 6a - \frac{9}{b}

  • Câu 14: Nhận biết
    Tìm x

    Cơ số x bằng bao nhiêu để {\log _x}\sqrt[{10}]{3} = - 0,1?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện x > 0;x e 1

    Ta có:

    \begin{matrix} {\log _x}\sqrt[{10}]{3} = - 0,1 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^{ - 0,1}} = {3^{0,1}} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^{ - 1}} = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Vận dụng
    Chọn khẳng định nào đúng?

    Cho a{\log _6}3 + b{\log _6}2 + c{\log _6}5 = 5 với a,b,c là các số tự nhiên. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} a{\log _6}3 + b{\log _6}2 + c{\log _6}5 = 5 \hfill \\ \Leftrightarrow {3^a}{.2^b}{.5^c} = 5 \hfill \\ \end{matrix}

    Do a,b,c \in \mathbb{N} nên chỉ có một bộ số \left( {a,b,c} ight) = \left( {0,0,1} ight) thỏa mãn

  • Câu 16: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức K

    Tính giá trị biểu thức: K = \log \left( {\tan {1^0}} ight) + \log \left( {\tan {2^0}} ight) + \log \left( {\tan {3^0}} ight) + ... + \log \left( {\tan {{89}^0}} ight)

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} K = \log \left( {\tan {1^0}} ight) + \log \left( {\tan {2^0}} ight) + \log \left( {\tan {3^0}} ight) + ... + \log \left( {\tan {{89}^0}} ight) \hfill \\ K = \log \left( {\tan {1^0}.\tan {2^0}.\tan {3^0}....\tan {{89}^0}} ight) \hfill \\ K = \log \left[ {\tan {1^0}.\tan {2^0}.\tan {3^0}....\tan \left( {{{90}^0} - {2^0}} ight).\tan \left( {{{90}^0} - {1^0}} ight)} ight] \hfill \\ K = \log \left[ {\tan {1^0}.\tan {2^0}.\tan {3^0}....\cot {2^0}.\cot {1^0}} ight] \hfill \\ K = \log \left[ {\left( {\tan {1^0}.\cot {1^0}} ight).\left( {\tan {2^0}.\cot {2^0}} ight)...} ight] = \log 1 = 0 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 17: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức T

    Cho các số thức a, b thỏa mãn 1 < a < b và {\log _a}b + {\log _b}{a^2} = 3. Tính giá trị của biểu thức T = {\log _{ab}}\frac{{{a^2} + b}}{2}

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    {\log _a}b + {\log _b}{a^2} = 3 \Leftrightarrow {\log _a}b + 2{\log _b}a = 3\left( * ight)

    Đặt t = {\log _a}b. Do 1 < a < b \Rightarrow t > {\log _a}b \Rightarrow t > 1

    Khi đó t + \frac{2}{t} = 3 \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1\left( {ktm} ight)} \\ {t = 2\left( {tm} ight)} \end{array}} ight.

    Với t = 2 ta có: {\log _a}b = 2 \Rightarrow b = {a^2}

    => T = {\log _{ab}}\frac{{{a^2} + b}}{2} = {\log _{{a^3}}}{a^2} = \frac{2}{3}{\log _a}a = \frac{2}{3}

  • Câu 18: Vận dụng
    Tìm các chữ số p khi viết trong hệ thập phân

    Tìm các chữ số p khi viết trong hệ thập phân biết p = {2^{759839}} - 1 là một số nguyên tố (số nguyên tố lớn nhất được biết cho đến lúc đó.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} \log p < \log {2^{756839}} = 756839\log 2 \approx 227831,2409 \hfill \\ \Rightarrow {10^{227831}} \leqslant p < {10^{227832}} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy p có 227832 chữ số

  • Câu 19: Nhận biết
    Giá trị của biểu thức

    Giá trị của biểu thức A = {\log _{{2^{2018}}}}4 - \frac{1}{{1009}} + \ln {e^{2018}}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    A = {\log _{{2^{2018}}}}4 - \frac{1}{{1009}} + \ln {e^{2018}} = {\log _{{2^{2018}}}}{2^2} - \frac{1}{{1009}} + 2018.\ln e

    = \frac{1}{{1009}} - \frac{1}{{1009}} + 2018 = 2018

  • Câu 20: Vận dụng
    Giá trị của biểu thức H

    Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn \log_{16}\left( {a + 3b} ight) = {\log _9}a = {\log _{12}}b. Giá trị của biểu thức H = \frac{{{a^3} - a{b^2} + {b^3}}}{{{a^3} + {a^2}b + 3{b^3}}} bằng:

    Hướng dẫn:

    Đặt t = {\log _{16}}\left( {a + 3b} ight) = {\log _9}a = {\log _{12}}b

    Khi đó:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{16}^t} = a + 3b} \\ {{9^t} = a} \\ {{{12}^t} = b} \end{array}} ight. \Rightarrow {9^t} + {3.12^t} = {16^t} \hfill \\ \Rightarrow {\left( {\dfrac{9}{{16}}} ight)^t} + 3.{\left( {\dfrac{3}{4}} ight)^t} = 1 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {\dfrac{3}{4}} ight)^t} = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2} = \dfrac{a}{b} \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow H = \frac{{5 - \sqrt {13} }}{6}

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (30%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Vận dụng cao (10%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 2 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 12

Đăng nhập