Bài học Lí thuyết toán 12: Khoảng cách và góc là phần kiến thức tiếp theo của phương trình mặt phẳng, bao gồm điều kiện để xét vị trí tương đối của 2 mặt phẳng, công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và góc giữa hai mặt phẳng. Trong từng mục khi đưa ra công thức luôn kèm theo các ví dụ bài tập có hướng dẫn giải chi tiết, xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và các câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng các em sẽ ôn tập hiệu quả, hướng đến đạt mục tiêu trong các kì thi lớn sắp tới.
Trong không gian , cho hai mặt phẳng:
Khi đó, và
có hai vecto pháp tuyến tương ứng là:
Xét vị trí tương đối của và
có 4 trường hợp như sau:
TH1:
TH2:
TH3:
TH4:
Để hai mặt phẳng và
trùng nhau thì
phải cùng phương với
.
Mặt khác . Ta có hệ sau:
Vậy
.
Để hai mặt phẳng và
song song thì
phải cùng phương với
. Mặt khác
. Ta có hệ sau:
Vậy
Ví dụ:
Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và song song với mặt phẳng
.
Giải:
Vậy phương trình mặt phẳng
là:
.
Để hai mặt phẳng và
cắt nhau thì
không cùng phương với
. Ta có:
Vậy
Để hai mặt phẳng và
vuông góc thì
cũng phải vuông góc với
. Ta có:
Vậy
Ví dụ:
Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với
Giải:
Có
Mặt phẳng có VTPT là
.
Mặt phẳng chứa A, và vuông góc với
nên có một vectơ pháp tuyến là:
.
Phương trình mặt phẳng là:
.
Trong không gian , cho điểm
và mặt phẳng
Khi đó khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
được tính:
Ví dụ 1: Trong không gian , tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song sau:
Giải:
Vì khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia
Ta lấy điểm
Áp dụng công thức, có:
Vậy .
Ví dụ 2: Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng
song song với mặt phẳng
và
cách điểm
một khoảng bằng 3.
Lời giải
Do song song với mặt phẳng
nên phương trình của mặt phẳng
có dạng:
với
.
Vì
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: và
.
Trong không gian , cho hai mặt phẳng và
Góc giữa và
bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT
. Tức là:
Ví dụ:
Trong không gian với hệ trục tọa độ , gọi
là mặt phẳng chứa trục
và tạo với mặt phẳng
góc
. Viết phương trình mặt phẳng
?
Giải:
+) Mặt phẳng chứa trục
nên có dạng:
.
+) Mặt phẳng tạo với mặt phẳng
góc
nên
.
Phương trình mặt phẳng là: